毕业论文《圆锥曲线的性质及推广运用》

1、2013届本科毕业论文锥曲线的性质及推广运用学 院：数学科学院专业班级：信息与计算科学数单班学生姓名:指导教师:答辩日期:1引言42圆锥曲线的分类，性质及应用52.1圆锥曲线的分类52.2圆锥曲线的性质52.3圆锥曲线在生活屮的应用93圆锥曲线性质的推广应用93.1利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值93.2直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用133.3数学问题在圆锥曲线中的推广19参考文献：21 21锥曲线的性质及推广应用摘要：本文首先探究圆锥曲线在解析儿何下的分类，总结了三类圆锥曲线的性质 及应用，主要利用平面解析儿何的知识及数形结合思想，对圆锥曲线的基本性质 及推广性质进行了总结和证明，并将

2、它在h常生活屮的应用和在解题屮的应用做 了简要说明。关键词：圆锥曲线；性质；应用；推广；the nature and promote application of conic curves abstracts:the article first explores the conic curves in three different classifications of analytic geometry. it also summarizes nature and application of conic curves by using flat analytic geometry know

3、ledge and symbolic-graphic combination. at last it makes some summaries and verification on the basis of the nattire and promote appl ication of conic secti on s. a nd put it in our daily lives and in the soluti on of applica tion in a brief explanation.key words: conic curve;nature;application;prom

4、otion;锥曲线的性质及推广应用引言圆锥曲线是高中和大学解析几何的重要内容，是用代数方法来研究几何问 题，它处丁代数与几何的交汇处。圆锥曲线的性质及推广是其中的热点问题之一。圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又 与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何 学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲 线。研究圆锥曲线的分类和性质，有利于开阔学生的解题思路，沟通知识间的 横向联系，培养学生的直觉思维和逻辑推理能力，而且能较高观点的理解圆锥曲 线的定义。通过圆锥曲线的定义，基本性质，数形结合及巧设参数等方法加以解 决。不管是在宏观

5、世界还是微观世界，圆锥曲线都和我们有着密切相关的 联系。从宏观上来说我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上 运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些 行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发 射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有 引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而， 圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。从微观上來说， 任何物体都是曲原子构成的，原子是原子核和其周围围绕的屯子高速旋转 形成，而电子的运动轨迹近似认为是圆周运动或椭圆运动，相对丁每一个 原子，又符合库伦定

6、律。从每一个原子到分子，最后形成物体，也就是我 们的现实的世界。木文通过探讨圆锥曲线在解析几何下的分类及其性质，重点研究圆锥曲线的 性质及推广应用。2圆锥曲线的分类，性质及应用2.1.圆锥曲线的分类在（平面）一直角坐标系中，设二次曲线的方程为anx + 2anxy + a22y + 2a3x + 2a23y + 6z33 = 0记11 a 2ia 12a 22厶=qii02a22。23厶=4 + a2112 =°31°32a33则我们称是二次曲线的不变量，k|为二次曲线的半不变量。 由不变量给出二次曲线的分类：椭圆型：/2 >0椭圆 /2>0,厶厶<0虚椭

7、圆（无轨迹）z2 >0 , ij3 >°一点 /2 > 0 ,厶二：0ii双曲型：/2<0双曲线厶<0,厶工0一对相交直线厶<0,厶=0iii抛物型：/2=0抛物线厶=0,厶工0 一对平行直线 厶=°，厶=0 , /c, <0 一对虚平行直线（无轨迹）厶=0,厶=0, k>0一对重合直线厶=0,厶=°，&=0当二次方程的图形是一点或直线的情形时，称二次曲线是退化的。因此从上 述二次曲线的分类可知，厶的符号判别了曲线的类型，而厶工0或厶=0就判别了曲线的非退化或退化的情形。椭i员i,双曲线和抛物线这三种曲线统称

8、为i员i锥曲线。2.2.圆锥曲线的性质（首先化成标准方程，然后再判断）:锥曲线焦点位置的判（1）椭圆：由*2,歹2分母的大小决定，焦点在= 1表示焦点在y-12-/w轴上的椭圆，则m的取值范围是_（答:（-oo-l）u（l,-）（2）双曲线：由x2, j；2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。（1）椭圆概念平面内与两个定点斥、瑪的距离的和等于常数（大于|存丨）的点的轨迹叫做椭 圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若m为椭圆上 任意一点，则旬 a4f + mf2= 2a.椭圆的标准方程为：4+4=1（。&

9、quot;>0）（焦点在x轴上）或4+4=1 a ba b（o>b>0）（焦点在y轴上）。注：以上方程中a,b的大小a>b>0,其中c2=a2-b2； 在4 + 4 = 1和2 + £ = 1两个方程中都有a>b> 0的条件，耍分清焦点 / tr / tr的位置，只要看兀2和尸的分母的大小。例如椭圆+ = 1 （m>0, h>0,m n当m > n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m < n时表示焦点在尹轴上的椭 圆。（2）椭圆的性质 范围：由标准方程冷+存=1知|兀$。，说明椭圆位于直线er tr尸±b所围成的矩

10、形里； 对称性：在曲线方程里，若以-v代替尹方程不变，所以若点（x）在曲线 上时，点（x-y）也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以-x代替兀方程不变,则曲线关于尹轴对称。若同时以-x代替兀，-尹代替y方程也不变，则曲线 关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、尹轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭的对称中心叫椭圆的中心; 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令兀=0,得y = ±b,则b（0,-b）,场（00）是椭圆 与夕轴的两个交点。同理令尹=0得兀= ±a,即4 （-（7,0）, a2（a,0

11、）是椭圆与x轴 的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点冇四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段44、坊坊分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2。和 2b , q和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为q;在rtaob2f2 +, 0b2 =b, of2=cf b2f21=67, kof2=b2f212-|<95212,即 c2=a2-c2； 离心率：椭圜的焦距与长轴的比幺=£叫椭鬪的离心率。>c>o,a0<e<l,且幺越接近1, c就越接近从而b就越小，对应的椭圜越扁；反z, e越接近to, c就越接近t

12、o,从而b越接近丁s,这吋椭圆越接近于圆。当且 仅当a = b时，c = 0,两焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2 =a2o2双曲线（1）双曲线的概念平而上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 （111-111=26/）0注意:（*）式中是差的绝对值，在0v2av|昭i条件下;pf-pf2=2a 吋为双曲线的一支（含的一支）；|-|=267时为双曲线的另一支（含人 的一支）;当2° =| fif29pfi-pf2=2a表示两条射线;当2d >|百巧|时, |p|-|p|=2a不表示任何图形;两定点耳，场叫做双曲线的焦点，|片笃|叫 做焦距。椭圆和双曲线比较:圆

13、 椭线 曲 双定义方程11=2 2 y 6+2 2x q=2 2 yd +2 2x 611=2 2-2 2x a11=2 2 x b-2 2 y a焦 占 八、（2）双曲线的性质 范围：从标准方程二-二=1,看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两/ zr条直线x = ±6?的外侧。即，> a2, |x| > a即双曲线在两条直线x = ±a的外侧。 对称性：双曲线匚-匚=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这吋，坐ct b标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线4-4=1的对称屮心，双曲线的对称屮 cr b心叫做双曲线的屮心。29 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶

14、点。在双曲线-4=1的cr方程里，对称轴是3轴，所以令7 = 0得兀=±°,因此双曲线和兀轴冇两个交点a （一0,0）力2（色0），他们是双曲线写-gct b=1的顶点。令x = 0,没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭不同的（椭圆有四个顶点）,双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段力厶叫做双曲线的实轴，它的长等于加4叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段b禺叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半 轴长。 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条 直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线4-4

15、=1的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近。 等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a = b；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y二土兀；（2）渐近线互和垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题口屮出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征a = b ,则等轴双曲线可以设为：x2-y2,当2>0时交点在x轴，当时焦点在尹轴上。 注意- = 1与疋-兰=1的区别：三个量中恥不同（互换）c169916相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3.抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点f和一条定直线1的距

16、离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点 f不在定直线1上）o定点f叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物线的准线。方程y2 =2px （p>0）叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是f （£,0）,2它的准线方程是x;2（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，冇四种不同的情况,所以抛物线的标准方程述有其他几种形式：y2=-2px, x2=2pyf x2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程y2 = 2pxy2 = -2 pxx2 =2 pyx2 =-2py(p>0)(p>

17、0)(p>0)(p>0)图形焦点坐标（知(号0)（嶂（0,气）准线方程x = -p2t范围x>0x<0j；>0y<0对称性x轴兀轴丿轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e = le = le e = 1说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物 线的几何性质的特点：冇一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称 屮心，没冇渐近线；（3）注意强调"的几何意义：是焦点到准线的距离。定理1抛物线的过焦点的所冇弦屮，以抛物线的通经为最短。定理2设ab是抛物线尹=亦2>0）的长为m的动弦，则am24（

18、1）当m>-（通径长）时，ab的小点m到兀轴的距离的最小值为如p a4a 当m<-（通径长）时，ab的中点m到x轴的距离的最小值为 a定理3抛物线焦点弦：设过抛物线7 = 2丹（p as的焦点戸的直线与抛物线交 于a （xy ,b（x2,y2）两点，直线0a与0b的斜率分别为k1,k2,直线1的p*id 卩倾斜角为则有松f，西罚u，也=*, i吟1-8皿, "1=諾e刚=議，财2.3.圆锥曲线在生活中的应用随着新课程理念的深入，一些以i员i锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景 的应用问题已经进入了我们的教材，并且越来越受到重视.利用椭圆、双曲线、 抛物线可以有效地解决数学

19、、物理及生活实际中的许多问题下面举例说明i员i锥 曲线在实际生活小的应用2.3. 1生活中的椭圆：油罐车的横截面。圆柱形的容器在同样容器的要求下，它的表面积最小也就是容器所用的材料最 少，在装入物品后尤其是液体，对罐内壁各部分的受力大小情况也比较平均，而 在高度和宽度(即车的允许高度和车的宽度)都有限制的情况下，其横截面作成 椭岡形就可以达到既节省了罐体材料，也保证了容积，由利用了有限的“空间”和 保证了罐体的稳定性。2. 3. 2双曲线的应用：火电厂及核电站的冷却塔冷却塔从底部到中部直径变小，是将蒸汽抽到塔内，防止底部逸出，而上部宜径 变大，可以降低上升到顶部热气的流动速度，从而降低抽力，使

20、蒸汽尽可能的留 在塔内，提高冷却冋收率。2.3.3抛物线的应用：美丽的赵州桥采用抛物线的结构使得赵州桥用料精简，结构稳定坚固，赵州桥距离现在1400 多年，经历了 10次水灾，8次战乱，和多次地震，著名桥梁专家茅以升说过： 先不管桥的内部结构，仅就他能够存在1400多年就说明了一切。探照灯截面由 抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面，他也有一条轴，即抛物线 的轴，在这个轴上有一个奇妙的焦点，任何一条过焦点的直线反射出来以后，都 将成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的 道理。3.锥曲线的性质及推广应用3.1利用圆锥曲线性质求解圆锥曲线的最值例、已知抛物线

21、/=4x,定点a(3,l), f是抛物线的焦点,在 抛物线上求一点r使|ap|+|pf|取最小值,并求的最小值。分析：由点a引准线的垂线，垂足q,则|ap|+|pf|=|ap|+|pq|,即 为最小值。解：如图，=4x,.0 = 2，焦点f（1，o）。 由点a引准线x=-1的垂线，垂足q,贝【j |ap|+|pf|=|ap|+|pq|,即为最小值.(|jp| + |pf|)min=4.若另取一点p ,显然 |/p| + |pf|=| +1pv 1>1 ap-vpq o点悟利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技 巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内 一点a与其上

22、一动点p,求mp|+他的最值时，常考虑圆锥 e曲线第二定义。设ab为过椭圆二+召 = l（q>b>0）中心的弦，焦点f（c,o）（c > 0）,求 6t bmab的最大面积。分析： 利用割补法，将fab分割为afq4与afob,再根据圆锥曲线的性质，求得其最值。解：设力（兀i），则由椭圆的对称性得b-xx -y）,贝ij=*（|0尸卜卜| + |0歼|一川）swf =of-y<bc （由椭圆的性质知 且必=b时等式成立）所以afab的最大面积为be。反思：当整体面积不好求时，可将其划分为能直接求解的若干个面积z和。已知椭圆g ：二+件=1（。> b > 0）

23、的右顶点为j（l,0）,过g的焦点且垂直长 a" b轴的弦长为1（1）求椭圆g的方程（2）设点p在抛物线c2 :j； = x2+/?（/7ga）±, c2在点p处的切线与g交于点 m, n.当线段ap的屮点与mn的屮点的横坐标相等时，求h的最小值。分析：本题主要考察椭圆、抛物线的几何性质，直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考察解析几何的基本思想方法和综合解题 能力。b = 1,解：由题意,得°戸2=r2因此，所求的椭圆的方程为才+宀1. a如图，设j）,n（兀22），尸（7于+/0则抛物线c2在点p处的切线斜率为 yxt =2t直线mv的方程为y =

24、2tx-t2 +h 将上式代入椭圆g的方程中，得 4/+（2饥一尸+力）2一4 = 0.即4（1 +严）兀2 _4血2 _防兀+（2 _防2 _4 = 0因为直线与椭圆g有两个不同的交点,所以式中的 =16厂+2（力+ 2）/2沪+4卜0设线段的中点的横坐标是兀3,则_ x + 兀2 _ t（t2 -/?）兀-2- 2（1+ /釣 设线段血的中点的横坐标是兀，则兀=¥由题意，得x3 =x4即八+（l + ）/ + i = o.由式中的 2 =(1 + /?)2 -4>0得心,或hu-3.当力53时，力+ 2<0,4 加<0,贝ij不等式不成立，所以/?>1.当

25、力=1时，代入方程得/ = -1,将a = l,/ = -l代入不等式，检验成立。 所以，力的最小值为1.小结：利用圆锥曲线的性质求最值是一种技巧性较强的特殊方法，但思路 清晰，过程简捷，可以避繁就简，化难为易。3.2直线与圆锥曲线的位置关系的实际应用1.直线与锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有 一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入 二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的 情况来判断.设直线/的方程为加+c=0, 圆锥曲线方程./(x, y) = 0.pk+莎+c=0 仏，y)=o如消去y后得6zx2+/)x+c0. 若0

26、=0,当圆锥曲线是双曲线时，直线/与双曲线的渐近线平行或 重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线/与抛物线的对称轴平行(或重 合). 若qho,设4 = /一4必.a. a丄0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b. a二0吋,直线和圆锥曲线相切于一点；c. 丄0时，直线和圆锥曲线没有公共点.2 21已知(4,2)是直线i被椭圆命+眷=1所截得的线段的中点，则/的方程为a.兀2y=0 b x2y4 = 0c 2 兀+3尹+4 = 0 d x+2尹8 = 0解析设/与椭圆的交点为a（xlf刃），5（x2,力）,12 2話+晋t，369vi y922两式相减，得兀2丄匕兀1 一兀236+9 = 1 9（%

27、1 +%2）2x4136（|+尹2）= 4x2x2 = _2-/的方程为：y2=*(兀4),即兀+2尹_8=0在平而直角坐标系xop屮，经过点(0, 2)且斜率为k的直线/与椭圆y+j2=l有两个不同的交点 p和q.(1) 求幺的取值范围；(2) 设椭圆与x轴正半轴、y正半轴的交点分别为a、b,是否存在实数k,使得共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由解 市已知条件，直线/的方程为尸kx+逗, r2代入椭圆方程彳导亍+ (foc+/2)2 1,整理得+*2+2寸怂+1 =0直线/与椭圆有两个不同的交点p和0等价于/ =肿_4片+£|=4疋一20,解得幺_¥或

28、3;平.即£的取值范围为一8,爭|u¥，+8.（2）设尹i），2（x2,尹2）,= （x+x2,尹1+尹2），由方程式，兀+兀2 =又 71 +尹2 = k(xx +x2) + 2 边兀1+兀2=边01+乃)， 将代入上式，解得上=¥ 由（1）知x半或炉平，故没有符合题意的常数上过原点月斜率为正值的直线交椭圆7 + b = 1于e,f两点，设a （2, 0）, b（0, 1）,4求四边形aebf面积s的最大值。分析：由图形的对称性可知，当且仅当椭圆弧ab上的点f到直线ab的距离最大 时，四边形aebf的而积取最大值，不难发现此时的点f恰是椭圆平行丁ab的切线 与椭

29、圆的共共点。解 设直线/异2是与直线ab平行的椭圆的两条切线，则当e,f分别与两切点重合 吋，四边形aebf面积s取最大值。设切线的方程为x + 2y = t9代入椭圆方程可得 2x2 2tx + z2 4 = 0 ,令4 = 4/28（/2 4）= 0 得 t ±2/2 ,即两切线的,而ab =街，故已知/abc的顶点a, b在椭x2+3j2方程为x + 2尹土 2-2 = 0 ,它们的距离为 =4 上，c 在直线 h j=x+2±,且 ab/1.(1)当4边通过坐标原点0时，求ab的长及aabc的面积;当zabc=90°,且斜边ac的长最大时，求4b 所在直线

30、的方程.求弦长i ab aabc的ab边上的 高即原点0到i的距离h-厶abc的ab边上的高即原点o到/的距 离 hsabc=abh.将|/c|表示成m的函数f将|/c|表示成m的函数f由ac最大确定m 的值.解（1）因为ab/1,且边通过点（0,0）, 所以所在直线的方程为尹=x设b两点坐标分别为(xi, yi), (x2,尹2). 卜2 + 3尹2 =化由得兀=±1,所以ab =l2x x2 = 2yj2.又因为ab边上的高h等于原点到直线i的距离,所以 h=yl2 ? sabc=abh = 2.设m所在直线的方程为y=x+m.x2 + 32 = 4?2由|得 4x + 6mx+

31、3m2 4 = 0.y=x+m, 因为b在椭圆上，所以= 一12/十64>0设b两点坐标分别为（兀1，pi）, （x2,尹2）3m则兀1 +兀2 2%1x2 =所以|肋|=承|兀1灯=322 6m - 又因为bc的长等于点（0,加）到直线/的距离，因为acf = abf + bcf =m 2m + 10= (m+ i)2+ 11,所以当加=1时，/c边最长，（这时a= 12 + 64>0）此时ab所在直线的方程为y=x 1.小结：由于平而解析几何本身是数形结合的产物，所以借助图形的几何性质 也 是破解圆锥曲线问题的重要对策，而口往往能收到事半功倍的效果。3.3数学问题在圆锥曲线中的

32、推广定理1：如图2,有心圆锥曲线©/+0才=1（q>o, 0>0或a、0异号）是厶abc的内切圆锥曲线分别与bc、ab、ac相切于点d、e、f, d0的延长线交ef于点g, ag的延长线交bc于点h,则有冃ch|证明：设点a的坐标为（观丿°）,点d坐标为（兀1，必），则有ax + py = 1,过点d的切线方程为：axxx- pyxy = 由引理1可知过点a的两切线方程为：（ax。* + 0y°y 一 i）2 = （ar； + 0忧 一 l）（a? +j；2-l）切点弦ef的方程为6rx0x + py.y = 1由图像可知直线do方程为尹=邑兀联立可得

33、点g坐标（亠，亠）qxox|+0x）y &兀西+0几北可得直线ag方程y =。卅西+0兀0几尹】一兀1x。/ 一西刃）gx話+0忑几必一西联立可得交点h的横坐标t二处話+ 0%几卩+ 0x几必一 0瓦拜一西2cx/3xqxy()y + ex xqx +0兀兀1设点b、c的横坐标为勺、xc , b、c的屮点横坐标为x中, 联立可得关于x的一元二次方程： -(2a2/3x()xly()yl + 农兀：彳 + apryy 一 a0y： 一 a2xf )x2 + 2(妙兀几戸 一 apxqy + a/3xxyqy + g乂州 一 axx +妙灯;+ 0乂 j彳-20坯必 - ax + 1 = 0由韦达定理可得勺+艺2(ax話+0兀。几必+0禹几必一0%昇一 "j2.(x/3xxxyyx +cx xox, +0 y()yi 1兀b +兀？二西+0%几” +0西