数码相机定位的模型研究

1、基于射影模型对数码相机定位的研究摘要数码相机在计算机视觉中的应用逐渐普及和深入，在应用中，数码相机的标定是相当重 要的。本文根据数码相机的成像特点和性质，提出了i种棊于射影对应模型进行数码相机标 定的方法。木文首先证明了小孔成像的四个性质，其屮圆经小孔成像为椭圆以及线段中点经 小孔成像所得点不一定还是像线段（经小孔成像后所得到的线段）的中点的两条 性质对本文的解题提供了很大的方便。木文首先强调了像的儿何中心与题中所求 靶标上圆在像图中圆心的处标不同，然后根据二维到二维射影的非齐次对应关系 推导出射彩对应模型的矩阵关系式，利用arcmap软件提取出椭圆像的儿何中心 坐标，求的结果为：abcdex

2、-184-89133-22676y197189168-116120最后用迭代学习算法由几何屮心坐标步步逼近像图屮圆心的坐标，求的问题 二中的所求像素坐标与图像坐标为：点号像素坐标x像素坐标y转换后的屮心坐标x转换后的屮心坐标ya321.924161-188.499369-190.075839195.500631b422.006875-195.9104-89.993125188.0896c638.884012-212.146509126.884012171.853491d581.750951-501.94367669.750951-117.943676e283.677038-500.771593

3、-228.322962-116.771593问题三中木文建立了一种比较简单的检验模型：靶标图上4,b,c 3个圆的圆心共线，则相机成像后像素坐标系、图像坐标系这3点也应共线。我们只需用 最小二乘法原理做这两条线性拟合，以共线性的谋差来检验模型的精度。最后根 据结果求的拟合出的直线方程为y=-0.0746x+181.3373 ,误差平方和为 2.1796e-009o问题四中，木文利用坐标转换的思想，将两个像处标平面的位置分别的用物 平面的世标进行表示，要想把像平面在物平面中定位，就是要把像平面经过平 移变换和旋转变换使它与物平面重合，最后通过同一点在两个像平面内的处标表 示，求出相机的具体位置。

4、关键词：射影对应模型 迭代学习算法arcmap软件 最小二乘法 坐标转换一.问题重述有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对 应为a、c、d、e）为圆心，12mm为半径作圆。以ac边上距离a点30mm处 的b为圆心，12mm为半径作圆，如图1所示。图1靶标示意图图2靶标的像（1）上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，这里坐标系原点取在 该和机的光学中心，xy平面平行于像平面；（2）对由图1、图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆 心在像平面上的像坐标，该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是 1577个像素单位（1毫米约为3.78个像素单位），相机分辨率为1024

5、x768；（3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进 行讨论；（4）建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。三.问题分析木问题涉及的是数码和机的定位问题，问题出现在双h定位的背景下，要解 决的问题是如何实现物体表面某些特征点在物平面和像平面之间的处标转换， 其中如何在像平面中找到发生变形的靶标（鬪）像的鬪心是需要解决的核心问题。题日屮给出了已经得到的靶标的像和一些可测量的参数，如相机的像距，分 辨率及靶标圆的半径和各圆之间的相对位置等。精确确定两部相机的相对位置是 最终冃的，实现物体表而某些特征点在物平而和像平而z间的坐标转换，是解决 问题的基础，而像的变形决定了

6、找到圆心在像上的投彩是问题的核心也是难点。 我们考虑先找出小孔成像的某些性质，根据这些性质实现找到物体表血某些 特征点在物平面和像平面之间的坐标转换的方法，然后首先提取出像的几何屮 心，利用迭代学习算法步步逼近像圆心的坐标，然后根据同一点在不同像平面屮 的坐标，进行转化，求出相机的具休位置。四、模型准备4.1数码相机定位中的常用坐标系构建数码相机拍摄实际上是一个光学成像过程，可将此过程分为3个步骤，隶属 于4个坐标系，建立4个坐标系如下。4.1.1像素坐标系数字图像最终要存储在计算机内部的存储器中，所以要将像平面的投影坐标 转换到ccd图像面上，如图3所示，取坐标原点为ccd图像平面左上角，u

7、轴、 v轴分别平行于ccd平面的2条线，建立ouv像素坐标系，单位为像素，且为 离散整数值。4.1.2图像坐标系由于像索坐标系并没有用物理单位表示出像素点在图像中的位置，因此需建 立图像坐标系。小，如图3所示，坐标原点在ccd图像的中心兀轴分別 平行于像素坐标系的弘、u轴，坐标值用（兀丿）来表示，单位为毫米（加同。4.1.3光心坐标系相机坐标系。兀儿-是固定在数码相机上角坐标系，如图3所示，以相机的光学中心为坐标原点，母.轴、儿轴分别平行于图像坐标系的兀,y轴，相机光轴为z轴，坐标值用（心儿表示，单位为像素，光心到图像平面的距离为 oo,实 质是像距h,在木文问题的试验中h =1 577个像素

8、单位。414世界坐标系由于和机和物体可以放在环境中的任何位置，所以还需建立一个坐标系来刻 画，称之为世界坐标系。几儿"，可根据具体情况来选择建立，在和机拍摄系统 屮通常以所测物体的屮心三维的坐标系或相机坐标系来定义世界坐标系，坐标值 用（几,儿s，）表示。4.2成像模型按透镜成像原理，由相机坐标系向图像坐标系的转换过程符合中心影射或透 视投影，可用齐次坐标与矩阵表示为：/ 、xy1o/ 、 x.0 0、c0 0yc1 0丿c丿id(f o(0 o(i)式中（心儿mj相机坐标系屮一点p的坐标&,），）对应图像坐标系中p的坐标设图像坐标系以原点q在像素坐标系中的坐标为（h0 vo

9、）,则这里 f/0 =1x768 = 384像素，心二丄x 1024 = 512像素，每个像素在x轴与y轴方向上2 2的物理尺寸（和邻像素间的距离）为dx、从而可得图像坐标系到像素坐标 系的转换关系用齐次坐标和矩阵形式表示为：% 0%v0voy(2)0 0k1/id将（1）式代入（2）式可得相机坐标系到像素坐标系的转换关系/ 、£/ 、"xc、=nyc11其中称n为相机的内部参数矩阵，从而可求解靶标上圆的圆心在光心坐标 系下的坐标计算，表达式为：j =/? = 1577/3.78(4)相机在在世界坐标系中的位置和方向，可用3*3阶的旋转矩阵r和三维平 移向量t來表示，从而坐

10、标系到相机坐标系的转换关系为：/ 、/ / 儿（rt、儿=m儿01丿w11丿id其中，r为3*3阶正交单位矩阵，or =（0,0,0）r,m称为外部参数的转换关系 为：/ uv =10 %0 0、«0 °心°1 0'r t、0 1>/ 、儿sk1/u j(6)/ ( nm儿=q儿1 1 ) /q称为投影矩阵。五、模型假设1、假设数码相机成像原理为小孔成像原理；2、双忖标定中2部数码和机型号相同，即像距和分辨率相同。3、将相机简化为一个小孔成像机构，对于产生的相差，以及相机对像平面成像 的调整作用不予考虑；4、像平面是由一个个有人小的像素点组成，是一个

11、不连续的点空间，而几何定 义人都是在连续空间内定义的，这里假定，在几何推理中，像平面是连续的面， 也即每个象素点除了表示坐标外，不再具有实际的大小；5、为了在离散空间中求解，在解答过程中对相切、和割的含义做了一些调整, 具体论述见正文；6、对于题中随给相机中的儿何关系有如下描述：焦点，透镜中心，像平面中点 三点共线，此直线即为相机主轴；透镜与像平而平行；相机主轴垂直于像平而, 且垂足为像平面中心。六、模型建立与求解6.1 一些性质说明图3性质1、2证明图性质一：直线经小孔后所得到的图像仍为直线性质二：线段中点经小孔成像所得点不一定述是像线段（经小孔成像后所得 到的线段）的中点。证明：如图3,

12、ac为平面oac与0平血的交线为b所对应点。因为0平行于了，平面oac分別交0与ag、a2c2,则ac】与相互平行。当&与 0不重合即&不为0时，如b为4c屮点，因为cg与相交，则q必然不是 ac】中点，所以禺也必然不是血c?中点，也就是说线段中点经小孔成像所得点 不一定还是像线段的中点，仅当该线段平行于像平面时才仍是中点。性质三：两直线交点的像仍是两直线像的交点。证明：如下图4:。平面上两直线48与61）交于点e,经小孔0两直线分别 得到0平面上的像£ 和g 0,点e在0平面上的像为d，则平面abb,a与 cdd© 交于直线0e,平面abb与cdd、c分别

13、交平面0于直线aq与 c£>,则坊同时在平面abb.ap cd0c与0上,则垃同时在a占与c】q上， 即0平面上，人色与交于呂点，两直线交点的像仍是两直线像的交点。图4性质3证明图性质四：圆经小孔成像为椭圆。证明：如图所示，圆。经小孔成像如图5o在一个与圆。所在平面平行的平 面上所成像仍然是圆，如图中圆。2 （这点很容易通过以上三个性质得到）。那么 对于在与圆。所在平面不平行的平面上的像，则可以看成是用一个平面去截图屮 的圆锥（当然图中圆锥可以无限的延长），根据圆锥曲线的定义可知，所截出来 的图形就是椭圆。月.可以看出圆心。在截面上所成的像0|并不是椭圆屮心m只 有截面与鬪平面

14、平行时才是椭鬪中心），所以圆经小孔成像为椭圆得证。图5性质4证明图6.2问题一:射影模型3在摄彩测量屮，三维物空间到二维像空间的齐次射影对应实质是高维空间到 低维空间的投影，这本身就隐含了信息丢失，即射影失真。定义图像上原始坐标 （兀丿），靶平而上的原始坐标为（x）。得到二维到二维射影的非齐次对应：v _。兀 +。2>' + 如a =a7x + ay + a9 (?)y a4xa5y + a6a-jx + asy + a9这其实是将被成像平面（物平面）转化为与成像面平行的归一化物平面（假设 （兀,），）为物平面坐标），这样对应成a = q.5,z = 的理想成像状态。注意到此时物

15、 像对应关系已经不再是线性的。为解决参数非唯一性问题，可让為=1 （实质是边的分子与分母同除以為）， 并将公式变形为：a】兀+ d*+。3 -cijxx - ayx = xa4x + a5y ab - a-jxy - ayy - y首先设定ni个控制点，式（8）表示为矩阵形:兀)1 1 ° 0 0 0 xi° ° 一也” mx i -兀必-xj式中a =卫2,，心r，i = l，2,九。对于所有血个控制点，得：aa=b, 式中：00100兀1001xxxiyyyia =1000-xmxm-儿x,0001xmym-y yj m m(10)/?= ； (11)可见要进

16、行系统标定，则至少需更4个信标点。根据式aa = b求得a = a+h o 其屮/t为力的moore一penrose逆炬阵），通常情况下，a+ -（屮4）' at。求得a 后，图的任意点都可通过式（7）求得其在地面上的对应点（同名点）。迭代算法本节中我们提出一种用于求取靶标上圆的像的圆心坐标的算法。在上一小 节，我们建立了得到二维到二维射彩得非齐次对应关系，这种对应关系屮最关键 的一步是求取向量人=创卫2，卫8，=1，2,九，如果向量a已知，只要将物 平坐标作为输入，直接通过上述的非齐次对应关系即可求出像平面中靶标的像的 圆心。迭代学习算法描述如下。i读取椭圆几何中心利用地理信息学中的

17、arcmap软件可以准确的读取几何图形的几何中心。读 取的椭圆中心为：首先在arcmap里面导入图片转为栅格匕jrtxrt decbee t©©bmdpd q a3 a q 5* q”：。汕必乂立，q(“图6栅格图提取栅格图屮属性值为0的区域转为矢量i4e ljt d*» fiedzwta xnetxoch o «e卩f彳 q：c炉 noxtiiqomux -"3 bh bt? !*»<»t*j q ®2.f»«1u»»tc#oirt、m>/1ja 2 壬 cld

18、azj . a "tl3 w u n / u a -z 如炖 渝巒n$w ie? n：图7矢量图使用arctoolbox屮的featurestopoint 丁具求取椭圆儿何屮心点e k k»<>wuf *0 tf o«得到椭圆儿何屮心的坐标为:鬱；剧|空| 后staclc| base 11105> novalid田 m2 <5x2 double>112345-190.0890195.52292-89.9748188.05173126.8788171.86884697509-117.94795-228.3229-116.7671631h

19、 i i £300200(-184.197)(-89. 189)o(-226.-116)(133. 168)(76.-120)-500-400-300-200-1000100200300400500图9几何中心坐标表示图ii求取圆的像中心（迭代学习算法）步骤1读取靶标上圆的圆心坐标并存入变量rj，七，歹2卜，几，九，m > 3 0步骤2求取靶标上圆的像的儿何中心坐标作为靶标上圆的像圆心坐标的初 始值（由于用数码相机获取的靶标上圆的像通常会变形，甚至产生畸变，因此几何屮心往往不是靶标上圆的像的圆心），并存入变量x/,%，,x,”,人。步骤3将向量入=盯卫2，4下置为0向量。步骤4

20、将参数比订比宀，,兀”，儿存放到加x2的矩阵m巧中。步骤5将参数/必,区,丫2卜，区“,匕存放到加x2的矩阵册灯中。步骤6利用矩阵旳卩和mxy，按式（9）求出矩阵a和向量b。步骤 7 计算 a+=（ata）lat o步骤8计算a二a+b。步骤9根据式（6）计算新的圆心坐标，并更新矩阵。步骤10计算：e =+（6f2-tz2） + +（08_。8）.步骤11a = a。步骤12判断e<s（£为精度），若条件成立，则转步骤13,否则转步骤6。步骤13矩阵必门即为求得的圆心坐标，返冋矩阵mxv,算法结束。6.3问题二我们根据问题一屮的迭代学习算法求出靶标在像平面内的圆心坐标:靶标在像

21、平面内的圆心坐标3002001000 -100 -200 -300-500400-300-200-1000100200300400500x图10靶标在像平面内的圆心坐标点号像素坐标x像素坐标y转换后的中心坐标x转换后的中心朋标ya321.924161-188.499369-190.075839195.500631b422.006875-195.9104-89.993125188.0896c638.884012-212.146509126.884012171.853491d581.750951-501.94367669.750951-117.943676e283.677038-500.77159

22、3-228.322962-116.7715936.4问题三：模型最终解的误差主要有像索坐标系下确定椭圆屮心的误差、计算的舍入误 差和透镜成像的畸变误差，其屮后两者是不可避免的。6.4.1检验方法设计靶标图上a,5c 3个圆的圆心共线，则相机成像后像素坐标系、图像坐标 系这3点也应共线。我们只需用最小二乘法原理做这两条线性拟合，以共线性的 误差来检验模型的精度。6.4.2误差检验由最小二乘法原理拟合出的一组直线方程我均表示为：y = kx + b.通过matlab源程可以直接确定出各个方程参数"的值，得出拟合曲线图（见图）和误差，单位为mm。图11最小二乘拟合圆心示意图求的直线方程为y

23、=0.0746x+181.3373,误差平方和为2.1796e-009o可以证 明本文提出的模型具有一定的正确性。6.5问题四：6.5.1三个坐标系这里我们要确定两个相机之间的位置关系就是要确定坐标系之间的关系， 即无坐标系和两个相机的坐标系之间的关系。在前面几问我们已经求得在像平 面内靶标圆心的对应像点的坐标。现在我们要将这三个已知的二维坐标系通过 坐标系的平移旋转建立位置。根据一开始的模型准备中的坐标系的知识可知：物坐标系：以靶标平面的中心为原点0,以过圆心且平行于直线a,b,c的直 线作为x轴建立直角坐标系0 - xyz。像坐标系1 :以焦点在像平面的投影为圆心以像平面的长轴为/轴,建立

24、直角坐标系0l-xlylzl o6.5.2算法的原理说明根据坐标变换的知识，借助相似三角形关系，可得物平面上的点（x,y,z） 与其在像平血中的投影点（玖刈的关系（如卜图16 ）:由于我们要求两个像平面z间的位置关系，而这又必须借助于物平面， 因此只需把两个像坐标平面的位置分别的用物平面的坐标进行表示即可。因为 方法相同，只以一个像平面的表示方法來说明计算原理。两个坐标系的位置关系，被一个六维的向量唯一确定，记向量k：k =血,几2,&，0其中d”,d、,d：分别为像空间原点在物空间中的坐标，队丫分别为物平面 坐标系与像平面坐标系对应坐标轴间存在的夹角。由此可见，要想把像平面 在物平面

25、屮定位，就是要把像平面经过平移变换和旋转变换使它与物平面重合 （这里我们对世界坐标系进行变换，效果是一样的）。在进行变换前，我们根据坐标变换的知识，借助相似三角形关系，可 得物平面上的点（兀，”z）与其在像平面屮的投影点（兀,/）的关系，作为物一像平 面处标的对应关系:x =0)z zz z具中/为像距。下面开始进行位置变换，已找到坐标平面间的相互关系：移物坐标系原点到相坐标系原点（即镜头中心），可用变换矩阵t完 成:10 0 0010 000 10dx dv -d：1将物坐标系进行旋转变换使它与像坐标系重合:在旋转变换中为了计算方便直观，可以分別让物坐标系绕其x, y, z轴 进行旋转，得到

26、三个旋转变换矩阵然后再将所得的三个&,尽，心则，在物坐标 系中有一个点坐标为（x,y,z），它在像坐标系中的坐标可以表示为：x y z 1=x y z lxtx/?, xr2xr3其中，将& x r2 x/?3三个方向的旋转矩阵转化为一个为:八厂20 0d 0_ 厂6 0 m 00 1即，把r用70，的三角函数表示得:cos a cos y 一 cos 0 sin a sin ycos y sin a + cos a sin y cos 0sin 0 sin y-cos y cos sin q cos a sin /cos a cos y cos 0 - sin a sin /

27、cos/sin p0sin(7 sin 0cos a sin 0cos00其+r,-r9,与矩阵屮的项对应相等。以下用r,-r9分别代表矩阵r的各对 应值,经矩阵运算后求得值为:x = (x-djr1+(y-djr4+(z-djr7< y = (x-dm + (丫 一 0 加 + (z 2 加5 = (x-dt)r3+(y-dr)r6+(z-z>jr9将（5）式代入（2）和（3）式，得到物坐标系中任一点在像平面的坐标u为：y=/ = /(x-dv)r3 + (y-z)v)r6 + (z 2 )©j (x o,)r2 +(y dyk +(z d: )r8(x_2k+(y_a

28、»6+(z_d9由于在前两问中已经求出了像坐标平面的相应点的坐标，即（r,y）已 知,而于像距已经给出，物坐标系中的点坐标（兀,y,z）有题中的图和一直条件 易得，则我们现在只需三组对应点就可以确定k = dy，dv，2，q,0,从而确定 像坐标系与物坐标系间的关系。由此法得到两个像平面的（,心后，可以通过求来确定两个相平面的关 系。其中:k = apv, adv,apc,a6z, a0, a/七、模型优点与缺点数码相机外部参数机标定不仅是计算机视觉研究的重要组成部分，而且是计 算机立体视觉中不能回避的问题。本文针对双目定位系统中圆形靶标的特性，提 出了适合圆形靶标的数码相机外部参数

29、标定算法，实验结果表明了本文算法的有 效性和可行性，与一般常用的切点共线法相比，本文的算法较为简单，具有一定 的推广价值。为了简化研究过程，木文假定了数码相机使用了理想的标准镜头，因而没有 考虑数码相机的畸变问题，因此具有一定的误差。参考文献：1 王思丽j戴玉刚j周登j马刚2,苏兴2 基于双日视觉的数 码相机定位方法研究 （1.西北民族人学中国民族信息技术研究院；2计算机 科学与信息工程学院，兰州） 长春工程学院学报（自然科学版）2009年第10期2 田祖伟】'2,李勇帆2 基于圆形靶标的数码相机外部参数标定算法 湖南第一师范学院信息技术系。长沙410205； 2.国防科学技术大学计算

30、机学院, 长沙计算机应用第29卷第7期3 李鸿燕基于射影变换儿何不变性的圆心像坐标的求取(上海t程技术大学基础学院，上海20162)计算机与现代化2010年第9期附录：1、arcmaparcmap是arcgis desktop三个用户桌面组件之一。arcgis是美国环 境系统研究所(environment system research institute, esri)于 1978 年开发的gis系统。arcgis desktop由三个用户桌面组件组成，即：arcmap arccatalog、arctoolbox<>arcmap是一个可用于数据输入、编辑、查询、分析等等功能的应用程

31、 序，具有基于地图的所有功能，实现如地图制图、地图编辑、地图分析等 功能。arcmap 含一个复杂的专业制图和编辑系统，它既是一个面向对象 的编辑器，又是一个数据表生成器。arcmap 供两种类型的地图视图：数据视图和布局视图。在数据视图 中，用户可以对地理图层进行符号化显示、分析和编辑gis数据集。数据 视图时任何一个数据集在选定的一个区域内的显示窗口。在布局视图中， 用户可以处理地图的页面，包扌舌地理数据视图和其他数据元素，比如图例、 比例尺、指北针等。2、%diedai.m%迭代算法求取圆心坐标程序clear;clc;%原物体的实际物理坐标xl=-50 -20 50 50-50yl=50

32、 50 50 -50 -50*;%靶的图像上椭圆的圆心的转换后(图幅为1024*768,原点在512*384)的朋标 x2=-190.075839 -89.993125 126.884012 69.750951 -228.322962*;y2= 195.500631 188.0896 171.853491 -117.943676 -116.7715931;%两个坐标矩阵ml=xl,yl;m2=x2,y2;%初始化炬阵a、b、b、c、d、ea=j;b=；b 二；c=zeros(8);d=zeros(8);e=inf;syms sigmasigma=input('i#输入所要求的计算精必j;while(e>sigma)for i=l:5a=a;ml(i