集合的概念与表示方法_数学_自然科学_专业资料

1、授课主题集合的概念与表示方法教学目的1、初步理解集合的含义，了解集合元素的性质。2、知道常用数集及其记法。3. 了解“属于”关系的意义。4. 了解有限集、无限集、空集的意义。教学重点理解集合的元素的性质。教学内容h1名数学家=10个师”第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀的数学家的作用超过10个师的兵力。你可知这句话的由来吗？1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力， 无力增派更多的护航舰，一时间，德军的”潜艇战”搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，按数学角

2、度来看这一问题，它有一定的规律。一定数量的船（如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20艘，就要有5个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。比如5位同学放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，随便去哪家都行，但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%o美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹岀现了 ：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。新知1:集合与元素的概念一般地，称一定范围内某些确定的.不同的对象的全体构成一个集合(setb集合

3、中的每一个对 象称为该集合的元素(element)，简称元。集合通常用大括号 或大写的拉丁字母a,b,c表示，集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a、b、c、p、q 例如a=1,3,a,c,a+b注意:(1 )集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.(2 )集合是一个“整体.(3 )构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的例如：指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。(1 )我国的直辖市；(2 )五中高一(1 )班全体学生;(3 )较大的数(4 ) young中的字母；(5 )大于100的数；(6 )小于0的正数。新知2:集合元素的特征1. 对于一个给定的集合，集合中的元素

4、是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.2、集合相等:构成两个集合的元素完全一样。例如a=1 , 2 , 3 , b= 3,2,1 则a=b新知3.元素与集合的关系元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；(1 )如果。是集合人的元素，就说。属于4 ,记作化人(2)如果。不是集合a的元素，就说q不属于人，记作a" (七”的开口方向，不能把awa倒过来写.)新知4:常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集)，记作n 在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作m或n+ ;整数全体构成的集合叫做整数集，记作z 有理数全体构成的集合叫做有理数集，记作q 实属全体构成的集合叫做实数集

5、，记作r 注意:(1 )自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0(2 )非负整数集内排除0的集记作n*或n+q、z、r等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成z* 新知5:集合的分类:按它的元素个数多少来分：(i ) 叫做有限集；(ii )叫做无限集；(iii )叫做空集，记为例题解析题型一集合的判断例1、下面的各组对象能组成集合的是（1 ）正三角形的全体（2 ）血压很高的人（3 ）鲜艳的颜色（4 ）某校2009级高一新生（5 ）所有数学难题（6 ）所有不大于3 ,不小于0的整数（7 ）充分接近100的全体实数例2、下列各组对象不能形成集合的是大于

6、6的所有整数;被3除余2的所有整数； 高中数学的所有难题；1函数y二-图象上所有的点.x变式训练：下面的各组对象能组成集合的是（1 ）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3 ）中国国旗的颜色（4 ）充分小的负数的全体（5 ） book中的字母（6）立方等于本身的实数（7）不等式2x-8<13的正整数解题型二元素与集合之间的关系例1、用填空(1)3 14q ；(2) v3z ;( 3 ) 0m ； ( 4 )希r ;(5 )兀3.14 ;( 6 ) 0n ;( 7 ) 00 ;例2、a表示720以内的所有素数”组成的集合是则有3_a ,4_a ,7_a , 9_a , 13_a ,

7、 15_a填（w或纟）变式练习1、a=2,4,8,16,则 4 a , 8 a , 32 a. 填（w或纟）2用“w”或陀”符号填空:（d8_n ;（2）0n ;0）-3z ;（4）72q ;（ 5 ） -14r（6）设a为所有亚洲国家组成的集合，则中国_a ,美国_a ,印度_a ,英国_a 题型三集合中元素的特性例仁以方程/5兀+6二0和方程宀兀-2二0的解为元素构成的集合皿则m中元素的个数为（）a、1个 b2个 c3个 d4个例2、已知集合a是由2,x,x2x三个元素组成的集合，则x应满足的条件是变式训练：1、由（-1丫 , nen构成的集合中含有元素的个数为（）a、1个b、2个c、0个

8、 d、无数个2、已知集合a是由0 , m , m23m+2三个元素组成的集合，且2a ,则实数m=题型四集合的分类例4下列各组对象能否构成集合。若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集还是空集。中国的所有人口的全体；山东省2008年应届初中毕业生；数轴上到原点的距离小于1的点；方程x2=0的解的全体；你们班中成绩较好的同学；小于1的正整数的全体.新知6:集合的表示方法1. 列举法：把集合中的元素一一列举岀来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法。如:a=1 , 2 , 3,4 , 5 , b=x2 , 3x+2 , 5y3-x , x?+y2，;说明：仁书写时，元素与元素之间用逗号分开

9、；2、一般不必考虑元素之间的顺序；3、集合中的元素可以为数，点，代数式、文字等；4、列举法可表示有限元素集，也可以表示无限元素集。当元素个数比较少时用列举法 比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况 下，也可以用列举法表示。5、对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能 用省略号，象自然数集n用列举法表示为1,2,3,4,5,例仁用列举法表示下列集合：(1 )小于10的所有自然数组成的集合；(2 )方程乂 =幽所有实数根组成的集合；(3 )我国现有的直辖市。.例1解答：(1 )设小于10的所有自然数组成的集合为力，那么/i = 0

10、 , 1 , 2 , 3,4,5 , 6 , 7 , 8 , 9.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合/!可以有不同的列举 法.例如:/! = 9,8,7,6,5,4,3,2,1 , 0.(2 )设方程m = x的所有实数根组成的集合为3 ,那么8=0 , 1.变式练习用列举法表示下列集合：(i)x2 - 4 的一次因式组成的集合.y | y = - x2 - 2x + 3 , xgr,yen.方程x2 + 6x + 9 = 0的解集.(4)(20以内的质数.g) ( x , y ) | x2 + y2 = 1 , xez,yez. (6)大于 0 小于 3 的整数.(

11、7) xer | x2 + 5x - 14 = 0.(8) ( x , y ) | xgn，且 1<x<4 , y - 2x = 0.(9) (x,y) |x + y = 6, xgn , yen.2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：xea p(x) 其中"代表元素，a是集合，p是集合a的一个特征性质。.如:x|x-3>2 , (x,y)|y=x2+1 , x|直角三角形,.;说明: 描述法表示集合时

12、，应特别注意集合的代表元素，如(x,y)ly = x2-l yy = x2-l不同. 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如xlx>l , xx = 3k,kz.集合的已包含“所有”的意思，例如：整数,即代表整数集z ,所以不必写全体整数.下列写法实数集 , r也是错误的.例z用描述法表示下列集合:方程2x + y = 5的解集.小于10的所有非负整数的集合.方程ax + by = 0 ( ab*0 )的解.大于3的全体偶数组成的集合.平面直角坐标系中第ii、iii象限点的集合.x + v = 1 x-y=1的解的集合.(7) 1 ,3,5,7, .说明：列举法与描述法各有优点，应

13、该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。变式练习用描述法表示下列集合:毎农老应违者阵慰倉己. 冴栄系莖往第x轴上所有点的集合.非负偶数.能被3整除的整数.3、veen （韦恩）图集合的表示除了上述两种方法以外，还有韦恩图法，即寸闭的曲线,用它的内部来a表示任意一个集合a个集合，如下图所示:3,9,27表示3, 9, 271.集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.1874年康托尔提出“集合'的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集 合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托

14、尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提 出集合论思想的那一天定为集合论诞生日2、所谓质数或称素数，就是一个正整数，除了本身和1以外并没有任何其他因子。例如2 , 3,5,7是质数，而4,6,8,9则不是，后者称为合成数或合数。从这个观点可将整数分为 两种，一种叫质数，一种叫合成数。除了 1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数1 把能够整除某一个数的数，叫做这个数的约数。几个数所公有的约数叫这几个数的公约数。公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。2.几个数所公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个（零除外）叫做这几个数的最小公倍数。1. 下列元素与集合的关系中正确

15、的是()d.-3.2qa.-eb.2g%gr|a>v3c.|-3|n*2. 给出下列四个命题：(1)很小的实数可以构成集合；集合yy=与集合化力尸乂畀是同一个集合；(3) 1,-,-,- ,0.5这些数字组成的集合有5个元素;2 42集合(xm»0,x,*r是指第二象限或第四象限内的点的集合.以上命题中，正确命题的个数是(a.o b.1c.2d.33. 下列集合中表示同一集合的是()a. m=(3,2),n=2,3)b. m=3,2,n=(2,3)c. m二化加卅尸1,n二刘卅尸1d. m=1,2,n=2,14. 已知xwn,则方程/ +兀-2 = 0的解集为（）a.a|a=-

16、2b. a|a=1 或 a=-2 c. a|a=1d.05. 已知集合m二/77wn|8/77wn,则集合m中元素个数是（）a.6b.7c.8d.9二、填空题6用符号隹”或“百'填空:0n,v5n, v16n.7. 用列举法表示,-2<a<2,zgz为.8. 用描述法表示集合“方程02卅3二0的解集”为9. 集合ra>3与集合"a3是否表示同一集合？10. 已知集合p=a|2<a<xgn,b知集合p中恰有3个元素，则整数a=(附加题)下列对象能否组成集合：数组仁3、5、7;(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点；满足3x-2>x+3的全体实数；(4) 所有直角三角形；(5) 美国nba的著名篮球明星；(6) 所有绝对值等于