毕业论文—用辅助圆解题方法的研究

1、用辅助圆解题方法的研究内容摘要辅助圆是一种重要的解题工具，巧妙地添加辅助圆这工具能使一些用常规 方法解决的问题转化为关于i员i的模型，利用i员i的定义以及性质从而能更快捷的解 决问题。所以，本文对何时町以应用到辅助圆这工具进行了总结，通过具体例题 进一步的给出了应用辅助圆在各种问题屮的的不同方法，使问题由难变易，迎刃 而解。这种方法不仅能较好的达到解题目的，还有利于培养学生分析问题和思维 能力。【关键词】辅助圆 圆的性质最值取值范围math problem-solving approach with auxiliary circlesummaryauxiliary circle is on i

2、mportsnt problem-solving tool, cleverly add the the auxil iary circle tool enabl es usi ng conventional met hods to solve the problems transformed into the circle model, using the definition of a circle, and the nature of which solve the problem faster. so, when this paper can be applied to the auxi

3、liary circle tool was summarized by the specific examples given application auxiliary circle in a variety of problems in different ways, difficuit to change，solved the problem. this approach is not only able to better achieve problem-solving purposes, will also help students analyze problems and thi

4、nking ability.keyword 1 aux i i i ary circle the nature of the circlethe most vaiuerange一、弓丨言（1）二、用辅助圆解题方法的研究（2）（一）在代数中的研究（3）（二）在平而几何屮的研究（5）（三）在解析几何中的研究（6）（四）在物理学中的研究（9）三、总结（11）致谢 （11）参考文献（11）中学数学用辅助圆解题方法的研究学生姓名：陈超文指导老师：寇艳蕾、引言圆就是到定点的距离等于定长的点的集合，是平而几何的主要研究对象 z,可又可以巧妙的应用在代数，解析几何和物理等问题中，使一些看似无法 下手的数学问题

5、迎刃而解；同时，通过“以形解数”、“以形解形”，加深对数形 结合的数学思想方法的认识，也为屮学数学教师的解题教学和学牛解题提供另一 种思路与方法，拓宽解题的思维与视角本文在借鉴前人的研究辅助圆的应用的 基础上进一步研究和归纳出什么类型的题目可以用到辅助圆，如在代数的研究屮 形如d_d)2+(y_b)2的代数式，且是求最值或取值范围时，在复数问题关于绝对 值的取值范围题目中，和在平面儿何中当发现有某四边形中有对角互补等情况时 都可联想到辅助圆这解题工具。本文述重点研究在冇关椭圆与直线的问题中化为 单位i员i，构造一个单位i员i，利用单位i员i的特殊性质巧妙地解决椭i员i问题。二、中学数学用辅助圆

6、解题方法的研究形如d_d）2+（y_b）2的代数式，且是求最值或取值范围时，普遍可以令其 值为，引入辅助圆（兀_°）2+（）一 ”二宀 使得两点间的距离与半径建立出一一 对应关系，合理应用圆的几何性质，便能达到巧妙答题的目的。而由于复数容 易在坐标系屮表示，所以我们也可以利用在坐标系屮建立辅助圆，用直观的图 来巧妙地解题。比如在复数问题中求取值范围且有如绝对值之类可以有圆相联 系的问题屮，我们也可以利用式子的几何意义，通过构造辅助圆，在头脑屮形 成闘的形象，跟问题联系起来，从而达到以形解数口的。而在三角函数问题中有 时给出已知三角函数的值，而返回來求角的值解答此类问题，可借助辅助圆，

7、 而且因为结合三角函数的图像容易知道该辅助圆就是单位圆，利用直线和单位 圆的位置关系便可获解借助单位圆，将纯三角计算问题转化为直线与圆的位 置关系来解决，直观、明了，给人耳目一新z感除此z外辅助圆述会用在三角 函数和某具体实数的比较，这种情形只要结合辅助i员i和该三角函数连线的交接 的三角形和扇形的比较即可。oo例2.设加e r且方程兀"+ mx最小值。 +nx2 + mx +1 = 0至少有一个实数根，试求+n2的最小值.分析：由题耍求的最小值我们可以联想到圆的方程的标准形式x2 + /=r2,则可以利用辅助圆来求解.解:作辅助圆m2+n2=r2©,设心为方程的一个实根，

8、故冇甫+加总+/ir；+mr()+ 1 = 0，因为m,斤同时满足，.故关于mfn的方程组2 2 2m +n =厂,亠叶432有解,x0 + mxq + nx + mxq + 1 = 0即是直线(%o + xq)m +就+兀：+1 = 0与圆m2 +n2 = r2有交点,所以737"设尸i °,所以只须求),的最小值.v xq (xq +1)2 +2g+l）2-°°_1y 总氏+1）口 僦 + 丄）2+1 +4 + 34-lx。兀 （总+丄）2 （球+丄）所以r2>/>-,当且仅当总=4,即x0=±l时，等号成立.5兀0代入方程n

9、2m = -2224 或m +n =52m + n = -24?9°4，解z即口j得m = ± ,n =,77/ +n =555此时,m2 + n2的最小值为兰.例3 求实数a的范围，使得对任意的实数兀和任意的0 e0,-,则恒有2（x + 3 + 2sin0cos0）2 +（x + asin0 + acos0）2 >-.8解：做一辅助圆如图，题h所求即是在辅助圆中找一点使它到m （0,-5）和点n(0,所以解：由结论的形式联想到圆的方程的标准形式，设严f + 3 + 2su10cos0,则有n = x + asin /3 + a cos 0ir，宀利表示以（。,。）

10、为原点，以斗为半径的圆的外部（包臟界）,消去x得动直线的方程”=加-3-2sin0cos0 + asin0 + acos0 ,所以只须动直线与圆宀y恒相切或相离,既冇 l3 + 2sin0cos0-a(sin0 + cos0)l > 血 恒成立4所以只要i 2 + (sin0 + cos0)2 -tz(sin0 + cos0)ln 丄恒成立即可.令 sin0 + cos0 = /,由 0 e0,有 1 <r < v2 ,则化为 12+尸一 mln 丄,r e1,v2 恒成 2 21 12斥乂，即2+尸一mn 或2+/? ms , tg|1,v2个旦成立9 即awth或anfh

11、 92 22t2trel,v2ffi成立，利用函数的单调性可求得v6<r + -<-,-v2<r + -<-, -,a<6 2r 2 42t 2或a n?22. 在求复数问题的最值问题时。+ |z-i|的最小值例4.设复数z, az的绝对值是1,求|z + 5例5已知复数z,且|z-3|<2,求|z + 4|的取值范围。分析利用复数在复平面上所对应的坐标及其几何意义解决此类问题.解|z-3|<2在复平而上对应的图形为以(3,0)为圆心，以2为半径的圆周及 圆内部；|z + 4|表示满足在复平面|z-3|<2圆内上z对应的点与4对应的点间的 距离，

12、画图出來易知|z + 4|的最大值为7, |z + 4|的最小值为3,故|z + 4|的取值范 围是(3,7)。3 .在求三角函数吋。例 6 已知 sin a + sin(a + b) + cos(a + b) = v3, b e .71 ,求 b 的值.4分析 木题若用公式把其展开，则显得冗繁，不妨考虑用几何方法.解将已知条件化为(sin a + cos b) cos 4 + (1 + cos 3 sin b) sin 4 巧=0 点 a(cosa,sin a)在直线(sin a + cos b)x + (l + cosb-sin b)y-v3 = 0 以及单位圆 x2 + y2 =1 上，

13、有0 + 0-呵j (sin a + cos by + (1 + cos b 一 sin则be71才44乂因为 所以故即图11例7 (1996年第12届全俄数学竞赛7 题)求证：sin 20 <一20证明作一单位圆(如图11),有s aaob乜 xlxlxsin2（tsin 20：2_ n7tr _ 20_ 7i因为塌形aob_360。_ 36（），茂s aaob v s扇形 aob，所以sin 207iv ,218sin 20° <2/r 20tt =<18 180637< 180 20木题乍一看，似乎难以下手，可借助单位圆，使问题解决更快捷.（二）在平面儿

14、何中的研究在应用辅助圆前，首先我们要清处哪些条件是可以让我们联想到辅助圆的，比如 冇公共端点的等线段时、冇两角互余或互补的时、冇高、冇相交弦的逆沱理、冇 割线的逆定理，两数相乘等积等形式出现时都可以考虑用到辅助【员i,以下就列举 了这儿种普遍的情形，而且进一步重点研究四点共圆的情况。1.当有公共端点的等线段时可联想到辅助圆。例 lo 如图，若 pa二pb, zapb=2zacb, ac 与 pb 交于点 p,且 pb=4, db=3, 则ad - dc等于（）a. 6 b. 7 c. 12 d. 16c到一个沱点等距离的儿个点在同一个圆上，这是利用圆的沱义添辅助圆的最基本方法, 也是最常见的可

15、以用到辅助鬪的例了。此题看到有公共端点的p和等线段的pa和pb, 可以联想到作出以p点为圆心、pa长为半径的圆，为相交弦泄理的应用创设了条件。2.当有两角互余或互补的时或者有45度如和90度角时可联想到辅助圆。例2.如图，在aabc43, ab = ac,d是底边上一点、，e是线段ad上一点且abed = 2zced = z4 .求证：bd = 2cd.证明：延长ad与abc的外接圆相交于点f ,连结cf与贝lj zbfa = zbca = zabc = zafc ,即 zbfd = zcfd 故 bf :cf = bd :dc 又 zbef = abac, abfe = zbca , 从而

16、zfbe = zabc = zacb = zbfe 故 eb = ef 作zbef的平分线交bf于g ,则bg = gf因 zgef = - zbef = zcef , zgef = zcef,2故afeg = fec从而gf = fc于是，bf = 2cf故bd = 2cd3. 当有两数相乘等积时即是可以联想到相交弦定理从而引入辅助圆。例3.已知如图，rtabc , zbac= 90°, ad丄bc , zb的平分线与ad. ac分别交于m、n 求证ab2 - an2 = bm bn .分析：由结论的符号特征“dw联想到|员|中的割线定理，而 由条件可证am = an ,因此想到以

17、点a为圆心，am为半径作 鬪交于点f,交必的延长线于点e,则点n在圆a上.所以，bm bn = (ab - af) - (ab + ae)= (ab-an)(ab + an)f 所以，ab2 - an2 = bm bn .点评：上述解法，通过添加辅助圆，使之形成两条共端点的割线，这为获得妙 解找到了捷径.4. 针对高考题中主要考察有辅助圆的问题普遍是四点共圆的问题，故本文在 这里重点研究了四点共圆的情形。定义：如果同一平而内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为 “四点共圆。在联想和应用到辅助圆的前提必须要清楚这四点共不共圆，而在这里木文总 结了可以证明四点共圆的基本方法:a./t

18、义法，三点在同一圆上，若另外一点也 在该圆上，则其四点必共圆；b.若两个同侧有相等顶角的三角形，则该两个三角 形各顶点四点共圆；c若四边形的有一对和互补时可知改四点共圆；d.根据相交 弦的逆定理、割线的逆定理证明。四点共圆的基木几何性质有a共圆的四点所连成的同侧共底的两个三角形 的顶角相等；b.共圆的四边形对角互补；c.圆内接三角形的某角的外角跟该角的 对角相等。在熟练理解和应用四点共圆的证明方法和性质前提下，我们可以归纳出一些 普遍能应用四点共圜的辅助圆的情况。例4.如图，已知四边形abc0ab平行cd,其中ab,ac,ad三线其值都为 x, bc为y,问bd的长。分析：由ab,ac,ad三

19、线相等并共端点，而且该四边形的对角互补，种种 条件我们很容易的联想到引入辅助圆来求解。解:以a为圆心，半径为ab做圆，则a,b,c,d四点共圆，则由圆的基本性 质可知 bd1 = eb2 - ed2 = eb2 -bc2,所以 bd = 4x2 - y2例 5 如图,在三角形 abc 中,ce1 ab,bd 1ac, za = 60°,求证 bc 二 2ed.分析：由若两个同侧有相等顶角的三角形，则该两个三角形各顶点四点共圆 这证明四点共圆的方法可知e、b、c、d四点共圆故我们可联想到引入 辅助圆来解决问题。证明：在aabc 中，ce±ab,bd1ac:.zbec=zbdc

20、=90° ,且 e、d 在 bc 的同侧,e、b、c、d四点共圆.zaed=zacb, za二za,aaaedaacb.aeacedcb,在rtaaec 中，za = 60° ,zace = 30° ；ae 1 bn ed 1 =, 即 =ac 2 cb 21/.ed=-bc 2即 bc=2ed例6,如图，在厶abc 高be、cf相交于h,且zbhc=135° , g为aabc内的一点, 且 gb=gc, zbgc=3za,连结 hg,求证:iig 平分zbhf.解：由四边形性质容易知道za = 180°-zbhc = 45°,所以z

21、bgc=3za=135°，而由同底 同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆可知b、g、c、ii四点共圆，得180° -135°_zbcg=zghb= 2=22.5° ,又zbhf二45° ,所以zghb二空 zbhf,故hg 平分zbhfo例7.已知等腰梯形abcd屮，ad /bc,ad = a,bc = b,ab = cd = c,ac = bd = d,求证：ab = d2-c2. (1)分析：看到有四边形对角互补和儿个线段都相等的情形下，我们还是很容 易想到辅助圆。f图6证明：如图6,以d为圆心，db长为半径作圆，交一直线cd于点e、f

22、,延长bc交od于g,连结dg,则cf = d + c , ce = d-c, : db = dg , :. zl = zg, xzl = z2 , z2 = zg , ac / dg ac = dgf :.四边形acgd为平行四边形，cg = ad = q. icg cb = cf ce, a b = (d + c )(d c)二 d $ c $.到此在屮学普遍能利用到四点共圆的情形或类似题目在上文基本阐述，关于 圆内接四边形的性质，还有一个重要加理现在中学课本一般都不列入，现介绍 如下：托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的 和.即，若abcd 点共圆(abcd按顺序都

23、在同一个圆上)，那么ab*dc+bc*ad二ac*bd。很多问题换个思路，就会柳暗花明。在解证某些数学题时，如能巧用托勒密 定理，可使解证过程简洁清新。如下面这道例题：设a, b, x, y是实数，且/+沪=,兀2十歹2 =, 求证：ax+bywl.这道题如果用代数不等式的知识去解过程会很复杂，我们可以从条件«2+/?2=l,x2 + r =1得到灵感，构造一个直径ab二1的圆，在ab的两侧任作rtacb 和 rtaadb,使 ac=a, bc=b, bd=x, ad=y.(图 1)c这时我们就可以运用托勒密定理了。根据托勒密定理，有ac bd+bc ad二ab cd. cdw1,

24、aax + byl.上题运用代数运算转换成图形的思想，从而让托勒密定理得以巧妙运用。而 在图形转化成代数的运算中，托勒密定理也能发生作用。我们看看这道奥数题:已知正七边形a1a2-a7,求证对于这道竞赛题，原证较繁，但通过深挖隐含条件，我们可以知道, 正七边形存在外接圆。从而我们可以利用托勒密定理，改变整个解题局面, 使证题步骤简缩到最少.如图 2,连 aia5、aaas,则 a1 as=a i ai、a3a5a1 a3.在四边形 a1a3a4a5 中，由托勒密定理,得 a3a4 a1a5+a4a5 a1a3=a1a4 -abao, 即 a1a2 a1a1+a1a2 aia3=aia3 a1a

25、4,两边同除以a1a2 a1a3 aiai即得结论式由上面两道题目可以看出托勒密定理在数与形的转换屮起到“桥梁”的作 用，对于它的其它妙用，这里就不再一一罗列了。卩l|点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全 等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点和联系的 条件集中或转移，而月可宜接运用圆的性质为解题服务（三）在解析儿何中的研究在解析几何屮能用到辅助圆的普遍是研究与椭圆有关的问题，这吋通过一个特殊的线性变换，可以把椭圆方程转化为辅助圆方程（这时我们一般为方便起见是转化为单位圆）对x =af= 1于椭圆方程/戻若作变换pf则椭岡方程变化

26、为单位圜方程/2+>'2 = 1的等命题从而可以把某些椭i员i问题转化到单位i员i中来解决，即通过化椭i员i问题为单位i员i问题， 构造一个单位圆，利用圆的特姝性质解决椭圆问题，往往能使问题简化.如一些冇关椭圆与 直线的问题屮，已知含某一待定实数的方程的直线与椭圆存在某种关系时，要求解满足这种 关系的实数的取值范围这种问题我们可转化为直线与单位圆问题，利用熟悉的单位圆的有 关性质，更便于解决又如求解与椭圆相交的直线的方程时，可转化为求与单位圆相交的此 直线的方程问题，利用辅助圆和直线的关系最后在进行逆代换，返回到原问题屮而一般出 现在数学高考题后三道题中求轨迹方程的题目中，利用单

27、位圆做辅助圆也是用相同的思路方 法把先把椭圆化为单位圆再进一步求解。1.求实数范围2 2 c1例1.如果椭圆4 3上存在关于直线/：丁 = 4兀+加对称的两-点，试求加的范围.分析利用变换 2 丁3 ,则原命题转换为构造一个等价命题.如杲单位圆cf+yji上存在两点 v 使线段人矽的中点在直线的 盯上，且满足3,试求加的范围.根据垂径分弦及鬪的中点在岡内的特殊性确定的取值范围.,1,1x =儿 y =i=yf ,2 z2解把 2 v3分别代入方程c和/得到，单位圆c：i + y，l，直线 19 .9 _8 f 加椭圆c上关于直线/对称的两点人（心）1）（毛*2）,分别对应单位圆c'上两

28、点 昇）,3©22），因为x'+兀, 1x+禺）''+2 1（ x +）2、则椭圆c的弦mb的中点m对应单位圆c'的弦ab的中点at . 乂因为的丄z,屈能二2开_旳二2 勺一玉旺一勺/w12a/3占八、丿在圆c内，则而omf丄afbf,所以直线oat的方程为v = 2忌联立方程组y' = 2>/3x，一 8 ，丄 八 71 ttx =2解得yf = -乜 m.解得th的取值范围为2 2<=< m < =v13v132.求直线方程2 2 例2.川-3,2)是椭圆100 64内一点，过a作直线交椭圆于乩°两点，当

29、a为线段3c的中点时，求直线方程.,兀x =10v解 作变换1一8，则椭i员i方程变为：严+ y"i, a(-3,2)变为小一iu'/,椭圆中 心。与b，c相应地变为0与b：c ,此时a为bc的屮点.根据圆的性质：线段为垂直 ° “的弦因为所以k/rcaf(:)乂所求直线经过i。 ,据点斜式得b'c所在的直线方程为6(3 ) x' + 5110；作逆代换得即)'18 _46< x 3 )h5(10 10丿24x-25y +122 = 0这就是人为中点时的直线方程.3.求轨迹方程2 2i例3.椭圆94上一动点。的切线分别交x轴、)'

30、;轴于点/?, s ,过/?, s分别作垂直于兀轴、歹轴的直线，求此二垂线交点p的轨迹方程.l j,2 ,2_,解作变换l 2,则椭圆变换为单位圆y +y =i与点。对应的o落在圆上，设其坐 标为（“），则有/+夕=1,并且知过q'的圆的切线为axbyr = 此切线与北轴的交点尺的 横坐标是匚，与轴交点&的纵坐标是匸设pg'，）'）,贝ij1心,a1b=.yfa2 +b2 =1 ,=1从而又所以作逆变换即得点p的轨迹方程为=i（四）在物理学中的探讨数学方法是研究物理学的一种基本方法，运用圆的知识研究物理问题也是一种常用的数 学方法z-,若能根据题目特点引入辅助圆

31、，往往对解题起到化繁为简，化难为易的作用。 而以下两种题目的特点是可以引入辅助圆的。u矢量圆求最值时。矢量即有大小，又有方向，且运算时满足平行四边行法则。在 矢量的合成与分解中若能借助“矢量圆”就能冇效地化繁为简， 并能加深对矢量概念的理解。例1 一条宽为l的河流，水流速为u,船在静水中划行的速度为v ,且v<uo要使船到达对岸的位移最短，船的航向如何？解析 水流速u、船在静水中的速度v与船的合速度v1构成一矢量三角形，且船在静水中的速度v大小不变，方向不定，构建如图1所示的矢量岡。显然，当ad与矢量岡和切0 = arccos 吋，船航行的位移最短。由图可得船的航向与河岸的夹角2可以用等

32、势圆表示已知两点机械能相同时。点屯荷的等势面是以点屯荷为圆心的圆面组成，这样的圆面称之为“等势圆”。借用等势 岡来解题能化难为易。例2 （2002年江苏等省理综第30题）如图6所示，直角三角形的斜边倾角为30° ,底 边bc长为2l,图7处在水平位置，斜边ac是光滑绝缘的， 在底边中点0处放置一正电荷q, 一个质量为 m,电量为q的带负电的质点从斜面顶端a沿 斜边滑下，滑到斜边上的垂足d时速度为vo 则：该质点运动到非常挨近斜边底端c点时 速度vc为多少？没斜面向下的加速度ac为 多少？解析 点电荷沿斜面ac下滑时，电场力在不断变化，无法利用动能定理及能量守恒关 系直接列式求解，从而使解题陷入困境。由几何关系可引入图7所示的等势圆，由于d、c二点位于同一等势圆上，电荷从d运动图8到c电场力做功为零，只有重力做功，所以电荷在i）点的机械能与c点的 机械能相等，即:= mvd2 + mg cp sin 30° => vc1 2 mvr2 (对电荷在c点受力（如图8所示），由牛顿第二定律得:mgsin300-cos30°=mac三、总结数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，二者不仅渗透 于数学教学屮，述是进行解题时