人教版九年级数学上册一元二次方程(教师版)

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点初 中 数 学 试 卷21-1一兀一次方程人教九上一、学习目标1 .理解一兀二次方程的概念；2 .知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；3 .会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；4 .理解一元二次方程根的概念.二、知识回顾1 .多项式 3x2y-2x-1 是三 次二项式,其中最高次项是3x2y,二次项系数为0, 一次项系数为-2,常数项是-1.2.含有未知数的等式叫方程,我们学过的方程类型有：一二次方程、二e-次方程、分式方程等.二、新知讲解1 . 一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的

2、最高次数是 _2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2.三个条 件缺一不可.2. 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于 x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0（aw 0）的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.概念解读：（1） “aW0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分.如果明确了 ax2 + bx+c=0是-元二次方程，就隐含了 aw 0这个条件；（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定

3、义的，各项的系数包括它前面的符号.3. 一元二次方程的根的概念四、典例探究使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 .概念解读：（1） 一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.扫一扫，有惊喜哦！1 .根据定义判断一个方程是否是一元二次方程 【例1】（2015?流水县校级模拟）下列方程是一元二次方程的是（A. x2+2x- y=3 B . - -C 又i2 3).Vx2- 8=/3x(3x2- 1) 2-3=0 D总结：一元二次方程必须满足四个条件:（1） 是整式方程；（2） 含有一个未知数；（3） 未知

4、数的最高次数是 2;（4） 二次项系数不为0.时，方程是练1 （2015?科左中旗校级一模）关于 x的方程：（a-1）1£+l+x+a2- 1=0,求当a=元二次方程；当 a=时，方程是一元一次方程.2 .把一元二次方程化成一般形式（写出其二次项系数、一次项系数和常数项）【例2】（2014秋？忠县校级期末） 一元二次方程（1- 3x） （x+3） =2x2+1的一般形式是 它的二次项系数是 , 一次项系数是,常数项是.总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 （a, b, c是常数且aw0）（1）特别要注意aw。的条件；（2）在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c

5、是常数项，其中a, b, c分别叫二次项系数、 一次项系数和常数项.4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4,则练2将方程x（x-1）=5（x-2） 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数.练3 （2014?东西湖区校级模拟）将一元二次方程一次项系数和常数项分别是（）A. 5, 81 B .5,-81 C . - 5, 81 D . 5x, - 813 .根据一元二次方程的根求参数【例3】（2015?临淄区校级模拟）若 0是关于x的一元二次方程（m-1） x2+5x+M-3m+2=0的一根,则m的值为（）A. 1 B .0 C .1 或2 D .2总结：1 .

6、使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解2 .可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解3 .已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中 的字母参数.4 .若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.练4 （2014?绵阳模拟）若关于 x的一元二次方程（a+1） x2+4x+a2 - 1=0的一根是0,则a=.练5 （2015?绵阳）关于 m的一元二次方程 Vfnmf-n2m- 2=0的一个根为2,则n2+n 2=.五、课后小

7、测一、选择题1. （2015春?莒县期中）下列关于 x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A.ax2+bx+c=0B . x+y=2 C. x2+3y-5=0D . x2-1=02. （2014?泗县校级模拟）方程x2- 2x - 5=0, x3=x, y2- 3x=2, x2=0,其中一元二次方程的个数是（）A.1个 B .2个 C .3个D .4个3. （2014秋？沈丘县校级期末） 要使方程（a-3）x2+ （ b+1） x+c=0是关于x的一元二次方程，则（ ）A. aw0B. aw3C. aw1 且 bw- 1 D . aw3且 bw- 1 且 cw04. （2015?石河子校级模拟

8、）把方程 x （x+2） =5 （x-2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A. 1,-3, 10 B . 1 , 7, - 10 C . 1 , -5, 12 D , 1, 3, 25. （2015?石河子校级模拟）关于 x的方程（3m2+1） x2+2mx-1=0的一个根是1,则m的值是（）A. 0 B .-二 C .W D .0 或2, 3336. （2014?祁阳县校级模拟） 已知x=3是关于方程3x2+2ax- 3a=0的一个根，则关于y的方程y2- 12=a的解是（）A. JIB -C. ±Vs D .以上答案都不对7. （2014秋?南昌期末）关于 x的方程（k+2

9、） x2- kx-2=0必有一个根为（）A. x=1 B . x= -1 C . x=2 D . x= - 2二、填空题8. （2015?东西湖区校级模拟）已知（ m- 2） x2- 3x+1=0是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围 是.9. （2014秋?西昌市校级期中）方程 2x2- 1=商工的二次项系数是 , 一次项系数是 ,常数 项是.10. （2015?厦门校级质检）若 m是方程x2-2x=2的一个根，则 2m:- 4m+2010的值是.三、解答题11. .把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.（1） 5x2=3x;（2） （|-1） x+

10、x2- 3=0;（3） （7x - 1） 2- 3=0;（4） 1） （-|+1） =0;，一、一一 ，一、2(5) (6m- 5) (2m+1 =m.12. (2015春？亳州校级期中)已知关于 x的方程(m- 1) x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,(1)求m的值；(2)求方程的解.13. (2015春?竦州市校级月考)已知，下列关于x的一元二次方程(1) x2- 1=0(2) x2+x - 2=0(3) x2+2x - 3=0 (n) x2+ (nT) x - n=0(1)求出方程(1)、方程(2)、方程(3)的根，并猜测方程(n)的根.(2)请指出上述几个方程的根有什么共同特

11、点，写出一条即可.、一2一 一 . -一 .14.关于 y的方程my ny p=0 (mB 0)中的一次项的系数，一次项的系数与吊数项的和为多少.典例探究答案：【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是 2; (2)二次项系数不为0; (3)是整式方程；(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案.解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；日不是整式方程，故选项错误；C含未知数的项白最高次数是 4,故选项错误；D符合一元二次方程的定义，故选项正确.故选：D.点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程

12、是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点练 1 【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答解：依题意得，a2+1=2且aTw。，解得a= - 1.即当a= - 1时，方程是一元二次方程.当a2+1=0或a - 1=0即a=1时，方程是一元一次方程.故答案是：-1 ； 1 .点评： 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 （且aw0）.特别要注意aw 0的条件这是在做题过程中容易忽视的知识点【例2

13、】 【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可解：一元二次方程（1 - 3x） （x+3） =2x2+1的一般形式是 5x2+8x- 2=0;它的二次项系数是 5, 一次项系数是8,常数项是-2.故答案为：5x2+8x- 2=0, 5, 8, - 2点评：一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0 （a, b, c是常数且aw°）特别要注意aw0 的条件.这是在解题过程中容易忽视的地方.在一般形式中 ax2叫二次项，bx叫一次项，c 是常数项其中a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项练 2 【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括

14、几个步骤：去括号、移项、合并同类项去括号，得x2-x=5x 10.移项、合并同类项，得 x 2-6x 10=0其中二次项系数是1，一次项系数为-6 ，常数项为10练3【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 （a, b, c是常数且aw0）特别要注意aw0的条件，其中a, b, c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案.解：一元二次方程 4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x- 81=0 ,二次项系数，一次项系数，常数项分别为 4, 5, -81,故选：B点评： 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（ a，b, c是常数

15、且aw0）特别要注意aw 0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a, b, c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出 m的值.解：: 0是关于x的一元二次方程（m- 1） x2+5x+n2-3m+2=0的一根，（ m 1） x 0+5X 0+n23m+2=0,即病3m+2=Q解方程得：m=1 （舍去），m2=2,m=2,故选：D.点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握.练4.【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次

16、项系数不为零，问题可求.解：二.一根是 0,（a+1） x （0） 2+4x 0+a2- 1=0a2 - 1=0,即 a=± 1 ；. a+1 w0,aw T;a=1.练5【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到45n-2n2-2=0,两边除以2n得n2=2V7,再利用完全平方公式变形得到原式=（n）2-2,然后利用整体代入的方法计算.n解：把 m=2代入 V?nni- n2m- 2=0 得 4，fn 2n2- 2=0,所以n+1=2有，n所以原式=（n+1）2-2n=（27） 2-2 =26.故答案为：26.点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等

17、的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.也考查了代数式的变形能力.课后小测答案：一、选择题1 【解析】根据一元二次方程的定义进行判断解：A、当a=0时，该方程不是关于 x的一元二次方程，故本选项错误；日该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是1,它属于二元一次方程，故本选项错误；C该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2,它属于二元二次方程，故本选项错误；D符合一元二次方程的定义，故本选项正确.故选：D点评： 本题利用了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为2 的整式方程叫做一元二次

18、方程，一般形式是ax2+bx+c=0 （且aw。）.特别要注意aw。的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点2【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2-2x-5=0, x2=0是一元二次方程解：方程 x2- 2x- 5=0, x3=x, y2 3x=2, x2=0,其中一元二次方程是 x2 - 2x - 5=0, x2=0.故选：B点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程3 【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（ 1 ）未知数的最高次数是2；（ 2）二次项系数不为0解：根据一元二次

19、方程的定义中二次项系数不为0得，a-3w 0, aw3.故选：B.点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 （a, b, c是常数且aw°）特别要注意aw°的条件当a=0 时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0 或 c=0 时，上面的方程在aW0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.4 【解析】a、 b、 c 分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项解：由方程x (x+2) =5 (x-2),得x2 - 3x+10=0,，a、b、c的值分别是1、-3、10;故选A.点评：本题考查了一元二次方程的一般形式.一元二次

20、方程的一般形式是： ax2+bx+c=0 （a,b, c是常数且aw。），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中 a, b, c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.5【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.解：把1代入方程得3m2+1+2m- 1=0,解得m=0或一出，故选：D.点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解.6.【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax-3a=0的一个根，根据方程解的含义，把 x=3 代入原方程，即可解出 a的值，然后再解出关于 y的方

21、程的解.解：.x=3是关于x的方程3x2+2ax3a=0的一个根，3X 32+2aX 3-3a=0,解得：a=- 9,则关于y的方程是y2- 12=-9,解得y=故选：C.点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值.7.【解析】分别把 x=1、- 2、- 2代入（k+2） x2- kx-2=0中，利用一元二次方程的解，当k为任意值时，则对应的 x的值一定为方程的解.解：A当x=1时，k+2-k - 2=0,所以方程（k+2） x2 - kx - 2=0必有一个根为1,所以A选 项正确；已 当x=-1时，k+2+k - 2=0,所以当k=0时，方程（k+2） x2 -

22、 kx - 2=0有一个根为-1,所 以B选项错误；信达奋斗没有终点任何时候都是一个起点C 当 x=2 时，4k+8-2k-2=0,所以当 k=-3 时，方程（k+2） x2- kx - 2=0 有一个根为 2, 所以C选项错误；口当 x= -2 时，4k+8+2k2=0,所以当 k= 1 时，方程（k+2） x2 kx 2=0 有一个根为2, 所以D选项错误.故选A.点评：本题考查了 一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.二、填空题8【解析】根据一元二次方

23、程的定义得到m- 2W0,然后解不等式即可.解：根据题意得 m- 2W0,所以m 2.故答案为：mF5 2.点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.9 .【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 （a, b, c是常数且aw 0）,在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a, b, c分别叫二次项系数，一次项系 数，常数项.解：方程2x2 - 1=/3式化成一般形式是2x2-V3«- 1=0, 二次项系数是2, 一次项系数是- 毋，常数项是-1.点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方

24、程化成一般形式. 注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号10 .【解析】根据一元二次方程的解的定义得到mf-2m=2再变形2m2-4m+2010得到2 （m2-m） +2010,然后利用整体代入的方法计算.解：根据题意得m2 - 2m=2所以 2m2-4m+2010=2 （m2- mD +2010=2X2+2010=2014.故答案为2014.点评：本题考查了 一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.三、解答题11 【解析】各项方程整

25、理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可.解：（1）方程整理得：5x2- 3x=0,二次项系数为5, 一次项系数为-3,常数项为0;（2） x2+（V2- 1）x- 3=0,二次项系数为1, 一次项系数为卜丹-1,常数项为-3;（3）方程整理得：49x2-14x - 2=0,二次项系数为49, 一次项为-14,常数项为-2;（4）方程整理得：-1x2- 1=0, 回二次项系数为工，一次项系数为0,常数项为-1;4、1I-2（5）方程整理得：11m - 4m- 5=0,二次项系数为11, 一次项系数为-4,常数项为-5.点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 （a,b, c是常数且aw0）特别要注意aw 0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一 般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a, b, c分别叫二次项系数，一次 项系数，常数项.12 .【解析】（1）首先利用关于 x的方程（m- 1） x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0得出m2- 3m+2=0,进而得出即可；（2）分别将m的值代入原式求出即可.解：（1） ;关于x的方程（m- 1） x2+5x+nf3m+2=0的常数项为 0, m2 - 3m+2=0解得：m=1, m=2,，m