杰弗里的决策逻辑初探

1、杰弗里的决策逻辑初探胡毅敏杰弗里(richard jeffrey) (1926)是美国著名的逻辑学家,他在决 策逻辑、归纳逻辑、形式逻辑、逻辑与计算机、机遇和可能性等方面 都有深入的研究。他的专著决策逻辑在1965年出版，于1983和 1990年两次进行了修订。在这部著作中，他介绍了决策逻辑的发展 过程，在主观贝叶斯主义框架下，用逻辑和数学的方法构建了自己独 特的决策理论，并对许多问题进行了哲学上的思考。因此，对杰弗里 的决策逻辑思想的探讨是很有意义的。一、决策过程1. 决策的一般过程决策逻辑主要研究风险型决策问题。在风险型决策的过程中，有两个 因索起着决定性的作用。一是决策者无法控制的世界状

2、态，二是决策 者对某些行为在某个状态下可能产生的后果的主观估计。我们用概率 (probability)來描述状态出现的可能性的大小，用期望(desirability) 来描述后果在决策者心目屮的价值。期望常由金钱、物品或其它事物 来体现，也能用数值对它进行度量。决策者执行哪一种行为，需要对 每种行为在所有状态下的后果作全面的考虑，我们可以通过计算每个 行为的估计期望(estimated desirability)值，然后进行比较和抉择。 一个行为的估计期是该行为所有后果的期望的加权和。其中，权数为 每一后果所处状态的概率。(在国内的有关文献中常用“期望效用” 描述“估计期望”)。这样，我们可以

3、根据贝叶斯原则，选择执行具有 最大估计期望的行为。设决策问题有n个行为：ai,a2/-*an,可能的状态有m个：bi, b2,- bm, 笫j种状态发生的概率为p)(j = 1, 2,m),笫i个行为(i = 1,2,n) 在第j种状态下的期望为dij9 ©表示第i个行为的估计期望。则© = zpjdij = pldii+pmdim，利用这个公式，可以分别求出n个行为的估计期望值，我们选择执行 那个具有最大估计期望值的行为。还可以把行为按照它们的估计期望 值的由大到小顺序排序，建立行为的偏好等级。决策的原则是：执行 具有最高偏好等级的行为之一。这个原则称为贝叶斯原则。一般地

4、，在同一的决策过程屮，状态的概率和后果的期望都是唯一的。2. 古典决策理论在决策过程中，如果状态的概率是唯一的，后果的期望却不相同，一 般來说可能产生不同的偏好等级。但也有特殊情况。当后果的期望以 特殊方式相联系，在概率相同的条件下，它们产生的行为的偏好等级 相同。古典决策理论的代表有蓝姆塞(f.p.ramsey)和萨维奇(l.j.savage) 等。在古典决策理论屮，后果的期望的联系方式是：一个期望值是另 一个期望值的带有正系数的线性变换。具休地：设决策问题有n个行为:ai, a?,可能的状态有m个:bh b?,bm, 第j种状态发生的概率为pj(j = l,2,m)。第一种情况是，第i个行

5、 为(i二1, 2,n)在第j种状态下的期望为山，勺表示第i个行为的估计 期望。第二种情况是，第i个行为(i=l,2,，n)在第j种状态下的期 望为dq, e表示第i个行为的估计期望。这里，dq与山的关系为: dy= adjj+b (a是正数，b是实数)，则pjdjj= p 1 dj j+ ei = spjdij = pidi+pmdim=pi(adii+b)+pm(adhn+b)二 a(p i 山 i+pmdim)+b(p i+pm) o令b (pi+pm)二则ej = ae汁r。因为a>0, r为任意实数,所以， 如果ek>ep则必有ek>ei；如果ek<ep则必有

6、ek<el；如果e, 则必有 ek= ei(k = 1, 2,，n, 1=1, 2,n)o 故行为的偏好等级不会被期望值的这种变换打乱。由此，我们看到，一个期望标准可以用另一个期望标准代替而不改变 行为的偏好等级。在一般的决策理论中，主观概率是对状态而言的，它是某个人对状态 出现的一种相信程度；期望是对后果而言的，表明某个人对于后果的 渴求程度。在决策逻辑屮，我们将状态、后果和行为都作为命题来处 理。用符号proba表示命题a的概率；用符号desa表示对命题a的 期望，用瓦表示命题a的否定，用ab表示命题a与b的合取，avb 表示命题a与b的析取。命题的合取和析取可以推广到两个命题以 上

7、的情况。用t表示必然命题，用f表示不可能命题。并且命题的 概率和期望满足下面的概率公理和期望公理。概率公理：(a) 概率是非负的：probx>0o(b) 概率是正常的：probt = 1 o(c) 概率是可加的：如果xy = f,贝iprob(xvy) = probx+prob y o概率的可加性说明：如果命题x, y互不相容，则xvy的概率为x, y的概率之和。期望公理：如 果 probxy =0 且 prob(xvy)0 ,贝ij des(xvy)=(probxdesx4-probydesy)/(probx+proby)o期望公理是说，不相容命题的选言命题xvy的期望是这两个命题的

8、加权平均数。这里，权数probx和proby正是这两个命题的概率。有 了期望公理，我们可以将估计期望看作为期望的运算。用这种表示方法，上述理论可表述为：假设prob,des和prob,des是两对赋值，两者都代表确定的偏好等 级，若对任意命题x,有：probx = probx,desx=adesx+r (a为正数，r为实数)，那么，如果prob, des代表一个偏好等级，我们能选择正数a和实数r, 运用上述等式得到prob, des,它们代表的偏好等级与prob, des代表 的偏好等级一致。在这里，概率是唯一的，期望是不唯一的，prob, des与prob, des代 表的偏好等级一致。我们

9、进一步思考，如果对任意命题x, probx 与probx不相等，desx与desx也不相等，那么，在什么条件下， prob, des与prob,des代表的偏好等级一致？杰弗里给出了这个问 题的解答。二、杰弗里的决策逻辑在这部分内容中，等式probx = probx和desx = adesx+b的作用 由更为复杂的等式执行。在数学上的工作是由波克(e.bolker)完成 的，他提出了相等法则。杰弗里把波克的相等法则运用于偏好理论， 构建了现代意义下的贝叶斯决策逻辑。1 波克的相等法则假设：prob, des和prob, des是两对不同的赋值，它们之间的联系 为：(2-1) probx = p

10、robx(cdesx+d),(2-2) desx = (adesx+b)/(cdesx+d) o这里,a, b, c, d是任意常数。这两对赋值能否反映同一个偏好等级呢？ 为了解决这个问题，先给岀存在条件。存在条件：有一对满足概率公理和期望公理的值prob和des,反映了 命题的偏好等级。则desa是大于、等于或小于desb,依赖于a的等 级大于、等于或小于b的等级。如果当旧的一对赋值prob, des满足存在条件时，我们能说明在一定 的条件下，新的一对赋值prob, des也满足存在条件，我们就能确 定它们能反映同一组命题的偏好等级。相等法则：假设prob, des满足存在条件，等式(21)

11、和(22)对于偏好等级中的所有x都成立，下列(23)也被满足，那么prob, des也满 足存在条件。(2-3) (a) ad-bc是正数；(b)对于偏好等级中的每一个x, cdesx+d也 是正数。(c) cdest+d=l相等法则表明，在讨论命题的偏好等级时，所用的概率和期望对并不 是唯一的。那么，期望的范围是什么?两个期望标准之间的关系如何 宜观地表示?下面，我们就这两个问题进行讨论。2.期望的范围市变换(22),即使有desa=desa, desb=desb,也不能保证所有的 命题在两个标准下的期望一致。要完全一致，还需要对于任意c,都 冇 desc=desco我们把注意力集中到des

12、和des对于两个不同等级命题的期望相一 致的情况。设：(2-4) dest = dest = o, desg = desg = 1 o这样，就为期望找到了 0和单位1。(这种选择是为了讨论方便)在(21)中，设 x 二 t,有 1 = l(c0+d),即 d= lo在(2-2)中，设 x = t,有 0 = (ao+b)/(co+d),即 b = 0o在(2-2)中,设 x = g,有 1 =(al+0)/(cl+l),即 a = c+lo这样,在(24)成立时，等式(23)(b), (2-2)和(21)分别有如下形式: (2-5) cdesx>-l,(2-6) desx = (c+l)

13、desx)/(cdesx+l), (2-7)probx = (probx)(cdesx4-l), 在(27)中，设x = g,有： (2-8) probg/probg 二 c+1 二 a。以上讨论的特殊等式，为我们探讨期望的范围作了准备。假设desx的范围有如下4种情况：(s,i是常数)(a) -00<desx<+00； des既无上界，也无下界;(b) i<desx<+°°, des 无上界，有下界;(c) -°°<desx<s, des 有上界，无下界;=0,这时(26)和(27)(d) i<desx<

14、s, des既有上界，又有下界。 当des既无上界也无下界时，条件(25)屮, 为如下形式:desx = desx,probx = probxo这时，对于任意命题x,新旧期望值与新旧概率值都各自相等。des =des, prob = prob,两个标准退化为一个标准。当des有上界，无下界时，des可取任意小的负值，则没有足够小的 正数c,保证(25)的左边总大于右边；当des无上界有下界时，des可取任意大的正值，没有足够接近于0的负值c,保证(25)左边总大 于右边。因此，这两种情况不满足条件，我们把它们排除。这样，我们仅需要考虑des既有上界，又有下界的情况。这时，(2-5) 中的c不为

15、零。可以通过考察c的取值范围，來得出期望的范围。 先给出最小上界和最大下界的概念：假设在偏好等级中不存在这样的命题，它的偏好等级与每一个命题的 等级相同。如果有数s,使得s>desx,没有更小的数具有这个性质， 称s为des的最小上界。类似地，有数i,使得i<desx,没有更大的 数具有这一性质，称i为最大下界。如果x是好命题，desx为止，(25)能写成o-1/desxo 因为无论命题x的偏好等级有多高，不等式都成立，故c>-l/so 类似地，如果x是一个坏命题，desx为负，(25)能写成：c<-l/desxo 因为无论命题x的偏好等级有多低，不等式都成立，故c&l

16、t;-l/io 联立上述两不等式，有：(2-9)-l/s<c<-l/io特殊地，因为desg = 1, s必大于1,故有： (2-10) c>-k我们可以通过作图，更直观地说明期望的范围以及新旧期望值之间的 关系。desdes图(a)desx图(b)在图中，直观地展示了 desx与desx的关系。des标准是des标准 的一个投影，des是由p点，将纵轴上的des投影到横轴上而得。同一个命题的期望在des标准屮用横轴上的点代表，在des标准中 用纵轴上的点代表。在图(a)中，注意到 rtaprqsrtaqqq,故有 oq/oq' = rq/rp, 即：desx/des

17、x = (desx+h-l)/h。解之，得：desx = (h-l)desx/(-desx+h)o把这个等式与(26)相比较，得(2-ll)h = -l/co在图(b)中，情况完全类似。从图中还可以看到，命题的期望在des标准下为零，在des标准下 也为零。因为零点在两个标准下是重合的。命题的期望在des标准下 为1,在des标准下也为k因为投影点p总在两个标准单位z间的 直线上。但是，除此之外，对于其它命题x,当h是有限数值时， desx与desx总是不同的两个数。当c = 0,即h是无穷大时，p点 在无限远处，所有过p点的射线实际上为平行的直线，此时，两个标 准一致。当h的正数时，(如图(

18、a),如果对x的偏好人于对g的偏好，则 desx>desx；如果对x的偏好小于对g的偏好，则desxvdesx。当 h为负数时，情况正好是相反的(如图)。特殊地，当h = s时，des标准下的最小上界被投射到正无穷，类似 地，当h二i吋，在des标准下的最大下界被投射到负无穷。通过以上变换，我们把des标准转化成为des标准，获得的期望或是 有上界无下界，或是有下界无上界，或是既有上界又有下界。我们不可 能把一个有上、下界的标准转化为既无上界，又无下界的标准。4.概率的范围在古典决策系统中，决定偏好等级的概率值是唯一的。在杰弗里的系 统中，概率值不唯一，概率的变换由(27)决定。在(27

19、)中，当c = -l/i 吋，probx = probx(l-desx/i)当 c = -1/sprobx = probx(l-desx/s)当c取-1/s和-l/i z间的其它值时，也可根据(27)求出相应的probx的值。换言之，如果已知一对旧的赋值probx, desx并且选定-1/s和-1/i 之间的参数c,就可以确定新的赋值中的概率。决策逻辑是研究在未来状态具有不确定性的情况下，进行合理决策的 问题。在决策过程中，只要确定了概率和期望的值，就可以通过贝叶 斯原则进行决策。因此，从数量上把握这两个概念就成为决策逻辑的 中心逻辑问题。杰列里在前人的基础上，利用波克的相等理论，构建 了现代意义