探根求源方为学教学有方斯为教

1、探根求源方为学 教学有方斯为教探根求源方为学教学有方斯为教关于估算的木体性知识探究【摘要】“估算”是数学新课程中新增加的内容。有关这一内容，实际教学中存在三个 令人深思的问题：“估一估”等同于“估算”吗？“人约”等同于“估算”吗？以 “结果是否与精算最接近”为评价标准合理吗？通过解读与估算相关的本体性知识，本文 旨在对这三个问题进行深入解答。【关键词】估算；本体性知识；连续量；离散量；“估算”是数学新课程中新増进的内容，在估算的教学过程中出现了如下的一些教学现 象。比如：【现象一】在一次教研活动中，笔者听到某位教师对“估一估”作出如下解释：估一估 般多指估算，除了计算屮有估算外，在空间与图形测

2、量教学屮也有估算,，【现象二】在平时数学教学屮，常听到有老师这样教学生：“问题屮有'人约'的要估 算；问题中有'大约'而且信息中也有'大约的不用估算。”【现彖三】某次听课时，笔者观察到任课教师设计了如下的对比练习。教师出示 469一6这道题，请孩子们估一估。学生估成：4694-64204-6=70 469十64806二80教师接着问道：“请你比-比哪-种估的方法对？ ”学生冋答：“把469看成480这种方法对！因为469与480只差11,而469与420的差 是49,所以把469看成480这种方法是对的！”接着教师把469*6=420一6二70这种方法隐

3、去。由以上三种现象，可以引出下面几个问题：“估一估”等同于“估算”吗？"大约”等 同于“估算”吗？以“结果是否与精算最接近”为评价标准合理吗？对这三个问题的解答 涉及到与估算相关的本体性知识。所谓数学教师的本体知识是指，数学教师所具有的特定 的数学学科知识。近段时间笔者带着这三个问题，本着“探根求源方为学”的思想探究与 估算相关的本体性知识。现将自己的拙见具体阐述如2一、“估一估”等同于“估算”吗？ 关于“估”的含义理解。“估-估”等同于估算吗？ “估一估”的“估”指的是“估计”的意思。估计按形式 分可以分为数量估计（或估数）、测量佔计（或估测）、计算估计（或估算）。三者分别 落实在

4、“数的认识”、“数的运算”以及“量-与计量”三个教学吟拧j估计数量佔计（估数y测量彳古计“古测l计算估计“古算'教材三二年级大约有多少人参加学校运幼会?内容z中。三者z间的关系相辅相成，它们的共同目标是培养学牛的数感。用图表解读 三者关系如卜图：关于估数。估数也就是估计某个数u人约有多少。如：一年级下册第31页（如上 图）的看小羊图讣孩子们估一估羊的数忖；四、五年级万以内数的认识、亿以内数的认识 的教学时让孩子们找-个数的近似数等都是估数教学。而平时我们认为的估算方法 “四舍五入法”、“去尾法”、“进一法”其实都是在估数时所采用的方法。关于估测。估测指蕴含于测量教学中的估计。如：教学米

5、、分米、厘米、毫米的认识 时，建立单位长度概念后，让孩子估一估实物的长度；在教而积单位这一知识点时，让孩 子们估计教室的人小等等都是估测教学。关于估算。估算是在日常生活中无法进行精确计算，或没有必要算出精确结杲时所采 用的一种计算方式，它能对数量关系和空间形式进行合理的概算或推断。从现实来看，估 算能力是现代化社会生活的需要，是衡量人们计算能力的重要标准z。教材从二年级开 始安排了人量的估算教学。“现象一”中正是因为这位教师的本体性知识缺失，对佔算作出了错谋的解读，并将 “估一估”与“估算”等同起來。所以，数学教师只有明确了 “估”的含义，在教学中才 能避免只垂视佔算教学而轻视估测和估数教学的

6、现象。教师也能自觉地在佔数和佔测教学 中培养学生的数感，从而让学生能较轻松地掌握估算。二、“大约”等同于“估算”吗？ 关于“连续量和离散量”的理解。“现象二” 中教师为什么会教学生“问题中有'大约'的要估算，问题中有'大约'而且信息中也有 '大约'的不用估算”呢？因为在人教社的教材中很多一年级rp3i数數地方都用“人约” 一词來描述给出的信息和问题，如下所举例子。1 ."八不o #大夕勺九65米彳也从家*2大th 冬九8分叶° 他戻$巨呼#死大约冇多选？2. 毎鈴诧坐2个人.叨蚣祈买皋200倉诧索 村共可以业各少人？3 . 阳

7、疋j、悄痂个年刘i和是136人.全按16个牛夕zl 卄有齐少人？1 . 均毎ti大约装多：-个？124 - 120120千340 卡朗摩人大约适40 u&o个-t fx jr-26o< 仕 240.作 2boe教材四孕叔叔_他们三人平s勺祥人大约；注多-y 46?124“教材一中第二题需要估算吗？为什么？ ”“教材二中提示孩子们用估算完成第一个问 题这个问题用精确计算行吗？ ” “教材三和四屮的“人约”和教材一、二中的“大约”表 达的含义有什么不同呢？ ”这一系列问题就涉及到估算教学背后教师的木体性知识对 连续量和离散量这两个数学概念的理解和表达。“大约”所表达的两层含义。1连续

8、量是指随着时间连续变化的物理量。它具有连续的特征，具有近似属性。连续量 对通过测量或计算得到，与止实数相对应。身高、体垂、温度、时间、平均速度等都是连 续量。本文以病人的体温变化为例加以说明。某位病人6时和12时所记录的体温分别是 39. 5°c和 38°c,但这并不表示病人8时的时候没冇体温。从统计图中可知，8时的时候病人的体温介丁 39. 5°c和38c之间。由此可以对教材一中的“人约吐丝1500米”作岀分析。“人约吐丝1500米”是个连续量，无论在“1500米”前面有没有“大约”这个词语,“1500米”都是一个近似数。因为不可 能每条蚕吐丝的数量都正好是15

9、00米，“1500米”是用求平均数的方法得到统计量。用± “人约”这个词语只是为了能够更加严密地描述统计量，体现出连续量的近似属性 将“1500米”视同准确数使用，所以这里的“大约”没有让学生进行估算的意思。那么教材二中小男孩提示学生：“第一个问题可以用估算。”但是学生如果直接计算出 65x8=520在这里可不可以呢？可以从以下两方而分析:一是这部分内容已经安排在复习整 理阶段，65x8让学生进行口算己经没有什么难度；二是小军每分钟人约走65米,是一个 通过测量得到的连续量,取值时已经是近似数，在5. 一个尺鼻経耳村x 3金胶耳大均舗鶴$少jk i?湖边件对4檜祚甘. 冇 62

10、71;» 矣 药夕鼻?67.-篡丈*400字.小 丁蕊执平均鬲分艸 和53金字8分斤能 打定吗？小学阶段我们视它为准确数使丿i。这里的“大约”应该是为了表达出连续量的近似屈 性。由此看來解决这个问题不需要用估算!教材编排这道题的n的是为了让教师在教学时 复习整理三年级上册所学的乘法估算，但是索材的选择上值得商榷，因此教师在教学时可 以更换成其他史能体现估算价值的情景。由以上两个例了可见，教材中一部分地方用到“大约”是为了严密性地描述连续量，体 现连续量的近似属性现实世界中的连续量一定是近似的。考虑到小学生的年龄特征与 知识水平，约定俗成地将其视为准确数使用了。2离散量是指按时间点采样

11、的物理量，具冇精确性的特征，与口然数和对应。人数、座 位数、单价、门票数等都是离散量。在一定的情景中，离散量需要用近似数來描述，这个 时候就需要估算了。以离散量的函数图像为例。tl和12这两个时间点都有对应的数量，而 介于tl和t2之间的时间点上就没冇对应的数量了。教材三和教材四中，水杲的箱数和小朋友的人数都是离散量，也就是准确数。在教材所设置的情景中，需要我们将这两个准确数描述成整|、整百数來解决问题，这里的“人约”就有估算的意思。由此町见，此“人约”非彼“人约”，这里“人约”表 达了在一定情景屮需要找离散量的近似数这个意思，即估算的意思。综上所述，教材屮的“大约”表达了两层意思：一是为了严

12、密地描述连续量，体现连续 量的近似属性；二是在一定情境中需要找离散量的近似数即需要估算。因此，“人约”不 等同于“估算”，现象二中教师的教学方法显然是错误的，教师対估算木体性知识的不理 解是造成这种现彖的内在原因。但是客观上教材对于“人约”的这两个意义诠释的不完整 也误导了教师对教材的解读。(-)教材中存在的矛盾之处。教材对于“大约”的这两个意义诠释的不完整，甚至存在一些错误，主要体现在两个不 统一 z处。(1) 海龟的寿命大约是青蛙的多少倍?(2) 你还能提出哪些问题？每秒游11米毎钞跳18来 每杪胞31米叭20秒大约跑多少米？ £30秒大约跳多少米？亠、1分钟大约游多少米?1 例

13、题和练习不统一。估算教学的例题基木上没有岀现“大约”这个词语，都是川再现生活情境的方式让学生 体会“在一定的情景中，离散量需要用近似数来描述”的含义（即估算的含义）。在实际 生活情景中学生十分容易理解为什么要佔算。但是在安排练习的时候，不可能所有的题冃 都再现生活情境，于是不得不用上"大约”这个词语来表达“在一定的情景中离散量需耍 用近似数来描述”这个意思。在这种情况f,如果教师木体性知识不够丰富，很容易被误 导为看到“大约”就要估算。学生如果没有系统构建“人约”的意义，很容易误以为“人 约”就一-定是估算。2教材本身对“大约”使用不统-。如以上教材，动物活的时间和动物跑动的速度都应

14、该是连续量，教材在描述这两个量的 时候却出现了不统一的现象。在第八题的信息和问题中都用上“人约”，意在体现连续量 的近似属性。而在第七题已知信息中没有出现“大约”，约定俗成地视动物跑动时间为准 确数，然而在问题屮出现“人约”就有了提示学生进行佔算的意思。因此，对连续量描述 的不统一让教师不知道在表达连续量的吋候究竟要不要用上“大约”，也谋导着学生看到 “大约”就要估算。教材中这样的问题还有很多，因此教师本体性知识是否丰富就显得非常重要。教师只有 理斛了 “人约”表达的这两层意义，才能止确地理解教材；才能自觉地帮助学生构建“人 约”的意义。其实在统计教学和测量教学中连续量的近似属性表现得更为明显

15、。因此，教 师要从-年级起就重视测量教学和统计教学，利用这两块内容帮助孩子构建“人约”的意 义，为估算学习打好扎实的基础。三、以“结果是否与精算最接近”为评价标准介理吗？关于“绝对误差和相对谋差” “区间概念”的建立。评价估算结果是否正确时，可以把估算分为两种情况：一种是根据实际问题进行的估 算；一种是脱离实际问题的纯算式佔算。评价第一种估算的时候，学心能够根据实际问题选择合理的估算策略，并11结果合 理，教师就可评价这一估算是正确的。现象三中教师对纯算式的估算进行评价时，采用了 “结果是否与精算最接近”为评价 标准。这个标准合理吗？下而以“48x86”为例展开讨论。针对“48x86”这道题，

16、学生 可能会出现以下几种估算方法：乘法被估算式估法最后值绝对步原式48x8641280单估法50x86佔小数（四舍五入法估 数）440017248x90估大数（四舍五入法估 数）4320192双估法50x90两数均估（四舍五入法估数）450037250 x 8040x90两数异向调整4000360012852840 x 80两数同向调整3200928乘法被估算式估法最后值原式48x86一4128单佔法50 x 86估小数（四舍五入法估数）440048x90估大数（四舍五入法估数）4320双估法50x90两数均佔（四舍五入法估数）450050x8040x90两数异向调整4000360040x80

17、两数同向调整3200如何评价这么多结果呢？这里就涉及到与估算相关的木体性知识 “绝对误差和相 对误差”、“区间”这三个数学概念。绝对误差反映的是测量值偏离真实值的人小，即为准确数与近似数的差似绝对值。相对 谋差指测量值的绝对误差与测量值z间的比，即百分误差。以第一种估算结杲为例： 48x8650x86=4400这种估法的绝对谋差是| 4400-4128| =172 ,相对误差是： 17244003. 91%0引用某位专家教师的观点：结合生活实际，大数比小数多的百分数小 于30%。可以用“差不多”来描述大数与小数的大小关系。即大数与小数的百分误差小于 30%,这两个数描述为“差不多”。观察48x

18、86这道题，每一种估法的百分误差都小于 30%,所以这里每种估计结果对另外三种运算，即加、减和除，也可以简单地进行列举。 就会发现学生估算的结果与精确值的相对误差均不人。即便看上去绝对误差较人，但计算 相对误差均较小，这和我们小学阶段多采用“四舍五入”估数法不无关系。因此，在进行评价时，教师应当建立区间概念，也就是学生的估算结呆只要落在某个区 间内，就应视为合理。而这个区间也就是算式的取值范围。如“48x86”的取值范围在 3200至4500之间，只要学生佔的结果落在这个区间即可视其合理。（如图）当然对不同年龄的学生，要有不同的评价标准。对刚接触估算的低年级学生，估的结果 相对应的区间范围可以相对大些。随着学生年级增高，教师就应指导学生进行不断反思和 调整，从而使学生的估算结果能落在更准合理的位子上。如：“48x86”这个式子（如 图），三年级下册的时候估算结果落在黄色区，经老师指导学牛:学会调整，四年级的时候再估 算可能就落在蓝色区域，四