矢量在初等数学中的应用

1、矢量在初等数学中的应用权国治（西北师范大学数学与信息科学学院数学系98级乙班）摘要：利用矢量，对以把三维欧氏空间的几何结构有系统的代数化，从血使某些初 等数学问题更简洁地得以解决。木文就初等数学屮常见的几类问题，给出了用矢暈法解 决的新思路，新途径.关键词：矢量;内积;外积;混和积;异面直线;轨迹初等数学中遇到的许多问题，诸如共点、共线、共面问题；证明（求） 异面直线（距离）；求轨迹方程；证明初等数学公式；证明不等式；计算角、 面积、体积等。用初等方法证明或计算主要是通过运用自身的一些性质定理 和判定定理而进行的，而对于毎一内容的性质和判别法乂有若干，故解决时 必然而临如何正确选择和灵活运用这

2、些定理，这就使得这类问题的初等证明 （或计算）往往具有难度大、技巧性强、不易掌握等特点；另外，对一些定 理、公式的证明往往都要添加较多的辅助线，这样的技术因题而异，变幻莫 测，证明常常显得烦琐复杂。而向量的引进将空间结构代数化，从而将这些 初等数学问题转化成向量关系式的简单证明或计算。兼之矢量的自由性特 点，我们利用矢量的线性运算、矢量的乘法（内积和外积）和矢量的混合积, 使得对于这些初等问题的处理别开生面。木文就初等数学中上述问题，给出 了用矢量法解决的新思路，新途径。（一）证明不等量关系、不等式几何屮的不等量关系遇到较多的是长度、角度的不等量。引进向量后证明长度的不等量可以归结为证明冇关线

3、段所对应的向量的模或其平方不等. 92即若 i ab 11 cd i 或则 abhcd 证明角度关系的不等量时，只要用向量夹角公式cosz(a,6)=厂罕iaab 分别求出两角的余弦后进行比较即可(余弦值大的夹角反小)值得一 提的是，证明长度的不等与证明角度的不等可以相互转换，例如, 在已知三角形4bc中，要证abac,可改证cosz(4, bc) > cos z(g4,cb); 同样，要证乙4cbzabc,则可证|xfi| >|ac|或忑2才乙例1设a,b,c,d是空间中的四点.求证：ac1 + bd2 + ad1 bc1 > ab2 +cd2.证明：(如图 1)设ab =

4、 a, ac = bf ad = cac2 + bd2 + ad2 + bc2 - ab2 -cd2=b2 + (c-a)2 +c2 + (b-a)2 - a2 -(c-b)2-a1 +b2 +c2 -2ac - lab -2bc = (a-b-c)2 >0,ac2 + bd1 + ad1 + bc1 > ab2 +cd2.例2 在aabc中，ab>ac, be,cf分别是ac, ab边上的中线，且图2be,cf交于点o,求证：zobc < aocb证明：(如图2)因为e,f分别是ac, ab的中点,2 ?则bo = -be,同理可得co=-cf .又因为3 3 1 &

5、gt; * 1 be = ba + ac, cf = ca + -ab, 所以22同理，2 * 1 2 1 bo = -(ba + -ac) = -ba + -ac ,32332 1co =-ca + -ab ,33于是2 2 32 2bo -co =-(ab -ac )>0,9故 zobc < zocb 注上而两题若用综合法证明通常需要添较多的辅助线，因此证法较 繁。如例2,常见的是将cf平移至he处，但为证be>eh ,还需作ab的 平行线eg及cg的中点m ,并通过证明zbme > zhme后才能获得。显然， 应用向量的证法较为简单且行之有效。在初等数学中不等式的

6、证明一般用初等法，如比较法，构造函数法等。 这些方法通常比较灵活，不易掌握。当引进矢量后，相当一部分不等式的证 明将变得简单，易懂。卜面就对柯西施瓦兹（cauchyschwartz）不等式用矢量 法给予证明，希累它能起到抛砖引玉之功效。例3证明不等式（匕如（匕応）。/=1 /=1 1=1证明：设a = a,a2,- -jan, h =，乞,因a =la 丨 1力 i cos/（«,&）则显然有ab<a-b,根据内积的分量运算法则,立即得到（二）证明位置关系儿何中的位置关系主要包拈垂直、平行、共线、共点、共面。用综合法 证明就必须从它们自身的判定定理出发，而应用不同的判定

7、定理时会而临不 同程度的困难；另外，绝大多数定理的应用都需要添加较多的辅助线，这对 初学者来说，很难掌握要害，抓住规律。而引进向量后，这类问题的证明就相对简单明了。1垂直(1) 用矢量法证明两直线垂直，其基木原理是证这两直线的方向矢量的 数量积为零，或它们的向量积的模等于这两向量模长的积，即若ab cd = o 或abxcd=abxcdf 则ab 1cd.(2) 证明空间直线与平面兀垂直，只需证明平面龙上任意两条和交 直线段cd与cd满足以下关系式：abcd = oabcdoabxcb| = |ab|x cd|ab x cdr = ab x cd1(abo, cdo,而工 o)(3) 证明两平

8、面7t|,疗2垂直，可证这二平面的法向量®，©垂直.例4 (2000年全国高考题第18题)如图3,已知直平行六面体abcd a1fi1c1di 的底面 abcd 是菱形，且 zc&b = ac.cd = /bcd = 60(1) 证明：c】c丄bd；当誥的值为多少时,能使ac丄平面cbd2请给出证明.图3证明： 取co cb, cc,为空间的一组基，因为bd = cd cb,所以cc, . bd = cc,(cd - cb)= ccrcd-ccccb = 0,最后等号成立是因为zc.cb = zbcd = 60°，口 abcd是菱形.故 g c 1bd.=

9、r (r > 0), bp i cz) 1= z i cc, i,为了能使丄平面 c0q,当且仅当£c丄c£,a|c丄bd ,即£ccq = 0, £cbd = 0.由图注意到ac = -（cd + c + ccj, flc£ = cd-cc,利用已知条件，直接计算得到=（討一”）匡由此可见-3 9 1ac c£ = 0 o (-r2 r -1) = 0 o (r -1) + 2) = 0,rn由于r>0,所以t = ,即当匚=1时，能使a&丄平面c、bdi例5如图4,四棱锥0- 4bcd的底abcd是菱形，且z0

10、ab = z0ad ,图4求证：平面04c丄底面abcd证明：因为acxao是平面0ac的法矢量,abxad是底ft' abcd的法矢量，进而直接计算得到(abxady (acxao)= (abxd)xic md=(afi ad)ad 一(ad ac)ab a0=(ab id)(7d a0) -(ad ic)(ab 丽=abac-ad-a0-pos z(ab, ac) cos z(ad, ac) 一 cos z(ad, ac) cos z(ab, ac)由 abac = adac，代入上式得(bxid)-(icxxo)= 0,即平面 oac 丄底面abcd2平行（1）证明两线段平行，可

11、证这两线段所対应的方向矢量共线，或证明它 们的向量积为零。即若ab = tcd, abxcd = o,则ab ii cd（2）证明空间一条直线（段）平行平面;r,则可在平面上寻求一向量，证 明该向量与已知线段对应的方向向量满足共线或平行.例6设ab, bc, cq是不在同一平而内的三条线段，求证：过这三条 线段中点的平面和ac, bq都平行.图5证明：（如图 5）设ab = a, bc = b, cd = c ,贝ij ac = a+b ,再利用中位线定理，得ef = £（a+b）, fg = i（b + c）,于是 +方）x （方+ c）即为平面efg的法 矢量.由于ac （a+方

12、）x（ + c）=（a +）（a +）x（ + c）=o,所以ac /平面efg ,同理bdii平面efg3共线三点共线问题等价于两矢量的共线问题，矢量法解决此类问题的原理及 方法可参见2（1）.例7 （第23届imo）如图6, ac,ce是正六边形abcdef的两条对 角线，点m,w分别内分ac.ce ,使am : ac = cn:ce = r，女口果三 点共线，求厂的值.解如图6, ac= 2a ,乔=2b ,贝'j am = rxc = 2r a, ab =a-b, . 1 . 3 >bm =ba +am = b+（2r-） a,注意至 ce =-ca+-af =3b -

13、a .进而2 2cn =ce = 3rb-ra,因此我们得到mn = mc + cn =3r b+ (2 3门 a,由题设条件，三点共线，于是1_ 2厂一1齐_ 2_3厂，图6故求得厂二v|3例8 (欧拉定理)证明abc的外心0,重心g,垂心h三点共一条 直线(欧拉线)，且0g:gh =1:2证明：(如图7)设以a/1bc的外心0为矢量的起点，则重心g的径矢 1 ' 0g=-(0a0b + 0c). 3延长b0交abc的外接圆于q点，因为反丄而，丽丄万°,所以反丽，同理乔疋，故adch为平行四边形，即有丽万又因为dc = oc-od, od = ob ,d所以 0 h =oa

14、ah =oa + dc = oa + ocob,即 0 h =30g ,从而我们证得外心o,重心g,垂心h三点共一条直线，且0g:gh=1:24共点证明三条直线共点于0,可从下面三方面着手：(1) 证明直线厶上的任意一点和4,厶的交点0构成的向量与直线厶上的 任意非零向量共线；(2) 证明这三条直线上各有一点，它们对于某一固定点有相同的向径；(3) 将问题转化为三点共线來证;即在三条直线zp/2,/3上分别取a,出；b,b； c，g；只需证明o,c,c|每组中任意两点连成的向 量为共线向量.例9证明三角形的三条高线交于一点.证明：设ad,be,cf是mbc的三条高线，并设3e与cf交于0点（如

15、图图8即忌丄荒.8）,于是证明三条高线交于一点0,即证a0丄bc.由a0 = ab + b0可知a0 bc =（ab+ b0） bc= jbbc + jbobboac=afioc + bo-xc由假设乔cc = o, ac bo = 0,所以花庞 =0,例10如图9,设g是abc的重心，m,n分别是gb及gc的屮点， 延 >zac 至 e 使得 ce = ac/2f 乂延长 a3 至 f,使 = 求证：ag , me,nf三线共点.证明：设aabc三顶点a,b,c对某一固定点的向径分别为rpr2,r3,则重心g的向径为（打+尸2 +3）/3，由疋比分点公式，我 们得到m点和n点的向径分别

16、为（打+4r2 +r/6 和（打+r2+4r3）/3 ,因为bc屮点h的向径为 （r2+r3）/2,再次利用定比分点公式得到f点的向图9 径为（3乙一林）/ 2 ,从而32 一打 _ri -2r2+r3222丽=林+尸2+4厂3 乙+心二行_2厂2+尸36 2 _ 6 ，即fh =3hn，因此f,h,n三点共线，同理可证e,h,m共线，则由原理(3) 知4g, me,nf三线共点.注题设屮含若干线段屮点的直线共点问题，这类问题用向量方法处 理最为方便，原因是线段中点、三角形的重心的表达式都是熟知的，且在形 式上是各相关点向径的一次齐次对称式，用向量证法有效地解决了综合法证 这类问题是固有的图形

17、复杂的困难。5共面初等儿何中的四点共面问题和三线共面问题实际上是等价的，矢量法证 明的要旨在于证明三条直线的方向矢量的混合积为零。通常用解析的方法计 算混合积较为方便，所以选适当的坐标系來表示矢量也是简化证明的关键。例11在四面体oabc中，设q为棱0c的中点，g是三角形的 重心，e是0g上的点，hoe = jog ,求证：a,b,d,e四点共面.证明：(如图10)以o为原点建立空间直角坐标系，并设顶点a,b,c的坐标分别为b(x29y29z2)9 c(兀3,儿,e)，于是oc的中点d与三角形abc的重心g的坐标分别为坷+勺+勺 风+儿+儿z1+z2+z3), , ,333*31ltnoe =

18、 -og 4兀+兀2+屯乳+力+儿z+z2+z3兀1+兀2+兀3儿+力+儿z1+z2+z3)，,94 4从而ab = （x2 y2而=（兀3 _ 2旺儿_2北z3_2z-1 2 ' 2 ' 2 丿 盘=（兀2 +心-3坷力+儿-3）5+乙3_3勺一1 4'4'4册，旋耳2 -儿儿一2儿6一 2©兀2 _兀兀3 一 2兀5+23一3知儿+儿一 3%此即说明三矢量ab,ad,ae共面,等价于a,b,d,e四点共面.于是三矢量乔,祠,忑的混合积（三）证明轨迹问题确定某一运动的轨迹，即确定有关图形的形状、位置、大小。因此，轨 迹问题实际上是数量和位置关系的综合

19、，所以矢量方法同样适合处理轨迹问 题。用向量求满足给定条件的轨迹，通常分为两个步骤进行：（1）在给沱的问题里，适当设置或建立处标系；通过向量计算寻找轨迹 点所满足的定量关系，断定它应在怎样的图形上；（2）借助向量计算证明图形上的点满足问题的条件。例12已知直角三角形4bc中，zc = 90° ,若动点m满足关系式ma2 + mb2 =2mc2,求动点m的轨迹.解：如图11,设对于点c的向径分别为r.,r2,动点m的向径为由条件(r-r1)2+(r-r2)2=2r2,得2r2 = 2r2 +r)2 +r； 一2厂(打 +r2)、2=2因为ac丄bc,所以f -r2 = 0,于是、2此即

20、动点的轨迹的矢量式方程.例13设a3是半径为/?的圆o的一条直径，bc是动弦，延长3c到d使cd = bc求ac与od的交点的轨迹.解：设ac与od的交点为p,依题意，c显然不能与b重合，若c与b重合，则p也与a重合。所以只考虑c不同于b的情形，由题设知p是三角形的重心。取o为原点，所在直线为兀-轴，建立如 图12所的示直如坐标系，则op = -（oa + 2oc图12因此-1 - 74 '24 ? 2 > 设点乙的向径就是*04,则厶为定点，hp.p =|7?2,当o p = oa时显然满足此等式，这说明p的轨迹以心为圆心，2ri3为半径的圆厶上，由于c不能与b重合，所以圆匕上

21、向径为+亦的点不是轨迹上的点.反z,除向径为寺亦的点外，对于i员上任一点片，设c,q分别满足条件亦=（刃+ 2疋）/3和阳 =3血上的点，贝ij- 1 2 ° * - - op oa = -oc, od =oa + 2oc = -ob + 2oc,2 o 1 1 由这两个式子分别得到oq =才（0片§oa）2 = /和oq =-（00, +ob）所以g在i员|0上，且是的中点，从而片在所求轨迹上。于是所求的 轨迹是以仇为圆心，2/?/3为半径的圆，但要除去向向径为扌亦的点.注对于图形轨迹，解题吋应先做大略的判断，如上例，不难判断p只 能在有限范围内活动且为圆弧的可能性很大，

22、这时利用向量进行考察，注意 力就应倾向于寻找是否存在向径为/；）的定点f ,使动点p的向径厂满足 lr-rol=k（k为定值）。从以上可看出，向量便于计算的特点使得用向量法处 理轨迹问题的难度大幅度卜降，也不要太多的辅助线。!1!混合积与异面直线的距离中学已经学习了异面直线及两异面直线间的距离，两异面直线的距离是 依据它们所成的角去计算，这样就必须先求出两异面直线所成夹角的余弦， 在介度未知的情况下求得距离更为麻烦，而用矢量法求两异面直线的距离就 显得容易多了。例14求两条异而直线厶,匚间的距离6/（/.,/2）.解：如图13,在厶丿2上分别取两点b,b,过3点作直线厶的平行线则人与的距离就是

23、d到厶与人所在平面兀的距离.在厶，心上分别取异于3点的c点和d点，此时4与平面龙的距离就是 四面体b、dbc中以色为顶点，以m）bc为底面的四面体的高.因为四而体b、dbc的体积等于以bc,bb、,bd为棱的平行六而体体积的1/6倍，根据混合积的儿何意义知v平行六面体=（bc x bd） bb方面vbdbcqsbdc * d('l ,2 )_><丄| bcxbd 1-6/(/,/.), 3 2另一方面图131 1 %磁=石v平行六面体=&（bc x bd） - bb综合两方面，我们得到d（/）=_ 一.bcxbd注这就是说，异面直线人与厶的距离是以两个向量的外积的模

24、做 分母，以这两个向量与第三向量的混合积的绝对值做分了的分数，这两个向 量是在异面直线a与厶上任取的非零向量，第三个向量是分别以而两个向量 的起点做它的始点和终点的向量.例15已知abcq-adgq是正方体，它的棱长为单位长度，求异而直线段和间的距离.bc =(-1,0,1),=(1,1,0), 严(0,0,1),图 14h接计算得到bc、xdb = -101 =-i + j-k.1 1 0由上题计算异面直线间距离公式知，和bg间的距离为(-ij-i)-(oai)v|3cq = joq'+ou = j" + (李)v|2图15注本题若用综合法证明的方法有好儿种，但均须添置若干

25、条辅助线，比起向量法来要烦琐的多，现选择一种较简单的证法与之比较。证明：（综合法）（如图15）因为bq1/bd,所以bq】/平面c】db, 故要求异而直线bq】与bc.间的距离，只需求出bq】与平而cqb间的距 离即可.将线段oq投影到/cqb平面上，设其投影为oh,则o|h便是b】d|与/cidb平面的距离oq丄db市三垂线逆定理得oh 丄 bd又z1gdb是等腰三角形h必在cid上 010=1且 ooxo|c| = o|hxcq从上面的比较來看，向量的求法明显比综合法简单，也不要做任何辅助 线，只需寻求公式中的两矢量即可，这就是向量在初等几何中的优点。（五）矢量法证明初等数学公式初等数学中

26、许多公式的证明是相当的繁琐；如正弦泄理、余弦泄理、海伦公式、i员i幕定理等，现在我们给出这些定理的矢量法证明.例16.幕定理）从圆0外一点p作割线设圆0的半径为r,证明：papb = po2-r2.证明：如图16,过点4作圆0的直径ap连结p'b,则pb丄pa,兀顽=（而+ 两何 + 两=何+刀）何一可）2 2両cosz莎屈十加图"=p0 -oa =po2-r又因为 鬲顽=可所以 papb = po2-r2例17已知aabc, a,b,c分别为边bc , ac和a3的长，求证:(2)图17a _ b _ c sin a sin b sin c'c2 = a2 +/异

27、-2abcosc.证明：(1)如图17,令=荒，b = ac,贝 ijtb ab + bc+c4=0 |c=一a,于是o = cxc =cx(b-a)=cxh-cxa,所以 cxb =cxa f 同理可得 cx=xa,因此 cxb=bxa=cxa f 即a _ b _ c sirm sinb sinc(2)由c = 一a 得到c? =(a-b)2 =a2 +b2 -2a b ,即c2 = a2 +b2 -2abcosc 例18 试证明关于三角形面积的海仑(heron)公式s(s - a)(s - b)(s - c),其中是三角形的三条边的长，5a表示三角形的面积，s = (a + b + c)

28、/2证明：设向量a,c依次首尾相接构成一三角形，那么a+b+c =0,从 而由a +方二-c得a 方二丄(c? -/ -戸)，再由s=axh i及lagrange恒等2 2式得到(axb)2 =a2 b -(a b)1,于是4s： =a2 b2 -(a-b)2=a2b2 -(c2 - a2 -b2)2=4$(s -a)(s- b)(s 一 c)(六)计算角度、面积、体积根据矢量内积、外积和混合积的几何意义，初等数学中经常遇到计算角 度，面积，体积等问题可以很容易用矢量法求解，而且计算也比较简单。下 面通过具体实例给出求解长度、面积和体积的矢量法公式及求解方法.例19设oabc是一个正四而体，求

29、它的任意两个而z间的夹角.解：如图18,设四面体的边长为1,令oaxob=a9oaxoc =b,贝lal=ioai-iobi-sin60°图18和分别与面0a3和oac垂直，如果a和 的夹角是锐角&，贝lcos0 = -,注意到ab = (oaxoby(oaxoc)=(oa)2(ob 0c) - (oa oc)(ob oa)-cos 60° - cos2 60111=2 44所以cos =-,因此所求的夹角0 = arccos-33例20已知44bc, s,虫表示zbc的面积，d, e , f分别是bc, ac , ab的中点，求以ad, be, cf为三边所围成的

30、三角形的面积.b图19解：如图19,因为ad, be, cf是三角形abc的三条中线，则由中线定理立即得到 i o i i o i be = (ab+-ca), cf = (ca + -ab), ad = ab + -bc , 2 2 2于是iii 1ibe + cf + ad = - (bc + 04 + a3) = 0 ,这就说明以aabc的三屮线为三边可作一新三角形而i .i i .i ibexcf = -(ab + ca) x (ca + ab) 2 2从而以aabc的三中线为三边所作的新三角形的面积为1 3s=-bexcf =-sabc.2 4注：上例若用初等法，则证明过程和书写都很烦琐，且