降低解析几何运算量的十种常用策略

1、降低解析几何运算量的十种常用策略在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运 算能力，就不易得到正确的运算结杲。那么如何正确地选择方法，减少解析儿何题的计算量呢？下而介 绍几种减少计算量的常用方法。(1)设而不求【题1】已知直线/交椭圆4兀2 + 5),2 = 80于m, w两点，椭圆与y轴的止半轴交于b点、若bmn 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线/的方程是o【分析】如图，椭圆的右焦点既是bmn的車心，容易求出边mn的中点坐标，那么求直线/的 方程，关键在求该直线的斜率。若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定理及线段的中

2、点公式求z. 郦然这个计算量是不菲的。更好的方法是：2 2【解析】山4兀2+5)，=8()=>二+二=1。20 16故椭圆上顶点b (0, 4),右焦点f (2,0)为zbmn的垂心，故线段mn的中点为c (3,-2)。设直线i的斜率为k.,点m (西,yj,n(兀2,为)在椭圆上,=>4（x, -x2）（x, +“2）+（x 一）2）（儿 +）2）= 04# + 5），； = 804xf + 5）舟=80=” _儿4 x, + x2 _ 46 _ 6 5 x +儿 5-45所求直线方程为:y + 2 = (x 3) n 6x 5y 28 = 0。【评注】我们用参数设置了 m,n两

3、点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是 根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果这种的解题方法叫做设而不求.(2)使用特值【题2已知在离心率为勺的双曲线二一斗=l(d >b>q)中，f为右焦点，过f点倾斜角为60°5a b的直线与双曲线右支相交于4,b两点，且点a在第一象限，若满足af, = m fb则加=【分析】按常规求m值，必先求向量乔与丙之长.山于双曲线的方程无法确定, 又必须使用参数，其计算量z大是让人望而牛畏的。注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果。所以 1我

4、们可以通过取特值，让方程具体化。7【解析】e = - = ./a 5/2 2不妨设q = 5,c = 6,c2二°2+匕2,.” = 11 ,双曲线方程为：- = 1 ,其右焦点尸（6,0）,设 2511''a（6 + /,两），代入双曲线方程：11（6 + ,）2253八=25x11 =64/2-132121 = 0于是t= =一一，加=丄=4,故m = 4o14 216 j （3）平几给力【题3】过圆c:x2 + y2 =/?2内一定点m（xo，y°）作一动直线交圆c于两点p,r,过坐标原点o-> >作冇线on丄pm于点n,过点p的切线交直线

5、on于点！2,则om-oq=。【分析】与恻有关的问题可以优先利川平面儿何知识题设条件屮既有垂线乂有切线，容易构成直角 三角形，故求两向量的数量积容易想到直角三允形中成比例的线段.av【解析】如图2,连op,则op丄pq.但是oq丄pr于n,根据直 三角形的射影性质有：|d2|-|dv| = |dp|2=7?2丽 ®二阳网 cos a二阳阿卜f即丽 oq = r2.（4）减少参数【题4】双曲线c:x2-y2= 1的渐近线方程为 .若双曲线c的右顶点为a ,过a的直线/与双曲线c的两条渐近线交于p,q两点，s.pa = 2aqf则直线/的斜率为【分析】第一空，简单；难点是第二问.按常规，

6、为求直线/的斜率，必先确定p或q的坐标.但山现有条件却确定不了，因此退而求p,q两 处标z间的关系.但是两点的朋标有4个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半.【解析】设p（召，yj,q（七,y?）当用二2aq时,必+ 2旳=0.设直线 pq : y = £（兀_ 1）.令 x=y,得 y = k（y-l）,：. y,令 x=y,得 y = k （y 1）, . y2_ -k"itt于是:k 2k= 0-k9得z*l-2（z） = 0【别解】（巧用中点公式）如图设p （艇），则p关于a （1,0）的对称点为r （2-a,-a） , ar的中点(3 a-符合所设

7、条件且在直线y=-x上。2（5）回归定义2 2【题5】设倂，耳是双曲线* - * = 1（。0上0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点p,使（帀+ 0可）* = （）（o为坐标原点），且可=呵阳|,则双曲线的离心率是【分析】根据向童加法的平行四边形法则，op+of2=oq. ：.oq丄乔 且亜1的丽可知npf'f为直角三角形.这就为用定义法求离心率创造了条件.【解析】不妨设双曲线的半焦距c=l,.令| pf；|=r,l）llj|pf；| = v3r,.-.26/ = （v3-l）r ,于是“卑,“许是"+1。（6）正难则反2 2 2 2【题6】若椭圆g，c?分别是：二+

8、 £ = 1（少也0）和：二+丄亍=1 （勺方2 °） a2 b2它们焦点相同且舛6。给出如卞以个结论：鱼久kc2乍2两个椭圆一定没有公共点；勺b2 .a； -a2 =b；-b2 . ax -a2 bx-b2.所有正确结论的序号是（）a.b.c.d.【分析】各选项都需鉴别3个命题，太繁了此外，正而论证哪3个命题正确，太费事了.于是将原命题转换为：其中不止确结论的序号是：此外，4个选项中，最容易用特值否定的是，故有2 2 ?【解析】构造椭圆c遥+苧1及c2哈+宀1显然两椭圆焦点相同。故结论不成立，选b.【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理.

9、首先，在考场上，这种解法是完全站得住脚的既然结论在特殊情况下是不正确的，那么在一般情 况下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放z四海而皆准”的.以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他3个结论的止确性.既是两椭圆焦点相同,那么c； = c； => a； - h =al-b； n af-a= b； - h;. a结论正确:结论：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无解.分aaa八一 2禺一 d .2打一勺= 0=>x +y _ > j =05 勺bbi2 2既然结论止确，fl ll知 > tz7 ci -丰 0,故必一-hy =0.最后的方程无解，这就证

10、明了结论是正确的.b?要考察结论是否正确，仅从数据推理是困难的，需采川数形结合的方法.既然结论止确，即两椭圆没有公共点已知6/, >a2,所以椭圆1在椭圆2的外而.如图6,设两椭圆公共右焦点为f,上顶点分别为-bpb2,fbfb2bb29a-a2<h,-b2这就是说，结论也是正确的.既然结论正确，故选b.请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？（7）数形结合2 2【题7】双111线务-与=1的渐近线与圆x2+（y-2）2=l相切，则双曲线离心率为（）cr(a) v2(b) >/3(c) 2(d) 3【分析】既是已知圆为双曲线的渐近线相切，故不妨先

11、画出图形再考查其数暈关系【解析】如图，圆c的圆心为c （0,2），且半径r=l.双曲线的渐近线1: y = -x切圆c于点入则厶aoc是含30角的 a直角三角形，zaox = 60。,于是纟=tan 60° =能，a、2 _ 2:= 3=>g = 2,选c.（8）三角代换【题8】如图，中心在原点o的椭圆的右焦点为f （3, 0）,右准线1的方程为：x=12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点p'rr，使 z 片 fp = zp2fp3 = zpfp、,证明_+1+1为定值，并求此定值.i fp i i fp2 i i fp3 i【分析】本题选自07.重庆卷

12、.22题，是压轴题.难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确的解题途径是：（1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有3个相等的角 度，应不失吋机地引入三角知识.图8-2【解析】椭圆的半焦距c=3,右准线x=12=> =12,.'. a2 = 12x3 = 36,b2 = a2 c2 = 27.ry *故椭圆方程为：一 +二=1,其离心率£36 272如图8-2设* （兀1，）,£ （兀2，）2）£（兀3，儿）为椭圆上符合条件的三点，令fp、

13、=石,卩创=$.作 pihi丄/于 h】，令 p、h = d、,设 zplfx=0 贝 ij zp2fx=0+12oozp3fx=120°-0 于 是ifu兀=3 +q cosp，. 2q = 9-r cos0 => q =92 + coso同理：“ 2 + cos(l20。+ 0)小 一 2 + cos(l20。一0) 于疋fpfp2 ifpj=(2+ cos 0) + ( 2 + cos(l 20° + 0) +(2 + cos(l 20° - 0)1 2=64-cos 0 + 2cos 120°cos= ，故为定值.【评注】如果读者有极坐标的

14、有关知识，则本题的解法将更为简洁（9）命题转换【题10】椭圆的两焦点处标分别为片（-能,0）迅（希,0），口椭圆过点v3,-.（!）求椭圆的方 2丿程； （2）过点作直线/交该椭恻于m,n两点（直线/不与x轴垂合），a为椭岡的左顶点,7t求证;zman = .2【分析】（1）问，简单；（2）问，点f-,0的横坐标为分数，显然会给以下的计算带來不小的麻 k 5>烦所以考虑转换为等价命题，使运算中不再含有分数.（ 1 i解析】由条件知椭圆半焦距点牧日在椭圆上,、2+2+21丫2>于是斫求椭圆方程为+ / = 14"*(|呵+|呵)冷02 +_ 1(71 )12(2 2)=2（

15、2）将所求椭圆的长，短轴各口扩大5倍，根据相似原理，原命题等价于：过点2（-6,0）作直线'交椭圆而+ 士"于mn两点（直线/不与轴重合），a为椭圆的左顶点，求证；设所求直线：y二r(x + 6),代入x2+4y2 =100：x2+4z:2 (x2 + 12x + 36)= 100 =>(l + 42)x2+482x + 1442-100 = 0于是x, + x2144fc2-1001 + 4疋v yxy2 = k2 +6)(花 +6)= / 兀-x2 +6(西 + x2) + 36am an =(西 +10,)(兀2 +10,>2)= xi，x2 +1°

16、;(兀i + 兀2)+ l°0+ 歹2=(1 + £2)兀兀2 +(10 + 6疋)(兀+兀2)+ 100 + 36疋(1 + 2)(144/-100)48/(10 + 62)1+4疋1+4疋+ 100 + 36疋= +； j(144£4 +44疋-100)(28肿+480於)+ (100 + 436疋+144疋)=0tt 这就证明了： zman = -.2(10)先猜后证【题11】以耳(0,-1)迅(0,1)为焦点的椭圆c过点、p(冷1). (1)求椭圆0的方程；(ii)过点s0)的动直线/交椭圆cta. b两点，试问：在朋标平面上是否存在一个定点t,3使得无论

17、/如何转动，以4 b为直径的圆恒过点卩？若存在，求出点卩的处标；若不存在，请说明理由.【分析】木题难点在第(ii)问考察曲线是否通过定点，川一般方法很难发现，所以先考察特姝图形, 推测出可能的结果，而后再加证明.(i)解法一(定义法)：设椭圆方程为丄所以 d = v2,/?2 = a2 2 x2十=1(5>0),rh已知c = 1 oc2=l,椭圆c的方程是兀2 +解法二2 2（方程法）：设椭圆方程为）；+； =1 >b>0）,山已知c = l,即a2=b2+ ,得* + h2+ h2b11=1 p( , 1)代入：.+ ° =1=>2戸仏 2 + l) =

18、3，+l=>2b4 b2 1 = 0 2b2 + 2b2、)y a"2>0, ./= 1椭圆c的方程是兀2+ 2l二12（ii）（先用特殊值探求，再证明探求的结果）在椭恻方程屮，令x =-丄，得y = ±-m图即有：|st| = |sa| = |sb= *.这说明333以弦a】b】为直径的圆过点t （1,0）.以下我们证明:椭圆中过点bis的具他弦为直径的圆也过定点t (1,0)只需证明 ta tb = 0.设直线ab：，= 心+丄代入椭圆方程，整理得：（疋+ 2）宀<3丿图io2k2疋_18x += 0.39点s在椭圆内,此方程必有二实根无,吃，且x】+

19、 x）2疋3(/ + 2)話為于是(1>(nxkx2 i 3丿<丿(a) 士(b)z丽丽=（召1）（兀2-1,力）=（西一1）（兀2 i） + r=(疋 +1)牡 +*(" -3)(兀 1 +兀2)+ £(/ +9) 二詰询(宀ok fl" w -3)+程 +9)代 +2)卜0可知币丄丽，也就是任何其他弦为直径的圆都过定点t （1，0） 练习题2 21. （北京东城二模，6题）已知双曲线二-£ = 10上0）,过其右焦点且垂直于实轴的直线 cr hr与双曲线交于m,n两点，o为处标原点若om丄on,则双曲线的离心率为2. （2011.湖北重点

20、学校4月考.文科.9题）已知抛物线），=2px（p0）, rtaabc的3个顶点都在抛物线上，且斜边aby轴，则斜边上的高为（）a.2pb.4pc.pd.p/23. （湖北武昌，元月考，6题）直线y = k（x-2）与抛物线/=8x交于a,b两点.若ab中点的横处标为3,则弦ab的长为（）a.6b.10c. 25d.16/ 2 24. （2010.北京宣武5刀考.8题.）如图抛物线c： y2 = 2px和圆c?：x-+ y2 =,其i 2丿4中p > 0, m /经过c|的焦点，依次交g，c?于a,b,c,d四点，则期而 的值为（）a. kx + y =05 （2010.北京.崇文.5月

21、考.8题）已知圆的方程x2 + /=25,过m（-4,3）作直线ma,mb与恻交丁点 4,3,且ma,mb关丁直线y = 3对称，则直线的斜率等于（）(a)4354(b) (c) (d)3445a.3b. 2 + c. 3v2 d.l22x-y + 2>q9. （湖北黄冈，元月.13题）如果点p在平血区域jx-2.y + l< 0上点q在曲线+（）, + 2）=2x+y-2<0上，那么的最小值为x2 y210. （同上，14题）过双曲线-2_ = 1（z>o>/?>o）的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落a b在曲线二+ x = 1上，则双曲线的离心率为

22、/r cr11. （海南12校第一次联考，6题）设双曲线m:-r =1,点c（0,l）若直线x= 2 14. （2010.北京西城5月考.8题）如图，在等腰梯形abcd中，ab/cd,且ab=2ad,设7tzd4b = 0,0w（o,）,以a, b为焦点且过点d的双曲线的离心率为勺，以c, d为焦点且过点a1近尸1 +亍（/为参数）交双曲线的两渐近线于a,b,且bc = 2ac,则双曲线的离心率为ba.2b.匝c.a/5d.応32 212. （河北唐山一榄16题）戏曲线右_* = 1（。（）上0）的左、右焦点分别为片迅,p为双曲线右支上一点，p2与圆x2 + /=/72切于点g且g为pf2的中

23、点，贝ij该双曲线的离心率e=13. （重庆7区2刀考，8题）设fi，f2分别为双曲线咅一石=1： （a>0,b>0）的左右焦点，若在 双曲线右支上存在点p,满足|pf2| = |f,|,h点p的横坐标为糸、（c为半焦距），则该双曲线的离心率 为的椭圆的离心率为6,则（）a.随着角度的增人，s增大,勺勺为定值b.随着角度0的增大,et减小，勺幺2为定值c.随着角度&的增人,c随着角度的增人，勺减小,勺勺也减小15过定点p （3,1）的直线/交x轴正半轴于a,交y轴正半轴于b,0为坐标原点，则aoab周长 的最小值为（）b.10c.12d.45参考答案1.（平儿给力）amon

24、是等腰直角三角形，斜边上的高为半焦距.rt amff2中,mf2 = cff2 = 2c.1题解图3题解图2.（设而不求）如图设人（召，必）,3（召,一必）,0（兀2，儿），则斜边上的高/? = x1-x2.rhg4丄耳=> （西一兀2, ）1 一 儿）（再一尢2, 一）1 一 力）=0=> （西一兀2 ）2 - （）彳 一 £ ） = 0 => （坷一兀2一 2 （曲一七）=03.（平几给力）如图,抛物线的焦点为f （2,0）准线方程为2：兀=-2.若m为ab中点，由a,m,b分别向准线l:x = -2引垂线，垂足依次为那么mm】是梯形aabd中位线，冃mm. =

25、5.故 |ab| = |“|+网 | = 2|mm= io,选 b.4.（取特殊直线）如图：圆的圆心为抛物线的焦点f（制令直线ad与x轴垂直，那么fa = fd = pfc = 2fb| =/. ab = cd =: ab 与而同向，.丽而=十,故选 a.5.（儿何法：利用垂径定理及圆的对称性）如5题解图显然点m（-4,3）在圆x2 + /=25上点m关于y轴的对称点n （4,3）也在圆兀2 +）,2 = 25上.连on.vmn平分zambjn为ab的中点.34必 on丄ab./kon = kab =-6.（特值法省力）不妨设k=l,则4条直线依次为：a.y=-x-l;d.y=-x+2 b.y

26、=x-1;c.y=-x+l;显然,a与b关于y轴对称,b与c关于x轴对称，这3条ft线与f线y=x+1被椭圆e :所截得的弦长都相等故选d.2 2匚+二14qdaj(p,e)= v5-现在设 p（cos（7,sina），2、,sin«aw 0,-.那么21sma cosq2(q + 0).当且仅当 sin(a + 0)=l 时,&解法1.（数形结合）设圆c垂直于直线l:x-y = 0的切线为x=y+m,°恻的方程：（-y + m）2+（y-2v2y = i=>2/-（2m + 4v2）y + m2+7 = 0所求瑕小值为令 a = 0 n 4/n2 +16/2

27、m + 32 8m2 + 7 j = 0 => zw2 4a/2/z? + 6 = 0.解得：m = v2,3v2.取m = 3血，直线方程为兀+ y = 3近,令x=y,得-v2,-v2 |,122）8题解图17.（数形结合）直线2x + y 2術=0交x轴于a（馅,0）,3（0,2亦）.显然朋标原点o与该直线上一点的“折线距离”的故小值等于oa = y5.设点p为圆x2 + /=1上一点，为求其到该直线上一点“折线距离”的最小值，显然点p只能在第一象限的恻弧上.作pqx轴，交该直线于q,对丁固定的p,我们证明点p,q的折线距离（也就是线段pq之长）最小.若点 c 在 bq±

28、,作 cf丄pq 于 f,由于zbqp=zbao>45°,. |cf| > |0f| ,d（p,c）二pf + cf >pq ；7题解图 若点d在aq上，仅rd横朋标差点绝对值己大于pq z长.则所求投影的最人值为=3，选 a.解法2.（平而儿何给力）过圆心c（0,2v2）作直线 l:x-y = 0的平行线，设与圆的上交点为p, pm丄/于m,又作on丄直线cp于n, cp = 1, |cn| = |oc|-sin45° = 2v2 = 2,故所求投影的最大值为om = 39. （数形结合）符合题意的平而区域如图所示作圆的平行于直线 x-2y+l=0的切线

29、，设其方程为x-2y + m = 0.则圆心m （0, -2）到此tt线的距离d加=4土jiu.取m = -4 + >/10 ,9题解图则切线方程为x-2y-4 + v10=0.所求的最小值为-4 + v10-1= v5->/210. 设双曲线右焦点为f （c,0）,取渐近线l：y=-xt tfm丄/于m,.直线fm的方程为: ay=_#（兀 _c）hy=x ha 一 q二> x +a9=>abacb a2亠得a c c代入椭圆方程:i c c丿42/2a2 . + /?2 .4- = a2b2 => tz4 +/ =/?2(/+/?2) .° = /?

30、则双曲线的离心率为血 ccv7y11. （减少参数）双曲线的渐近线为y = ±-,直线的一般方程为 ax (x => = 1 + 兀， 忑 y = aaa .帀由x y = 一一a心=-仃山条件知a为bc中点,.q ho,. l + a + 2(l-a) = ona = 3 .于是*皿离心率*学选b题解图【评注】只求x,不求y,省力的典范.12.（回归定义）当pf?与圆x2 + y2=h2切于点g时，有og = b,但血喝=5.0笃| =。2a = pf-pf2 = 2b-2d.知 b = 2a zogf2 = 90°,:.ogf +gf2f =of2f 5a2 =c

31、2=>e =av14题解图13题解图冋归定义）不妨令c=4,则点的横坐标为5如图冇耳(-4,0),f2(4,0)则阳=|f,f2| = 8.作 pq丄x 轴于 q,有 q(5,0).且 |pq| = a/82 -12 = 463,pf2 = v63 + 97 = 12.1 1 ra 二一二一(12 8)= 2,禺心率幺=22ci14.（回归定义,三角法）连ac,bd.不妨设|a£>| = 1,iab = 2,cd = 2-2cos0 .由余弦定理:ac = bd = >j5-4cos0.对于双曲线, q = - (|r>b| da) = -(v5-4cos -12 22/5 4cos& -12cos2-=3 +匚. a a 2 sin cos2 2( 兀、0 g 0,，:当增大时，勺减小.i 2丿对于椭i员|,禺=(da + ca )=丄(丿5-4cos +1), q = |c/)| = 1 cos&,=.,2'1727211j5 4cos + l2- 0理1,故为定值.2(l_cos)e e '1_ j5-4cos& + 1 j5-4cos& -14(1 _ cos 0)15. 解法1 （三角代换）如15题截图1,作pm丄x轴于m, pn丄y轴于n,贝lj on=2,on=1.设 z