矩阵论在机械专业的应

1、aaai7“矩阵论”课程研究报告科 目：矩阵理论及其应用教师:姓名：学号：专业：机械设计类别：上课时间:2013 年 9月至2013 年 12 月考生成绩：阅卷评语:阅卷教师（签名）坐标变换在摆线针轮行星传动啮合方程中的应用摘要：摆线针轮行星传动具有传动比大、结构紧凑、承载能力大和传动效率高等 突出的优点，广泛应用于机械、矿山、冶金、化工、纺织、国防工业等领域。近 年來在精密传动领域中受到了广泛关注。木报告根据齿轮啮合原理、由|员i柱针齿 及给定的运动，运用矩阵论中的与坐标变换相关的知识，建立行星轮共轨啮合齿 廓的通用方程。从而表示标准摆线针轮行星传动的啮合方程式。一、问题描述如图1所示。件1

2、为针轮，件2为行星轮。在针轮和行星轮的中心分别建立 于z相固连的动坐标系0沁以及0卫2儿，在针轮中心建立整体固定坐标系 oxy。在初始位置，x轴与x轴重合，兀2轴与x轴平行。针齿中心分布i员i半径 为针齿的半径为厶。针轮与行星轮的齿数分别为勺和和，两轮中心距，即 输入转臂轴承的偏心距为-为了简化问题的讨论，采用转臂（曲柄）固定法。 将行星轮绕®轴逆时针旋转q角，根据相对运动关系，针轮也将随行星轮绕石轴 逆时针旋转仇角。求出行星轮的齿廓方程。二、方法简述问题中要求出行星轮，即摆线轮的齿廓方程。换而言之要求出短幅外摆线的 曲线。一般以内摆法形成短幅摆线；而短幅摆线和针齿满足齿廓啮合定律以

3、及连 续传动条件。与渐开线等齿轮共轨啮合传动的理论大致相同。在该问题中，可以 用方程式表达出针齿齿廓的方程，再根据针齿齿廓与行星轮齿廓共轨的条件，最 后求出行星轮齿廓方程，即与针齿相啮合的曲线方程。在通过针齿齿廓求解出行星轮齿廓的过程屮，由于针轮与行星轮存在偏心距, 即两者所处的坐标不同，这样会导致啮合过程屮，不能根据齿轮啮合原理直接变 换。在此，运用矩阵理论相关知识，完成坐标系z间的传换过程。涉及到的矩阵 知识冇：坐标变换公式以及坐标的基本变换。坐标变换公式设aev , a在基”,俐，之下的坐标为(鼻徐盒)，在基©，忆， 久z下的坐标为(£,£,£),

4、即采用矩阵形式写法，便有由于q在基0,俐，匕z下的坐标是唯一的，因此有££££=c或者= cc三、实验数据和结果1)啮合方程针齿齿廓在坐标0/中的方程为工=xjij + yj = r. cos0i +(r. sin&4- /?.) j (1)式中：&为角参量。根据齿轮啮合原理的运动学方法，啮合方程为0(0,%) = ® 计=o (2)其中，®为针齿啮合点处的法线矢量，在坐标轴兀和)山的投影为nx = dy/d0 = r_ cos0 , ny =-dx fd6 = r_ sin。,计为啮合点处针齿与行星轮的相对运动速度矢

5、量，计=片-片=(w-w)x为+ wx e 式中片=wx工,计2)=xz+ax w,=wk, w$)= w=w2k2。 以上齐式中a，j、,心分别为坐标轴兀,),$的单位矢量。将相关的表达式带人(2)式，计算化简后得到啮合函数0(&同) = 2cos(0 +仇)-cos& = 0 (3)其中兄为系数，且2 =吧/人佩t)2)行星轮的齿廓方程工在坐标系畑中，与针齿齿廓工相共轨的行星轮齿廓为由卜式确实:i21(5)i飒&同)"式中m21=m2om()1,为从ohxbylh到0”22“的坐标变化矩阵。由omh到oxy的变换矩阵为(6)cos 0h - sin 0h

6、m() = sin 0h cos %0 0一幺 sin一 e cos 0a(7)由oxy到oyx2ay2a的坐标矩阵为cos 0asin 6a= _sinqcos 0a令ea-oh =(ph,由 =可得&“二zb©/(zb zj, % = zg©/(z一zj 于是cos%im2 = -sin%0(8)sin© -血乞/匕一)cos© -eczh(ph/(zh-zs)0 1根据三角函数公式解啮合函数(3),有 sin0 = ±(qcos仇 -1)/j1 +才-2/lcos$ (9) cos 0 - ±2 sin 0h / jl

7、+ 才 -2/icos$将(1), (8), (9)式带人(5)式得到行星轮的齿廓方程工的一般表达式兀 2 =人 sin%£sinzb%/(&y2 = r: cos(ph-e cos(10)(-zj + rcos/? 日心一5)-°sin0其中诃心一s)cos 0 = ±2 sin zh(ph / (zb zj sin % / jl + 才 _ 22cosp / 匕 _ z j sin0 = ±2coszb© /(聋z j + cos©/ jl + 22 -22cos其中，行星轮齿廓的方程式为式（10）的表达式。结果分析和说明

8、根据过程三中得出的结杲，针齿齿廓的表达式为式（1）中的工，该方程的表达式是在坐标系ohxy的表达式；而与z相啮合的摆线轮的表达式为式（10） 中的力，该方程的表达式则是在坐标系0/2訝2。的表达式。由此可见，与针齿 共轨啮合的曲线获得的行星轮齿廓方程，是短幅摆线的等距曲线。当式（10）中的针齿半径口=0时，将得到理论短幅摆线；当针齿齿数乞大 丁摆线轮齿数时，式（11）中，等号右边取正，短幅摆线向内等距，获得短 幅外摆线的等距线，形成普通的摆线针齿行星传动，见图2；当针齿齿数乞小于 摆线轮齿数和时，式（11）中，等号右边取负，短幅摆线向外等距，获得短斧 内摆线的等距线，可行成内摆线针轮行星传动，见图3。图2与图3中的参数为：人二90, 二7, e二4,=33, z广34, 2 = 1.511图2矩幅外摆线的等距线图3短幅内摆线的等距线参考资料1李新，何传江.矩阵理论及其应用.重庆大学岀版社,2005(8): 2-11.陈兵奎，房婷婷，李朝阳.摆线针轮行星传动共觇啮合理论轴承,2008,38(1):148