数值分析上机实验——插值

1、庶爾牘n理2厚卖 验 报 告课程名称数值分析实验项目名称插值实验实验类型上机实验学吋2班级20111131学号2011113130姓名张振指导教师沈艳实验室名称理学楼407实验时间2013.10.11实验成绩预习部分实验过程 表现实验报告 部分总成绩教师签字日期哈尔滨工程大学教务处制实验一插值实验一.插值法的基本思想1 .lagrange插值多项式的基本思想及公式：lagrange插值多项式的基本思想是把多项式的构造问题转化成n+1个基函 数.（x）的构造。其公式如下：l”（x）二外仏.其中 ljx）=（7）（f）（f m）用0,1,n.（耳_兀0）（忑（"一忑+j（耳-斗）2.ne

2、wton插值多项式基本思想及公式：newton插值多项式是lagrange插值多项式的改进，是由基函数1, （xx°）,，（xxo）.（xx“_）逐次地推得到的多项式。其公式如下：p“(x) = ao+a】(xxo)+ art (x-x0).(x-xw_1). 其中 = fxo，x,xr ,k=0,l,n.3.hermite插值的基木思想及公式：hermite插值不仅满足各插值点上函数值相等，而且各节点上导数值也想等, 甚至高阶导数值也相等。在这里只给出两种典型的hermite插值： p(x) = f(x()+fx0,x)(x-x()+ fx(),xl,x2(x-x0)(x-xi)+

3、a(xx0)(x-x!)(x-x2) 其屮系数 a二 f'(xjfxo，x|fxo，x|,x2(x|xo)八 八(xj -x 0)(x, -x2 )余项 r(x)=lf(4)( © ) (xx()(xx j2(xx2).4!其中(1 + 2x-xi *xoj-州丿/、/ 、21 + 2 兀一 x。i ®x)l坷-“0丿h°(x)h (兀)=/ 、2【x- xxho（兀）=（兀一兀o）卫0 一州丿h (%) = hq(x)yq + /?j (x)y +(兀)几+h(x)y、2w1(x) = (x-x1)余项r3(x) = f(x)-h3(x)=(x-x0)2

4、(x-x()2 兵(a,b)4 三次样条函数s(x)wl a,b，且在每个小区间抹沖鬥上是三次多项式，其中a =x0<x1<.< xzj = b是给定节点，则称s(x)是节点x()x.x“上的三次样条函数。若在节点上给定函数yj二 f(x7.).(j=o, 1,.,n),并成立 s(xy. )=y . .(j= 0, 1,., n),则称 s(x)为三次样条插值函 数。二实验题目及实验目的1. (第2章习题20)给定数据表如下：x/0.250.300.390.450.53y；0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值s (x),并满足条件：(

5、1) s (0.25) =1.0000, s (0.53) =0.6868；(2) s" (0.25) =s (0.53) =0.2. (第2章计算实习题3)下列数据点的插值x01491625364964y012345678可以得到平方根函数的近似，在区间0,64上作图。(1)用这9个点作8次多项式插值l* (x).(2)用三次样条(第一边界条件)程序求s (x).从得到结果看在0,64上，哪个插值更精确；在区间0,1上，两种插值哪个更精 确？三.实验手段：指操作环境和平台:'¥ir)7系统b* matlab r2009a程序语言：一种类似c语言的程序语言，但比c语

6、言要宽松得多，非常方便。四程序1.三次样条插值程序：function y = scyt(x0, yo, x)n = length(xo)； m = length(x)；y = zeros(1# m)；p(n) = 0; q(l) = 1; d(l) = zl.oooo; d(n) = 0.6868;for k = 2：n-1,h(1) = xo(k) - xo(k-1) ； h(2) = xo(k+1) - xo(k)；p(k) = h(l) / (h(l) + h(2);q(k) = h(2) / (h(l) + h(2);d(k) = 6* ( (yo (k+l) - yo (k) ) /

7、h(2) - (yo (k) - yo (k-1) ) / h(l) ) / (h(l) + h (2)； endb(l) = q(l) / 2;for k = 2 zn-l,b(k) = q(k) / (2 - p(k)*b(k-1)；endtemp(1) = d(1) / 2；for k = 2 zn-l,temp (k) = (d (k.) p (k) *temp (k-1) )/ (2 - p (k) *b (k-1)；endm(l) = 0;m(n) = 0;for k =1：-1：2,m(k) = temp(k) - b(k)*m(k+l)； endfor i = 1：m#for

8、k = 1：n-l,if (x(i) >= xo(k) && (x(i) <= xo(k+1),h = xo(k+1)- xo(k)；y(i)= m(k)*(xo(k+1)- x(i)3 / (6*h)x(i) )/h)-xo(k)/h)；+ m (k+1)*(x(i)- xo(k)a3 / (6*h)+ (yo(k) m(k)*h“2 / 6)*(xo(k+1) + (yo(k+1) - m(k+1)*h2 / 6)*(x(i) endendend 控制台输入代码：x0= 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53;y0= 0.5000 0.5477 0.6

9、245 0.6708 07280; x= 0.25:0.02:0.53;y=scyt(xo z yo z x)2. 拉格朗日插值程序：function y=lagrange(xo,yo,x) n=length(xo)；m=length(x)； for i=l:mz=x(i);s=00;for k=l:np=1.0;for j =1：nif j =kp=p*(z-xo(j)/(xo(k)-xo(j );endends=p*yo(k)+s；endy (i)=s；end三次样条插值程序：function y = scyt(xo, yo, x)n = length(xo)； m = length(x)

10、；y = zeros(1, m)；p (n) = 0 ； q (1) = 0 ； d (1) = 0 ； d (n) =0 ；for k = 2h(1) = xo(k)- xo(k-1)； h(2) = xo(k+1)- xo(k)；p(k) = h(l) / (h(l) + h(2);q(k) = h(2) / (h(l) + h(2);d(k) = 6*(y0(k+l) - y0(k)/h(2) - (yo(k) yo(kl) / h(l) ) / (h(l) + h (2)；endb(l) = q(l) / 2；for k = 2：n-1,b(k) = q(k) / (2 p(k)*b(

11、k-l);end temp(1) = d(1) / 2 ；for k = 2：n,temp(k) = (d(k)- p(k)*temp(k-1)/ (2 - p(k)*b(k-1)；endb(k)*m(k+1)；m(n) = temp(n)； for k = n-1：-1：1,m (k) = temp(k) end for i = 1:m,for k = 1：n-l,if (x(i)>= xo(k) && (x(i) <= xo(k+1),h = xo(k+1)- xo(k)；y(i) = m(k)*(xo(k+1)- x(i)a3 / (6*h)+ m(k+1)*

12、(x(i)- xo(k)人3/(6*h)+ (yo(k)- m(k)*hx2 / 6)*(xo(k+1)- x(i)/h)+ (yo (k+1) puk+lphy / 6 ) * ( (x (i)- xo (k) ) /h)；endendend 控制台输入代码：x0= 0 1 4 9 16 25 36 49 64;y0= 0 1234567 8;x= 0:4 : 64;yl=sqrt(xo)plot(xo,yl)hold ony2 = lagrange(xo z yo z x)plot(x,y2,1r1)hold ony3= scyt(xo, yo, x)plot(x,y3,'g*)五.实验结果比较与分析1.图像:分析与结果：从图像上看，用三次样条插值得到的拟合曲线比较完美，无“龙格”现彖出现。2.图像比较:0,1区间上图像放大结果