本科优秀毕业论文-基于MATLAB的数字滤波器优化设计

1、毕业设计（论文）题目：基于matlab的数字滤波器优化设计系另山电子信息科学系专业：电子信息科学与技术班 级:学生姓名:学 号: 指导教师:学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究 成果。除了文屮特别加以标注引用的内容外，木论文不包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写的成果作品。木人完全意识到木声明的法律后果由木人承担。作者签名： 磁 2005年6刀12日学位论文版权使用授权书木学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 木人授权省级优秀学士学

2、位论文评选机构将木学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编木学位论文。本学位论文屈于1、保密口，在年解密后适用本授权书。2、不保密v o（请在以上相应方框内打“丁”）作者签名：磁2005年6刀12日导师签名：黄2005年6月13日数字滤波器是数字信号处理中最重要的组成部分之一。在许多科学技术领域中， 广泛使用滤波器对信号进行处理。数字滤波器可以分为两类，即冇限冲激响应数字滤 波器(fir)和无限冲激响应数字滤波器(iir)。木文就分别对这两类数字滤波器的设计 和实现來进行分析研究。在fir滤波器的设计过程屮主要探讨了两个问题，其一是fir线

3、性相位滤波器的 特点及相关公式推导；其二是用窗函数设计fir滤波器，重点介绍了基于等波纹切比雪 夫逼近准则实现了 f1r数字滤波器的优化设计并通过matlab的仿真实现。在iir滤波器的设计过程中，将设计步骤分为三步，即模拟滤波器原型设计，模 拟-数字滤波器变换，滤波器频带变换。着重介绍了频域直接设计法和优化设计法。在 这两类滤波器的整个设计过程都是按照理论分析、编程设计、具体实现的步骤来进行 的。关键词：数字滤波器；有限冲激响应；无限冲激响应；优化设计算法；matlababstractdigital filter is one of the most important parts of d

4、igital signal processing. in many fields of science and technology, it is widely used for signal processing. digital filter can be divided as the finite impulse response digital filter (fir) and the infinite impulse response digital filter (iir).the paper aims at respective study in the design and r

5、ealization of these two kinds of digital filters.two major points are discussed about the design of fir filters: the characteristics of fir linear phase filter and the reasoning of related formulas: the other is about the design of the fir filters by means of window functions. introduce with emphasi

6、s based on and so on ripple chebychev approached the criterion to implement the fir filters optimized design and through the matlab simulation implementation.the design of hr filters can be achieved through three steps: the design of prototype of analog low-pass filter, analog-to-digital filter conv

7、ersion and the conversion of filter frequency band. introduce the frequency range direct design law and the optimized design law emphatically. the design of fir and hr follows the procedures of theoretical analysis, programming design and concrete realizationkey words: digital filter, fir, hr, optim

8、ization design algorithm, matlab第一章前言11.1数字滤波器的发展概况11.2 matlab软件介绍2第二章数字滤波器42. 1数字滤波器的设计与实现 42.2数字滤波器的分类42.3数字滤波器的设计要求和方法52. 3. 1 幅频特性52.3.2 相频特性62.4数字滤波器设计方法概述9第三章 有限长单位冲激响应（fir）数字滤波器103. 1 fir滤波器的窗函数法设计 103.1.1窗函数法的基本思想103. 1.2窗函数的种类113.2 fir滤波器的最大误差最小化准则 143.3 e1r滤波器的最大误差最小准则设计153.4 fir滤波器的优化设计17

9、第四章 无限长单位冲激响应（iir）数字滤波器 224. 1iir滤波器的s-z变换设计 224. 1. 1 标准z变换224. 1.2 双线性z变换 234.2 iir滤波器的振幅平方函数近似设计244.3 ttr滤波器的频率变换法设计264.4 iir数字滤波器的优化设计 27第五章总结33致谢34参考文献35第一章前言1.1数字滤波器的发展概况数字滤波是数字信号处理理论的一部分。数字信号处理主要是研究用数字或符号 的序列來表示信号波形，并用数字的方式去处理这些序列，把它们改变成在某种意义 上更为有希槊的形式，以便估计信号的特征参量，或削弱信号屮的多余分量和增强信 号小的有用分量。具体来说

10、，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、调制、解调、 均衡、增强、压缩、识别、产生等加工处理，都可纳入数字信号处理领域。数字信号处理学科的一项重大进展是关于数字滤波器设计方法的研究。关于数字 滤波器，早在40年代末期，就有人讨论过它的可能性问题，在50年代也有人在研究 生班讨论过数字滤波器的问题。但直到60年代屮期，才开始形成关于数字滤波器的一 整套完整的正规理论。在这一时期，提岀了齐种齐样的数字滤波器结构，有的以运算 误差最小为特点，有的则以运算速度高见长，而有的则二者兼二有之；出现了数字滤 波器的各种逼近方法和实现方法，对递归和非递归两类滤波器作了全面的比较，统一 了数字滤波器的基木概念和理

11、论。数字滤波器的基木概念和理论。数字滤波器领域的 一个重要发展是对有限冲激响应（fir）和无限冲激响应（iir）关系的认识的转化。在 初期，一般认为iir滤波器比fir滤波器具有更高的运算效率，因而明显的倾向于前 者，但当人们提出用快速傅立叶变换（fft）实现卷积概念之后，发现高阶fir滤波器也 可以用很高的运算效率来实现，这就促使人们对性能fir滤波器的频域方法和时域方 法并驾齐驱的局面。然而，这些均属数字滤波器的早期研究。70年代科学技术蓬勃发 展，数字信号处理开始与大规模集成电路技术、微处理技术、高速数字算术单元、双 极型高密度半导体存储器、电荷转移器件等新技术、新工艺结合了起来，并且引

12、进了 计算辅助设计方法，它使数字滤波器的设计仅仅是对相应模拟滤波器的逼近。一般说 来，通过模拟滤波器函数的变换来设计数字滤波器，很难达到逼近任意频率响应或冲 激响应，而采用计算机辅助设计则有可能实现频域或时域的最佳逼近，或频域时域联 合最佳逼近。这样，数字滤波器的分析与设计其内容也更加丰富起来；各种新的数字 信号处理系统，也都能用专用数字硬件实时加以实现。数字信号处理理论与技术的发展，主要是由于电子计算机与大规模集成电路的大 量生产和广泛应用，替代了原來的模拟信号处理中的线性滤波与频谱分析所应用的模 拟计算机和分立元件l、c、r线性网络，高度发挥了计算机技术与数字技术相结合的 特色和优越性。特

13、别是微处理器和微型计算机技术日新月异的发展，将更有利于电子 仪器与电子技术应用系统朝着数字化、小型化、自动化以及多功能化等方向发展，促 使它们成为富有智能性的电子系统。现在，包括数字滤波在内的数字信号处理技术正 以惊人的速度向纵深和高级的方向发展，据佔计这种趋势还要持续一个较长的时期， 未来的发展可能会比过去的进程更为激动人心，必将引起某些领域的飞跃性转折。1.2 matlab软件介绍matlab是英文matrix laboratory (矩阵实验室)的缩写。它是由美国mathworks 公司推出的用于数值计算和图形处理的数学计算环境。在matlab环境下，用户可以集 成的进行程序设计、数值计

14、算、图形绘制、输入输出、文件管理等各项操作。它优秀 的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在同类软件屮脱颖而出。matlab推 出的工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便的进行科学研究、工程应用，其中的 信号处理(signal processing) 图像处理(image processing) > 小波(wavelet)等工 具箱为数字滤波器研究的蓬勃发展提供了有力的工具。matlab语言之所以能如此迅速的普及，显示出如此旺盛的生命力，是由于它有着 不同于其它语言的特点：1、语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数及其丰富。matlab程序书写形式自由, 利用其丰富的库函数避开了繁杂的

15、子程序编程任务，压缩了一切不必耍的编程工作， 由于库函数都是由木领域的专家编写，所以用户不必担心函数的可靠性。2、运算符丰富。由于matlab是c语言编写的，所以matlab提供了和c语言儿乎 一样多的运算符，灵活使用matlab的运算符将使程序变的极为简短。3> matlab既具有结构化的控制语句，又有面向对象编程的特性。4、语法限制不严格，程序设计自由度大。5、程序的可移植性好，基木上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上 运行。6jiatlab的图形功能强大。在c和fortran语言里，绘图都很不容易，但在matlab 里，数据的可视化非常简单。此外，matlab还具有较强的

16、编辑图形界面的能力。7、matlab具有的一项重要特色是拥有功能强大的工具箱。matlab包含两部分： 核心部分和各种可选的工具箱。核心部分有数百个核心内部函数。其工具箱乂可分为 两类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充英符号计算功能、 图示建模仿真功能、文字处理功能以及与皱件实时交互功能。功能性工具箱能用于多 种学科。而学科性工具箱是专业性比较强的,如control toolbox、signal processing toolbox、communication toolbox 等。8、源程序的开放性。除内部函数以外，所有matlab的核心文件和工具箱文件都 是可读可改的源文

17、件，用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件构成新的工具 箱。matlab软件自1984年推向市场以来，历经十几年的发展和竞争，现已成为（teee 评述）国际公认的最优秀的科技应用软件。它功能强大、界面友善、语言口然、开放 性强的特点使它获得了对应用科学（特别是边缘学科和交叉学科）的极强适应力，并 很快成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学及至科技文字处理不可缺少的 基础软件。在欧美等高校，matlab已成为理工科高级课程的基本教学工具，成为攻读 学位的大学生、硕士生、博士生必须掌握的技能。在设计研究单位和工业部门，matlab 已经成为研究和解决各种具体工程问题的一种标准软件。近儿年

18、來该软件系统开始在 我国国内流行，受到理工科大专院校师生及科研人员的重视。第二章数字滤波器2.1数字滤波器的设计与实现滤波器是指用来对输入信号进行滤波的硬件和软件。所谓数字滤波器，是指输入、 输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤 除某些频率成分的器件。数字滤波器一般可用两种方法实现：一种是根据描述的数字 滤波器的数学模型或信号流图，用数字硬件装配成一台专门的设备，构成专用的信号 处理机，这就是硬件实现方式；另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要的运 算编成程序来让计算机来执行，这也就是软件实现方式。在硬件实现方式屮，是以数 字组件如延迟器、加法器和乘法

19、器作为基本部件构成专用的数字信号处理系统。在软 件实现方式中，它是借助于通用计算机机器语言、汇编语言或高级语言程序来做数字 滤波器的运算过程。matlab的信号处理工具箱是专门应用于信号处理领域的专用工具箱，它的两个基 本组成就是滤波器的设计与实现部分以及谱分析部分。工具箱提供了丰富而简便的设 计，使原来繁琐的程序设计简化成函数调用。只要正确的指标参数调用相应的滤波器 设计程序或工具函数，即可以得到正确的设计结果，使用非常方便。数字滤波器的设计与实现，通常按下述步骤进行：首先，根据不同用途提出数字 滤波器的技术指标；然后，设计一个稳定的、因果的数学模型h(z)来逼近所要求的技 术指标；最后，设

20、计专用的数字硬件来实现这个数学模，或者用通用的电子计算机运 行软件予以实现。2.2数字滤波器的分类现在，更多地是利用数字滤波器代替模拟滤波器作为频率选择性滤波器。数字滤 波器是利用采样以及量化过的信号，但就幅频与相频特性的概念而言，仍是以模拟滤 波器为基础的。设数字滤波器的传递函数为h(z),则可表示为h(z)二切)+片丨+ + /"；(2. 1)l+dz + .+ clm z式屮，z是z变换的变量，并取h(z)的分子与分母的系数全部为实数。分析式(2.1)可知，只要分母多项式ami二1,2,m)中有一个不为0,滤波器的内 部就存在反馈环。这种内部有反馈环的滤波器称为递归滤波器。相反

21、，所有系数 %(i二1,2,m)都为0的滤波器称为非递归滤波器。由于非递归滤波器的内部没有反馈 环，所以这种滤波器总是稳定的。数字滤波器从功能上分类：可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻 滤波器。从滤波器的网络结构或者从单位脉冲响应分类：可分为hr滤波器(即无限长单 位冲激响应滤波器)和fir滤波器(即有限长单位冲激响应滤波器)。它们的函数分别 为：h(z)二 (2.2)1 +以厂k=l式(2. 2)中的h(z)称为n阶iir滤波器函数。n7h(z)二工加力厂"(2. 3)n=o式(2. 3)中的h(z)称为(n-1)阶fir滤波器函数。2.3数字滤波器的设计要求和方法2.

22、 3. 1幅频特性设采样周期为t,令z=jg)t,从z变换理论即可得到h(z)的频率特性，可表示为h(ejot)=| h(ejmt) zh(ej(ot)= h(ejm) ej(ot)(2.4)| h(tot )| :表示数字滤波器的幅频特性zh (严)或表示相频特性另外，h(cmt)是数字滤波器的频率传递函数，它表示决定数字滤波器的幅频特性 与相频特性的频率特性。假定t=l, hg®1)可表示为：hg®)二 | h(严)| zh (严)= h(ejf0) | "恥)(2. 5)由于h是周期为2兀的周期函数，在0 wsv2兀或的范围内求出0),即 可以确定数字滤波器

23、的频率特性。再考虑到式(2.1),则有| h(护)|=| h(e-jt0)|,所以设 计滤波器吋，只需考虑osdwtt的部分就足够了。但是当幅频特性要求很高，不能得到满意结果时，不仅要采用更高阶的fir滤波 器，还必须考虑采用i1r滤波器。2. 3.2相频特性设计数字滤波器时，不仅耍考虑它的幅频特性，相频特性也是需要考虑的重要问 题。特别是在线性相位滤波器中，相位的延迟不会造成波形的失真，所以在波形要求 很高时，滤波器具冇线性相位是非常重要的。为了分析f1r滤波器的相频特性，设传递函数为n-1(2.8)(2.6)(2.7)h(z) = £w*=0代入z= ,即可得到n1k=0如果hk

24、=hnki (k = 0, 1,，n-1), h®。)即为线性相位。则有:当n为奇数时，可以得到/(严)="(n-l)/2 +2 e hk cos弓一灯q exph/"：)k=oll当n为偶数时，可以得到(帕 2jv-1時)= 2 工人cos总-级q exp£/'(2.9)同理，如果hk= -hn-u.! (k=0, 1,，n-l), h(®)也为线性和位。则有:(人岂2n_h聲)= 2j £ hksm-k)k=0lcxp7(n1)%2(2. 10)旳= 2；丈&sin厝-炯k=0lexpfc/(2. 11)当下式表示

25、数字滤波器的频率特性时/(严)=心)严)(2. 12)由式(2.8)和(2. 9)可以得到相频特性：0(。) = -理幅频特性:n为奇数时，(寺n-+ 2 l 九 cos(一*=()l-k)co(2. 13)n为偶数时,(n-2)/2a(3)二2 £jl=()nhk cos(-k)co(2. 14)由式(2. 10)和(2. 11)可以得到相频特性:幅频特性：n为奇数时,n71血+ 一2 2(2. 15)n为偶数时,(n-3)/2a(3)二2 工 hk sin(k=0-k)co(2. 16)(02n _人(3)二2 工 hk sin(-k)co(2. 17)k=02严格讲，只有f1r

26、滤波器可以实现完全的线性相位，但也可以设计岀非常 接近线性相位的iir滤波器。iir低通滤波器指标参数如图2.1所示。图中，cop：通带截止频率os：阻带截止频率51：通带波纹5 2：阻带波纹dp：通带内所允许的最大衰减(db)a s :阻带内允许的最小衰减(db)|h(w)|勺=-201g|ka1 + (»|=201g(2. 18)叭=-201g2(2. 19)一般要求：当0s叫时,-201g|h(w)|<(2. 20)当 co, <ci)<71 时，a, <-201og |h(°)|(2.21)2.4数字滤波器设计方法概述iir滤波器和fir滤波

27、器的设计方法很不相同，iir滤波器设计方法有两类：(1) 借助于模拟滤波器的设计方法 进行的。其设计思路是：先设计模拟滤波器得到传输函数ha(s),然后 将ha按某种方法转换成数字滤波器的系统函数h(z)o这一类方法 是基于模拟滤波器的设计方法相对比较成熟，它不仅有完整的设计公 式，也有完整的图表供查阅。更可以直接调用matlab中的对应的函 数进行设计。(2) 直接在频域或者时域中进行设计的，设计时必须用计算机作辅助设 计，直接调用matlab屮的一些程序或者函数可以很方便的设计岀所需要 的滤波器。fir滤波器不能采用由模拟滤波器的设计进行转换的方法，经常用的是窗函 数法和频率采样法。也可以

28、借助计算机辅助设计软件采用切比雪夫等波纹逼近 法进行设计。第三章 有限长单位冲激响应(fir)数字滤波器在数字滤波器中，fir滤波器是一类结构简单、ii总是稳定的滤波器。严 格讲也只有fir滤波器可以实现线性相位。从这些特点考虑，ftr滤波器在实用上有 许多优点。木章将介绍fir数字滤波器的儿种典型设计方法，并通过这些方法的设计 实例相互比较，明确各种设计方法的特点。3.1 fir滤波器的窗函数法设计3.1.1窗函数设计法的基本思想数字信号处理就是在有限区间使用所观测到的信号序列进行各种各样的处理。截 取信号区间两端的位置微小变化，将会导致结果产生很犬变化，这种现象一般在信号 处理中是必须避免

29、的。为此，不仅应注意截取信号区间的长度，而且要注意截取区间 两端不应造成急剧的变化。截取持续信号屮部分信号的工作，可以看作是通过一个窗函数采集所看到的信号 序列。这种为截取信号所使用的窗口称为窗函数(window function) o窗函数不仅适用 于离散吋间信号，也适用丁连续信号。实际上，设所观测到的信号为x(t),窗函数为w(t),从窗口观测的信号为y(t), 则y(t)=v(t)*x(t)(3. 1)可见，窗函数对于观测信号起到一种滤波器的作用。1 n-l对于离散吋间信号，设x(nt)、y(nt)、w(nt)(n=0, 1,n-1)的离散傅立叶变换 (dft)分别为 x(k)、y(k)

30、、w(k) (k=0, 1,-,n-1),则可得到(3. 2)式中，t为采样周期。对于连续时间信号,设x(t)、y(t)、w(t)的傅立叶变换分别为x(3)、丫(3)、w(3),贝u(3. 3)y(3)=w(w-cr)x(cr)dcr2龙丄s3. 1.2窗函数的种类已经知道有很多种类函数，这里仅介绍儿种代表性的窗函数。 下面介绍儿种代表性的窗函数：如r二n | n = 0,1,., n -1,以及r“二n n< 0/ > n等。另外，述介绍n为奇数吋, 仅将信号序列平移(n-d/2,并设：s二斤 | n = (w 1)/2,(w 3)/2,.,0,(n 3)/2,(n 1)/2,s

31、c= /? | n < -(tv -1)/2,/? > (n-1)/2时的窗函数。式屮t为釆样周期。(1)矩形窗(rectangular window)cox (/?t) = v,nwrc(3.4)n-艸(严)=牙加n=0sin阿sin 级/2)exph(3. 5)(3. 6)(3. 7)(2)汉明窗(hamming window)2” 710.54 一 0-46 cos() ， n e rn _0. ng rc(3.8)o 4t%(严)=0.5m(严)-0.23 expy(-)w1 exp0+齐 (3.9)a)4(nt) = <2n7t0.54 + 0.46cos()n _

32、0, ne sc(3. 10)呵严)= 0.5叫严)+ 0.23叱丽何-語) + %exp呵+e(3. 11)(3 )汉恩窗(hann window)co5(7? t) = v2/7 7t0.5 一 0.5 cos() 、n w rn0, n e rc(3. 12)咛严)= 0.5%严)-0.25的-希) + wgp劇 + 語川(3. 13)co6(nt) = <0.5 + 0.5 cos( 2"" ) , n w sn0, n e sc(3. 14)w(,(ejfot ) =) + 0.25 w, cxpj(qt -) + w, cxpj(tn-1(3. 15)(4

33、 )布莱克曼窗(blackman window)2/2”a-h 7t(nt)= <(3. 16)0.42 -0.50 cos() + 0.08 cos() ,nerw-lw-l0、n w rw7(ejmt) = 0.42嗎(严)-0.25嗎 expy(t -+ expy(t + -)2v 1/v 10(皿)=<2/17t042 + 0.50cos() + 0.08cos()，応 slo.n _n2丄&丿0,/?gsc，+ 0.04 wgpte + wgpu何+ r (3.17)expj(cot +2/r吟严)"42%(严)+ 025 沖5冷 +和+ 0.042tt

34、4tt吧 exp;(-芮) + % expj(莎 + 兀j) (3. 19)(5)道尔夫-切比雪夫窗(dolph-chebyshev window)反复利用下式进行计算，就可以确定道尔夫-切比雪夫窗的系数10(nt)o匕)(«)=(3. 20)/ -1, /? = 0v)(71) = v / / 2 , | n |= 10,/1(宀1)工0(3.21)* (n) = 2(/ - 1)va_! (n) -vk_2(n) + yyk_x (n -1) + v._ (n + )k < n < k0,n < -k,n > k(3. 22)(3. 23)3】o(nt)二

35、 <匕ws) 沧(0)50,ne snescwl0(et)_ cw(7 cos 69? +"5 (2/ -1)-1)(3. 24)式中,设n为奇数,则m=(n-l)/2o cm(/cosr + /-l)及cm(2y l)分别表示m阶切比雪夫多项式。并且了可用卜式表示:l + cospr/(2m)l + cos20/r/(2m +1)(3. 25)式(3. 25)的b是为使主瓣幅度为矩形窗的b倍，即为4 b兀/ (2m+1)而引入 的参数。当旁瓣的最大值i古i定时，道尔夫-切比雪夫可使主瓣幅度为最小。另外，该 函数的特点是所有的旁瓣振幅都相等。3.2 fir滤波器的均方误差最小准

36、则设计为利用式(2.8)和式(2.9)设计线性相位f1r滤波器，当n为奇数时，定义(n-3)/2n - 1h(3)二h(n_i)/2+2 工 hk cos(k)co(3. 26)k=()2当n为偶数吋，定义(0/2 n _ 1 h(3)二2 工心 cos(k)co(3. 27)k=02下而说明当hk=hn_k_i, k=0, 1, 2, , n-1成立时的设计过程。当然，hk=hn-k-i， k=0, 1, 2,，n-1成立时,设计过程也是完全相同的。假定所希望达到的幅频特性为出2),加权函数为w(3)no,如将评价函 数写成：丿1 二w(0)h(0) hd(q)20 = min（3. 28）

37、通过以下过程可以求出jj为最小时的优化系数。当n为奇数时，令c= 2cos( n _3tco ，2cos2 3，2cos3, 1 i2th=h（）, h,，h（n_i）/23）, 2cos（当n为偶数时，令c= 2cos( ）,2cos（n _331丁q）, ，2cos（3）, 2cos3（_3）222th=h（）, h,，h（n-2）/2 h 3 ）=cth（3. 29）式中，t为转置。进一步令a= cocc1 dco , b= （co）wd（co）cdco , d= w（v）hd2（v）dc（）ji=hah2bh+d如果对称矩阵为止则矩阵，求解ah=b(3.30)即可求得优化系数。另外，对

38、区间05 3 <龙进彳亍适当分割，如果着眼于3 = 3k(k二0, 1,n-1)的 离散点，则可以用代替评价函数j.,并用k-(畋)/(©)-(畋)2 = min(3.31)"0式屮，k应选择足够大的数。现在用ck表示将3 = 3 k带入时的c值，并设k-lk-k-k=ok=ok=o则可得到j2=htah-2bth+d(3.32)i大i而,如果对称矩阵a是正则矩阵，则可得到与式相同形式的一次联立方程， 求解该方程即可得到优化解。评价函数中使用了加权函数，考虑到实际计算，希望在不同区段应为不同的 常'数。例如，设低通滤波器的过渡带为叭<3<叫,假如过

39、渡带的特性是任意 的，则可取w(co) = 1(0 < co < coe) ,w(co) = 0(coe < a) < a)(l) (co) = co(cod <co<7r)。该方法 同样适用于评价函数。3.3 fir滤波器的最大误差最小化准则设计下面我们来讨论使通带及阻带的波纹最犬值为最小的最犬误差最小化评 价准则设计线性相位fir滤波器的有关问题。设理想幅频特性为h“(co),权函数为w(co),误差函数为e(d)=w(o)h(co)- hd (co)(3. 33)则评价函数为ja=max0 < c0< 7t(3. 34)式屮，h(3)与式(

40、3. 26)或式(3.27)屮所使用的函数相同。另外，设不需作 幅频特性的过渡带屮w(o)=0o用q表示需对幅频特性作评价的通带。当通带的允许波纹为阻带的允许波纹为5,时，设通带的加权为1,阻 带的加权为%，则可使用通带和阻带即在ewg屮w(3)二1、且允许波纹 二叭时的设计方法。交错点组原理：设x为区间a, b上任意闭合子集，对于在x上给岀的连续 函数f(x)ecx的最大误差最小化评价条件下，如果一般化的多项式p(x)是 f(x)的最优近似：p(x) = yjcjpj(x)j=1也就是使误差函数振幅的最人值maxj= f(x)-p(x)x为最小的优化近似。优化近似的充要条件是当课差函数为e(

41、x)=f (x)-p(x)时,p(x)在f(x)±至少存在n+1个交错点。由于函数系coskw (k=0, 1, , m)满足哈尔条件，所以可用交错点原理求得优化解。式中,当n为奇数时，取m二(n-1)/2, n为偶数时取m=(n-2)/2o要利用交错点组原理决定h(j),就必须求岀式(3. 33)谋差函数的绝对值为 最大时的 m+2 个 3值，3二© wq(i = 0,l,.,m+l) o假定这些©wo可以给出最大误差最小化解，取误差函数的振幅为|q|,即可得到(oi)=(l)i+iq,i=0 丄,m+1首先考虑n为奇数时的情况,此时m二(n+l)/2,取：w(

42、o)i)田(©) hd(3. 35)f= fb，f'，flt= h(n-l)/2，2h(n-3)/2''2ho t改写式(3. 35),即可得到下面的一次联立方程：yfk cosjt,. +(-1)1= hd(,), i二0, 1,，m+1(3. 36)w (©)再考虑到函数系coskcdj (k=0, 1,m)满足哈尔条件,从式(3. 36)就可以 惟一地决定fk(k二0, 1,m)以及q值。当叱wq(i = 0,l,.,m+l)给岀最大误差最小化解的优化解时，则式(3. 36)成立，但是如果它们不是优化解时，就没必要求解式(3. 36)以得到fk

43、(k=0, 1,-,m)o因而,只需用式(3. 36)求q值,即可得到.w+1%比(©)/=0(3. 37)m+l=nt=o cos cdf. 一 cos coi(3. 38)另外，当n为偶数时，此时m二(n-2)/2,如果取：f=垢'fi'，ffvl t= 2h(n-2)/2' 2h(n-4)/2 2h() t,则有s a cos伙 + £)© + (-1)= hd (©) >0,1，,m+1(3. 39)ts2w (©)这种情况下，不需要求解式(3. 36),只需求解式(3. 39)的一次联立方程即可。将式(3

44、. 36)与式(3. 39)比较可知,用cos (k+1/2) o, 代替了 coskr但与n为奇数吋完全一样，n为偶数吋也是从式(3. 37)求式(3. 39)的q值，少可由式(3. 38)给出。通过以上方法求得q值后，即可求得h(coi)= hd (coi)-磐罕,i=0,1,m+1w(©)(3. 40)3.4 fir滤波器的优化设计最优化设计是指采用最优化准则来设计的方法。在fir数字滤波器的最优 化设计中，最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近(也称最 大误差最小化)准则两种。实际设计中，只有采用窗函数法中的矩形窗才能满 足前一种最优化准则，但由于吉布斯效应的存在

45、，使其根木不能满足设计的要求。为了满足设计的要求，可以采用其它的窗函数来消除吉布斯效应，但此时 的设计已经不能满足该最优化准则了。因此，要完成fir数字滤波器的最优化 设计，只能采用后一种准则来实现。给出m+2个co=(oiwq(i=0丄,m+1)和q时,利用式(3. 40)即可决定 h)(i=0, 1,m)。因而利用拉格朗日插值公式可以求得11(3)(0<</r)o 同吋又有可能利用这个插值曲线来研究h(o)(0<<)的极人值与极小值。如果误差函数满足|e(co)|<|2|,69g2 ,即为最优解。但是，在得到最优解 z前，还存在着彳、能满足ie ( 3 ) q

46、 q |的69 e q o也就是说，在指定的 co = a)i w fl(z = 0,.,m +1)点上，丨e (3) |二| q ：,但在指定的3点之外的点 上，存在|e(3)|q|的点。remez交换算法，就是利用插值曲线的极值，重新选定使q增加的 co=coigq, (i=0, 1,-,m+1)点。这种操作过程可一直延续到|q|不再改变,最终 逼近最大课差最小化解，从而求得等波纹滤波器。叮以形成极值的点，就是h(g+)h(coi)的符号发生改变的地方，当然它包 括极点，也包括端点。利用这种方法，如果选定给出e(3)极値的m+2个点， 即j wg , (i = 0,l,.,m+l)的点，从

47、该极值就能决定波纹的大小。基于等波纹切比雪夫逼近准则的fir数字滤波器的优化设计步骤：(1) 给出所需的频率响应hd(o),加权函数w(o)以及滤波器的单位抽样响应h(n)的长度n。(2) 由(1)屮给定的参数来形成所需的hd(co),w表达式。(3) 根据remez算法,求解逼近问题。(4) 根据求得的p)表达式，利用傅立叶逆变换计算出单位抽样响应h(n)的表达式即可获解。利用数字信号处理工具箱屮的rcmczord和remez函数可以实现fir数字滤波器的优化设计。在此介绍这两个函数：(1) n, f0,弧 weights二remezord(f, a, dev)功能：利用remezord函数

48、可以通过估算得到滤波器的近似阶数n,归 一化频率带边界fo,频带内幅值及各个频带内的加权系数weightso输 入参数为频带边缘频率，a为各个频带所期望的幅度值，dev是各个频带允许的最大波动。(2) h=remez(n,fb,ao,weights,5ftype')功能：利用remez函数可以得到优化设计的f1r数字滤波器的h(n) 的系数，输入参数n是滤波器的阶数，weights参数含义说明同(1)。ftype 是所设计的滤波器类型，它除了可以设计普通的滤波器外，它还可以设计数字 希尔钞特变换器以及数字微分器。实际设计中，由于remezord函数可跑高估或低估滤波器的阶数n,因而在

49、得到滤波器的系数后，必须检查其阻带最小衰减是否满足设计要求。如果此时 的技术指标不能满足设计要求，则必须提高滤波器的阶数到n+1, n+2等。设计举例设计一个fir低通数字滤波器。其技术指标如下：cop - 0.4兀,cos - 0.6兀，crl 二 0.01, a2 - 0.001要求采用最优化设计方法实现该滤波器。设计分析首先利用remezord函数估算滤波器的可能阶数n,然后利用 remez函数来实现该滤波器。最后判断所得的滤波器指标是否满足阻带衰减的 要求。若是，则获解；若否，则需提高滤波器的阶数n直到其技术指标满足设 计要求为止。程序源代码如下：function firdf_desi

50、gnwp=input('请输入通带截止频率')；ws=input ('请输入阻带截止频率')；deltal=input ('请输入通带容许偏差')；delta2=input ("请输入阻带容许偏差')；ap=20*logl0 (2/(l-deltal) -1%设计要求的通带最大衰减(db)as二-20*1 ogl0(delta2/(deltal+1) %设计要求的阻带最大衰减(db) deltq_w二2*p i/1000;wsi=ws/delta_w+1;wpi=wp/deltaw;f=wp/pi, ws/pi;m=l,0;de

51、v=deltal, delta2;n, f0, a<i, weights =remezord(f, m, dev);h=remez(n, f0, a, weights);h, w=freqz (h, 1, 1000, 'whole');h二(h(l:l:501)' ;w=(w(l: 1:501)' ;mag=abs(h);db=201ogl0(mag+eps)/max(mag);asd=-max(db(wsi:1:501)while asd<as %判断阻带衰减指标是否满足设计要求，以完成对n的调 整n二n+1;h=remez (n, f0, afl

52、, weights);h, w二freqz(h, 1, 1000, ' whole');h=(h(l:l:501) ;w=(w(1:1:501)' ;mag=abs(h);db=20*1og10(mag+eps)/max(mag);asd=-max(db(wsi:1:501);endm=nh=remez (m, f0, a, weights);h, w二freqz(h, 1, 1000, ' whole');h=(h(1:1:501)j ; w=(w(l: 1:501)' ;mag=abs(h);db=20*logl0(mag+eps)/max(

53、mag);apd=- (min(db(l: 1: wp/dclta w+1) %实际得到的最大通带衰减asd=-round(max(db(wsi: 1:501) %实际得到的最小阻带衰减figureplot(w/pi, abs(h);titlec幅度响应');xlabel (' frequency (*pi)');ylabel('|h|');set(gca,' xtickmode', 'manual',' xtick，, 0:0. 1:1)set(gca,' ytickmode',' man

54、ual','ytick，, 0:0.2:1)axis (0, 1, 0, 1. 5)以文件名firdf_design存盘后，在matlab的命令行状态下分别键入：firdf_design;0. 4*pi ;0. 6*pi ;0. 01 ;0. 001后即可得到如下仿真图和结果。图3. 2基于等波纹切比雪夫逼近准则的fir数字滤波器的优化设计仿真图图3. 3频率采样法设计的fir数字滤波器的仿真图由图3.2和图3.3结果可知分析如下：(1) 采用优化设计方法，其通带波纹较小;(2) 采用优化设计方法，过渡带较平滑；(3) 采用优化设计方法，阻带的旁瓣较小。第四章 无限长单位冲激响应(iir)数字滤波器数字滤波器可分为有限长冲激响应(fir)滤波器和无限长单位冲激响应(iir) 滤波器，它们各具有不同的特点。iir滤波器不一定能保证其稳定性，并且也不能实 现严格意义上的线性相位。但是，它不仅能利用以前所积累的模拟滤波器的经验，而 且用低价滤波器也可以得到优良的幅频特性。木章将介绍若干代表性的iir滤波器的 设计方法，并说明各种设计方法的特点。4.1 iir滤波器的s-z变换设计将拉普拉斯变换的变量s换成力变换的变量,即可盲接求得数字滤波器的传递 函数，这种变换称为s-z变换。按照z变换的定义z=est,当求频率特性时，可以取s=j 3。式中t表示采样