方差分析法在学习成绩中的运用

1、本科毕业论文（设计）（2012届本科毕业生）题 目: 学生姓名: 学生学号: 学院名称: 专业名称: 指导教师:方差分析法在学习成绩中的运用王金凤08304070数学与系统科学学院 统计学杨光二零一二年五月摘要方差分析用于多个样本均数差别的显著性检验。它的基本思想是 通过分析研究不同來源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因 素对研究结果影响力的大小。现将方差分析法用于学生考试成绩分析， 针对某大学数学学院学生成绩的高低不同其学习时间不同的问题，设计实 验。通过问卷调查获取学生平时学习时间及期末学习成绩的数据，并将其 整理、分组，和用excel直观图像表示。运用单因素方差分析数理统计法 计算

2、出结果，通过对结果分析，表明学习成绩受学习时间的影响，并用spss 软件检验，判定学习时间长的同学，学习成绩普遍较高。目的在于鼓励同 学们能将精力多用于学习，成为优秀的大学生。关键字:方差分析，单因素方差分析，学习时间，学习成绩a variance analysis method to students9 examination resultsabstract: the variance analysis method is used for multiple sample mean difference significance test. the basic idea is that it

3、 determines the size of the controllable factors to influence the findings by analyzing the contribution of different source of the total .the variance analysis method is introduced and used to analyze the examination results of the students of a university. using the data that is collected from que

4、stionnaire investigations of the students of the school, we arrange the data and do a research .single element variance is used to analyze the result and spss is used to justify the significance between five groups of the students' examination results and the time for leaning. we do the study ai

5、ming at encouraging the young to study hard and play a role in the society.keywords: analysis of variance, single element variance , leaning time, examination results目录一、引言二、方差分析预备知识1（一）单因素方差分析简介1（-）单因素方差分析前提条件2（三）单因素方差分析问题2（四）单因素方差分析计算步骤31、计算平均值42、计算离差平方和53、计算口由度64、计算平均平方65、f检验6三、问卷调査7（-）调查概况71、调查对

6、彖72、调查方式73、调查问卷7（）试验设计8四、学习成绩方差分析8（-）整理数据8（二）进行计算10（三）结果分析10（四）spss法判定结果11五、结束语13参考文献14、弓丨言在科学研究和生产实践小，常常需要同时研究两个以上因素对试 验结杲的影响，t检验法使用于样木平均数及两个样木平均数间的差 异显著性检验，但是在生产和科学研究小经常会遇到比较多个处理优 劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时t检验不 合适是因为（1）检验过程繁琐（2）无统一的试验误弟，误差估计的 精确性和检验的灵敏性低。（3）判断的可靠性低。方差分析法常用于 解决此类问题。方差分析是由英国统计学家r.a.

7、 fisher与1923年提出的。其用 于多个样本均数差别的显著性检验。它的基本思想是通过分析研究不 同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影 响力的大小。其目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素, 各因素z间的交互作用，以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析又分为单因素方差分析、双因素试验方差分析、多因素 方差分析和协方差分析等。本论文主耍运用单因素方茅分析解决学习 时间与学习成绩的关系。高校是教学和研究的重要基地，也是培养人才的重要场所。学生 以同等的分数被大学录取，但是升入大学后学生的成绩出现了显著的 差异。有些学生厌学，岀现逃课，上网打游戏，整天无所事事。此

8、类 学生的学习成绩普遍较低，严重者最终导致不能正常毕业。相反的， 那些学习刻苦认真，孜孜不倦的同学，普遍取得了优异学习成绩。古 语总说天道酬勤，努力学习会取得好的成绩也是一个不争的事实。能 否通过具体实验，运用客观数据体现学习时间与学习成绩的关系。随 着学校教育与管理信息程度化不断提高，学校积累了大量的学生成绩 数据。现用单因素方差分析法研究学习时间与学习成绩的关系。二、方差分析法预备知识（-）单因素方差分析简介单因素方差分析是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测 变量产生了显著影响。由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此 称为单因素方差分析。例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来 显

9、著影响。单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。单 因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测 变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素 方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离 差平方和两部分，用数学形式表述为sst二ssa+sse。单因索方差分析的 第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所山的比例，推断控 制变量是否给观测变量带来了显著影响。在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大， 则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变 量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离

10、 差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引 起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没冇给观 测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因索引起的。单因索方差分析基本步骤是提岀原假设，fv為 无差异；f> fa 有显著差异。选择检验统计量，方羌分析采用的检验统计量是f统计 量，即f值检验。计算检验统计量的观测值和概率p值：该步骤的口 的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率p值。给定显著性水平， 并作出决策（-）单因素方差分析前提条件运用单因素方差分析法解决问题有以下前提（1）在每一个水平上的实验结果是一个随机变量©（i为第i个水平, j为

11、j次实验），且服从于正态分布心，心，,心是第i个水平的正态 总体屮抽取的一个简单随机样本，样本容量为口。（2）所有的k个不同水平对应的k个止太总体的方差是相等的，貝有 方差齐性，xjj n （“，d>2）o（3）k个总体是相互独立的，样本与样本z间也是相互独立的。要检 验的假设是：乞：“人二/二二从；不是所有的“（心12"）都相 等。若拒绝0）,则认为至少有两个水平z间的差异是显著的，因素a对实 验结杲有显著影响；反z,若接受ii。，则认为因素a对实验结杲无显著影 响，实验结果在齐水平之间的不同仅仅是由于随机因素引起的。（三）单因素方差分析问题单因素方差分析又称一元方差分析，它

12、是讨论一种因素对试验结果有 无显著影响。设某种单因素a有r种水平£,&,£，£,在每种水平下的试验结果 服从正态分布。如果在各水平下分别作了® (z = l,2.-r)次试验，通过单因 素试验方差分析可以判断因素a对试验结杲是否有显著影响。单因素方差 分析数据如下a-(四)单因素方差分析基本步骤为了便于理解，可以将方差分析过程划分为以下几步。1. 计算平均值将每种水平看成一组，令召为第i种水平上所有试验的算术平均值, 称为组内平均值。即：i 1x; x. 9 (z = 1,2, r )nt j=i所以组内和为:e二工乂耳二e总平均；为试验值得算术

13、皐均值，即x=hxijn /=1 j=1如果将(2)带入(3),可以得到总平均另两种计算式一 1 v* 兀二一"兀n ；=in ,=1其中n表示总试验数，可以用下式计算: n二以1=12. 计算离差平方和在单因素试验中，齐个试验结杲存在差异，这种差异可用离差平方和 来表示。(1) 离差平方和。总离差平方和用&片(sum of square for total) 表示，其计算式为r a_ a_s$t 】(xq_ x) =:叫(xq - x)/ 1 j 11它表示了齐个试验值与总辜矗值的偏差'的平方和，反映了试验z间存在的 总差异。(2) 组间离差平方和。组间离差平方和可

14、以用$» (sum of squarefor factor a)表示，计算公式如b*：q q _a_5 二 m兀-尢)2-兀)2j=l j=l/=1由上式可知，组间离差平方和反映了各组内平均值的差异程度，这种 差异由于因素a不同水平的不同作用造成的，所以组间离差平方和又称为 水平向离差平方和。(3) 组内离差平方和。组内离差平方和可以用(sum of square for error)表示，化计算公式如下：sse = y £ (兀"-兀)j i j i由上式可知，组内离差棊方和反映老了在各个水平内，各试验值z间 的差异程度，这种差异是由于随机谋差的作用产生的，所以

15、组内离差平方 和又称为误差项离差平方和。可以证明sst =+ sse说明了试验值z间的差异来自于两个方面；一方而是由因素中不同水 平造成的，例如反应温度的不同导致不同的产品得率，这种差异是系统性 的；另一方面是由于试验的随机误差产生的差异，例如在相同的温度f, 产品得率也不一定相同。3. 计算自由度由离差平方和的计算公式可以看出，在同样的误差程度卜：测得数据 越多，计算出的离差平方和就越大，因此仅用于离差平方和反映试验值间 差异大小述是不够多的，述需耍考虑试验数据的多少对离差平方和带来的 影响，为此需要考虑自由度(degree of freedom)总离差平方和对应的自由度分别如下。s为对应的

16、自由度称为总自由度,即:dft =n 一1对应的自由度成为组间自由度，即：如一1阻对应的自由度称作组内自由度，即：dfe =nr显然，以上3个口由度的关系为：dft =妨 + dfe4. 计算平均平方利用离差平方和除以对应的口由度即可得到平均平方(mean square), 简称均方。将ss“ sse分别除以妙八，d£就可以得到：msa = ssa/ dfamse = sse / d fe称ms八为组间均方(mean square between groups), mse为组内均方(mean squares within group), ms.也被称为误差的均方(error mean

17、 square)5f检验组间(也称水平间)均方和组内(也称水平内)均方z比f是一个统 计量，即；化二组间均方/组内均方二竺msc它服从自由度为(叽，dfe)的f分布(f distribution)，对于给定 的显著性水平查临界值化 51，dfe),如杲fa>fa (0, dfe)，则 认为因素a对试验结果有显著影响，否则认为因素a对试验结果没有显著 影响。为了将方差分析主要过程表现的更清楚,将有关的计算结果列成方差 分析表，如下所示。表1单因素计算结果差异源ssdfmsf显著性组内（误差）啊二r - 1 二4msa = ssa / (r-1)msa / mse*组内（误差）ss广n -

18、r=45mse =阿 / (n-r)总和通常，若乙 >伦。|（歎，必），就称因素a对试验结果有非常显著的 影响，用两个（*）号表示；若亿a < dfa , dfe ） < fa < f.m （ dfa ,妙,），则 i大i素a对试验结果有显著的影响，用一个（*）号表示；若fa< fo（）5 cdf ,a 妙,），则i大i素a对试验结果不显著，不用“*”号。三、问卷调查（一）问卷概况1、调查对象对某大学的数学系同学进行问卷调查，了解他们平吋学习成绩及其学 习时间，总共发放260份问卷，收冋245份。2、调查方式采取以在寝室、教学楼、图书馆等学生密集区发放问卷的方式3

19、、调查问卷亲爱的同学你好！非常感谢你对我们工作的大力支持。本次调查的目的是了解当前在校 大学学习情况。本次调查以匿名方式填写，调查结果不计入任何教学评价, 请你根据自己的实际情况填写。谢谢!学院年级平时学习时间期末学习成绩数学院08级()试验设计设学习时间为素a,有大致5个水平(2小时、4小时、6小时、8小 时、10小时)设这5个水平分别为£, ,£,在每种水平下,学生的 学习成绩服从正态分布。总共做10次试验，每次试验分别从水平的同学成 绩中抽出一个，把各个数据组成一组，作为一次实验的结果。提岀假设ho: “二仏= = "表明5种学习时间对学习成绩影响相 同；h

20、a： 5种学习时间对学习成绩影响不完全相同。四、学习成绩方差分析(-)整理数据整理245名同学的问卷，每段学习时间的人数如下表所示图1学习时间人数分布图学习时间人数分布图系列112345学习时间种类每次试验在每段学习吋间的人数里抽取一位，做io次试验，同一吋间 短内每组10人，整理如下表所示表2实验数据实验次数a%a4a173.682.482.385.286.6282.579.285.380.687.4376.380.586.484.389.4479.684.285.486.680.5576.381.282. 184.285.6674.586.480.389.386.4768.479.67&a

21、mp; 182. 180. 1879.572.379.585.489.3972.678.682.384.485. 11080.485.284.582. 184.6直观图像如下图2数据分布10050 50-100 0-50（-）统计结果1、根据预备知识的计算步骤进行计算1 每组平均值 x=yx, , （/ = l,2,-r ）经计算得 76.31、80. 96、 叫tt82.6、84.42、85.011 r总平均值兀二一工q石二81.86丸/=!2、离差总和总离茅平方和sstx）2=1133z=i j=组间离差平方和宀二一丘）2二£厲（召-兀）2二609. 34/=i y=iz=i组内

22、利差平方和讥二££（列-忑）2二524. 14 整理后得岀下表7差异源ssdfmsf显著性组内因素a5=602. 36r - 1=4ms 人二 121.87ms j mse*组内（误差）ss 广 521.3n - r=45mse =11.91=10. 23总和sst =1133. 5113. 58（三）、结果分析经计算耳化.01 （d办，d/）说明原假设ho: “=“2=“5不成立, ha成立。因素a对试验结果有非常显著的影响，即学习吋间对学习成绩 有显著影响。（四）、spss判定1、数据输入图3 spss数据输入var00001var00002173.602.00282.

23、502.00376.302.00479.602.00576.302.00674.502.00768.402.00879.502.00972.602.001080.402.001182.404.001279.204.001380.504.001484.204.001586.404.001679.604.001772.304.001878.604.001985.204.002082.304.002185.306.002286.406.002385.406.002482.106.002580.306.002678.106.002779.506.002882.306.002984.506.003085

24、.206.003180.608.003284.308.003386.608.003484.208.003589.308.003684.308.003782.108.003885.408.003984.408.004082.108.004186.6010.004287.4010.004389.4010.004480.5010.004585.6010.004686.4010.004792.1010.004889.3010.004985.1010.005084.6010.002、spss结果输出表四spss结果输出anovavar00001平方和df均方f显著性组间609. 3625121.8721

25、0. 231.000组内524. 1434411.912总数1133.50549通过运行spss程序，再次证明学习时间对学习成绩有显著影响。学习 时间长的学生学习成绩普遍偏高。总而言z,同学们在日常学习生活中应该刻苦学习，克服懒惰因素。 离开高小后不应该抛弃备战高考的那种拼搏精神，在大学时期应该继续发 扬刻苦学习的精神。升入大学后，生活变得格外自由，再也不像高小生活 那样紧张，受约束。有些同学开始不适应，对生活没有计划，不口觉地放 松自己，忽略学习。尤英是刚刚入学阶段，齐种社团活动吸引眼球。有些 同学抱着锻炼自己能力，丰富课余生活的口的，盲口参加齐种社团，导致 无暇分身。有些同学致力于学生会工作，并没有把学习纳入生活重点，导 致工作很出色，学习成绩就很不理想。另一些同学则把大学时光用来荒废, 整天沉迷于打游戏，上网，谈恋爱等。大学时期是人生重要的阶段，是一 个人美好的时光。在整个四年的时光里，我们可以学习很多，不光是课木 里的知识。因