高考数学考点30、空间向量及其运算

1、温馨提示:高考题库为word版，请按住ct"，滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点30】空间向量及其运算2009年高考题 1> (2009江西高考)如图，正四面体abcd的顶点a, b , c分别在两两垂直的三条射线ox , oy , o乙 上，则在下列命题中，错误的为() a. o-abc是正三棱锥b. 直线平面acdc.直线ad与ob所成的角是45°d.二面角 d-ob-a 为45°【解析】选b.将原图补为正方体不难得出b为错误，故选b.2、(2009安徽高考)在空间直角坐标系中，已知点a (1, 0, 2) , b

2、(l, -3, 1),点m在y轴上，且m到a与到b的距离相等，则m的坐标是。解析设 m (0, y, 0)由 f + y2 + 4 = 1 + (-3 y)2 +1 可得 y = 1 故 m (0,1,0)答案:(0,-1, 0)3、(2009北京高考)如图，四棱锥p-abcd的底面是正方形,pd丄底面abcd,点e在棱pb±(i )求证：平面aec丄平面pdb；(ii)当pd = y/2ab且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小.【解析】如图，以d为原点建立空间直角坐标系d-xyz ,设ab = ci,pd = h,则 a（q,0,0）,b（a,d,0）,c（0,q,

3、0）,z）（0,0,0）,p（0,0,/7）,（i ） 丁 ac 二（一d,g,o）,z）p = （o,o,/z）,£）b = （d,d,o）, acdp = q,acdb = o,ac丄dp, ac丄db,ac丄平面pdb,平面aec丄平pdb .当pd =忑ab且e为pb的中点时，p(0,0,辰),efl 1 v2 /设 acabd=o,连接 oe,由(i )知ac丄平面pdb于0,zaeo为ae与平面pdb所的角,1 cl21 v2a.a2 2,eo = cos zaeo =eaeo v2zaoe = 45°,即ae与平面pdb所成的角的大小为45°4、(2

4、009全国ii)如图，直三棱柱abc-aibjci中，ab丄ac,d、e分别为aa】、b】c的中点,de丄平面bibcci(i )证明：ab=ac(ii )设二面角a-bd-c为60。,求bic与平面bcd所成的角的大小 【解析】(i )以a为坐标原点，射线ab为x轴的正半轴，建立如 图所示的直角坐标系axyzo设 b (1, 0, 0), c (0, b, 0), d (0, 0, c),则冋(1, 0, 2c),1 bf bfe (-, c) 于是 de=0), bc= (-1, b,0)2 2 2 2> 由de丄平面bcc|知de丄bc, de bcf,求得b=l,所以ab=aco

5、(n )设平面bcd的法向量赢 = (x,”z),则赢 bc = anbd = o. 又品=(-1, 1, 0),-(x + y = 0bd= (-1, 0, c)，故-x + cz = o t|令 x=l,则 y=l, z=, an =1,).又平面abd的法向量ac= (0, 1, 0)由二面角 a bd c 为 60° 知，< acan=60°，故 ac>a7v = | ac|*| av| -cos60°于是 an = (1,1,v2) , cb=( 1,v2),所以与平面bcd所成的角为30。5、(2009江西高考)如图，在四棱锥p-a3cd中

6、，底面a bcd是矩形，p4丄平面abcd f pa = ad = 4 ,dab = 2以bd的中点o为球心、bd为直径的球面交pd于点m(1) 求证：平面丄平面pcd；(2) 求直线pc与平面abm所成的角；(3) 求点o到平面的距离.【解析】方法一：(1)依题设，m在以b d为直径的球面上，则bm丄p d.因为pa丄平面a b c d,则pa丄a b ,又a b丄ad,所以a b丄平面pad,则ab丄p d,因此有pd丄平面a bm,所以平面a bm丄平面pcd.(2 )设平面abm与p c交于点n,因为a b / c d ,所以ab"平面 pcd,则 ab / mn / cd,

7、由(1)知，pd丄平面a bm,则mn是pn在平面abm上的射影,所以 zpnm就是pc与平面abm所成的角，j 2x = 0 2y+ 2z = 0所求角的大小为arcsin2v2t2v2 "t"且 zpnm = "cd tan zpnm = tan zpcd = = 22dc所求角为arc tan 2 >/2(3)因为0是bd的中点，则0点到平面abm的距离等于d点到平面abm距离的一半，由(1)知，p d 丄平面abm于m,则|dm|就是d点到平面abm距离.因为在rt apad中，pa = ap = 4 , pd丄am ,所以m为pd中点，dm = 2

8、2 ,则0点到平面abm的距离等于血。方法二:(1) 同方法一；(2) 如图所示，建立空间直角坐标系，则 a(0,0,0), p(0,0,4), 5(2,0,0),c(2,4,0), d(0,4,0),m(0,2,2),设平面abm的一个法向量z? = (x,y,z)，由丄ab,n丄am可得:即n = (0丄一 1) 设所求角为a，贝'j sin a =(3)设所求距离为/?,由 o (1,2,0), ao = (1,2,0),得:6、( 2009 r东高考)如图6,已知正方体abcd-ac.d,的 棱长为2,点e是正方形bccq的中心，点f、g分别是棱cqma的中点.设点分别是点e,

9、 g在平面dccq内 的正投影.(1)求以e为顶点，以四边形fgae在平面dccq内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2) 证明：直线fg|丄平面fee、；(3) 求异面直线eq】与e4所成角的正弦值.【解析】(1)依题作点e、g在平面qccq内的正投影乙、g则厶、g|分别为ccr 的中点, 连结eq、eg、ed、de、,则所求为四棱锥e-de.fg |的体积，其底面defg、面积为s defg s r应 fg + s rgg'ei = x x + xlx2 = 2,又 ee、丄面 de、fg, ee = 1 ,° ve_dexfg = sde、fgee、= § (

10、2)以d为坐标原点，da. dc、d0所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得耳(0,2,1)、g, (0,0,1), 又 g(2,0,l), f(0,1,2), e(l,2,l),则 fg = (0-1-1), fe = (1,1-1), fex = (0,1-1), 亦丘=0 + (1) + 1 = 0,亦陌=0 + (1) + 1 = 0,即 fg丄 fe , fg丄 fe、, 又fe、cfe = f ,fg】丄平面fee】.(3) eg = (0-2,0), ea = (1-2-1),则 cos v eq,ea >=eg eaegl ea所成角为&,则sin& =7、(

11、2009浙江高考)如图，平面p4c丄平面abc f aabc是以ac为斜边的等腰直角三角形，疋,尸,0分别为只4,pb, ac 的中点，ac = 16, pa = pc = 10.(i)设g是oc的中点，证明：fg/平面boe；(ii)证明：在aabo内存在一点m,使fm丄平面boe,并求点m到。4, ob的距离.【解析】(i)如图，连结0p,以0为坐标原点，分别以ob、0c、0p所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空 间直角坐标系0 尤)迄，则 o(0,0,0)/(0,-8,0),b(8,0,0),c(0,&0), p(0,0,6),e(0,-4,3), f(4,0,3)，由题意得，g(

12、0,4,0),因 亦=(8,0,0),旋 =(0,4,3),因 此平面boe的法向量为a z7 = (0,3,4), 而=(一4,4,一3 )得二而=0,又直线 fg 不在平jl面boe内，因此有fgh平面boe/(ii)设点 m 的坐标为(x0, yo?o),则 fm =(x0 -4,y0,-3),因为一9(9 fm丄平面boe,所以fm /n ,因此有x0 = 4,yq = ,即点m的坐标为4,，0 ,在平面直角坐 4i4 丿x > 0标系xoy中，aob的内部区域满足不等式组y < 0,经检验，点m的坐标满足上述不等式组，所以x-y<s在aabo内存在一点m,使fm丄平

13、面boe ,由点m的坐标得点m到0a , 0b的距离为4,?.48、(2009山东高考)如图，在直四棱柱abcdab】c 底面 abcd 为等腰梯形，ab/cd, ab=4, bc=cd=2,e、f分别是棱ad、aa】、ab的中点。(1) 证明：直线ee/平面fc。；(2) 求二面角bfcc的余弦值。【解析】(1)因为ab=4, bc=cd=2, f是棱ab的中点，所以bf=bc=cf, abcf为正三角形，因为abcd为等腰梯形，所以zba0=zabc=60o，取af的中点m, 连接dm,则dm丄ab,所以dm丄cd,以dm为x轴,dc为y轴,ddi为z轴建立空间直角坐标系，c1（0,2,2

14、）,e（t，-,0）,e,a/3,-1,1）,所以 e瓦=（¥，*1）, cf=（v3,-i,o）, cq=（0,0,2）rq=（-v3丄2）设平面 cgf的法向量为n = (x,y,z)则h = （1,73,0）,则则 d (0,0, 0) ,a ( 73,-1, 0) ,f ( v3,l,0) ,c (0,2, 0),h-ee=x 1-1x73 +1x0 = 0,-以方丄e瓦，所以直线 ee|/平面 fcc,.2 2(2)而= (0,2,0),设平面bfg的法向量为斤=(州，)1心)，则。所以; ，-° fc = 0vs%, + 必 + 2z = 0取nx = （2,0

15、,/3），则 /? /tj =2x1 v3 xo + ox v3 = 2,币|= j1 + (w = 2, |斤|= j2?+0 + (jj)r =所以 c0s/2,q= _hll«i=j，由图可知二面角b-fc. -c为锐角，所以二面角b-fc. -c的余弦值72xv7 72008年高考题1、（2008全国i）已知三棱柱abc-b.c.的侧棱与底面边长都相等，人在底面abc内的射影为aabc的中心，则a冋与底面abc所成角的正弦值等于（）d.b£【解析】选b.本题主要考查了利用回避法（即回避作角，利用直接法求点到平面的距离，求出直线与平面 的夹角）同时还考查了三余弦公式。

16、 d=一（扌x =半, 再由coszi4）ab = cos30°coszaao （ o为点£在底面内的射影）,v6cos 0 ab =当 x 申=占，. 0 ab=60° /. zabb, = 120°, ab、=品,:.sin & = a =迄232丁3 3f） p2、（2008江苏高考）记动点p是棱长为1的正方体abcd-b,cd的对角线bd、上一点,记右匕=2当乙4pc为钝角时，求2的取值范围.【解析】由题设可知，以丽、dc. 西为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系d - xyz ,则有 4(1,0,0), 5(1,1,0), c(

17、0丄 0), £>(0,0,1)由5 = (1,1,-1),得万了 =兄万帀=(入入2),所以pa = pd+7a = (-2,-a, 2) + (1,0,-1) = (1-2,-2,/t-1)pc = pd+dc = (-2,-2,2) + (0,1,-1) = (-2,1-a, 2-1)显然zapc不是平角，所以zapc为钝角等价于cos zapc = cos <pa,pc>= pa pc<0,则等价于papc<0即(1 - a)(-2) 4- (-2)(1 - 2) + (2 -1)2 = (a - 1)(3a -1) < 0 , # | &

18、lt; 2 < 1 因此，几的取值范围是(g,l)3、(2008海南、宁夏高考)如图，已知点p在正方体abcd a'b'cq的对角线bd'上,zpda = 60° .(i)求dp与cc，所成角的大小;(ii)求dp与平面aa'd'd所成角的大小.【解析】如图，以d为原点，04为单位长建立空间直角坐标系d-xyz. 则 da = (1,0,0), cc = (0,0,1) 连结 bd, bd 在平面bbdd中，延长dp交bd于h设 dh =(7/?, 777, l)(/w > 0),由已知 < dhda >= 60，由 d

19、a dh = da dh cos < da.dh > ,可得 2tn = j2rn2 4-1 解得 m =,所以而= (#,#,1).卑><0 +芈 xo+lxl n-(i )因为 cos<dh,cc>=斗=乎,1x722所以< dh,cc>= 45°即dp与cc所成的角为45° (n )平面aafdfd的一个法向量是dc = (0,1,0). 卑 xo + xl + lxo 因为 cos v dhdc >= 2斗=£ , 所以 < dhdc >= 60".lxv22可得dp与平面aard

20、rd所成的角为304、(2008浙江高考)如图，矩形abcd和梯形befc所在平面互相垂直，be/cf, zbcf=zcef=90°,ad=v3 ,ef=2o(i )求证：ae平面dcf；(ii)当ab的长为何值时，二面角a-ef-c的大小为60° ?【解析】如图，以点c为坐标原点，以cb, cf和cd分别作为x轴，y轴和z轴， 建立空间直角坐标系c -设 ab = cb be = b, cf = c ,则 c(0,0,0), a(v3,0, a), b(vj,o,o), £(3, b,0), f(0, c,0)(i)证明：ae = (0, b, a), cb =

21、 (v3,0,0), be = (0, b, 0),所以岳疋=0, cb be = 0,从而cb丄ae , cb丄be ,所以cb丄平面abe.因为cb丄平面dcf ,所以平面abe 平面dcf故ae/平面dcf(h)因为 ef = (-v3, c_b, 0), ce = (>/3, b, 0),所以丽压=0, |丽|=2,从而(-3 + b(c-b) = 0fj3 + (c-b)2 =2,解得b = 3, c = 4 所以 e(v3,3,0), f(0,4,0).设 = (1, y, z)与平面aef垂直，则 n ae - 0 , n ef - 0 , 解得n = (,也，巫).a又因

22、为ba丄平面befc , ba = (0,0, a),上乙 i777.| ba n |1所以 cos < n,ba > =,ban a j 4+27 29得到6z = -29所以当ab为一时，二面角a-ef-c的大小为6025、(2008辽宁高考)如图，在棱长为1的正方体abcd-a,b,ctd,中，ap=bq=b (ovbvl),截面 pqef/ ard ,截面 pqgh/ adf (i )证明：平面pqef和平面pqgh互相垂直；(h )证明：截面pqef和截面pqgh面积之和是定值，并求出这个值；(皿)若de与平面pqef所成的角为45°,求de与平面pqgh所成角

23、的正弦值.【解析】以为原点，射线da、dc, dd分别为x, y, z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系d_ xyz由已知得df = l b,故a(1,o,o), a'(1,o,1), d(0,0,0), "(0,0,1),p(l,0, b), 2(1,1, b), e(l-m,0),f(1方,0,0), g(b,l,l), h(b,0,l)(i )在所建立的坐标系中，可得pq = (0,1,0),丽=(b,0, b),ph =(b-1,0,1-/?),adf = (-1,0,l),7© = (-1,0, 1)因为adfpq = 0adf'pf = 0,所以

24、丽是平面的法向量.因为才万= 才万丽 =0,所以丽 是平面的法向量.因为adf afd = 0,所以at)丄ad所以平面 代删和平面p仇防互相垂直.(u)因为ef = (0,-l,0),所以丽 pqef = pq,又而丄p0,所以pqef为矩形,同理pqgh 为矩形.在所建立的坐标系中可求得|ph| = v2(l-/7), pf = y/2h,所以ph + pf = >j2 ,又pq = i,所以截面h财和截面p仇面积之和为v2 ,是定值.(m)由已知得万e与莎成45°角，又d7 = (1 - ba, - 1),xf = (-1,0,1)可得dre adf|£>

25、,epd/|b_2_v|冋 q_b$+22/ 2"=,解得b丄j(l-br+22所以57e = q,1,-1 ,又刁万=（一1,0,-1）,所以de与平面所成角的正弦值为 | cos < we,ad >1王1=返.¥ 62007年高考题1、（2007湖北高考）如图，在三棱锥v-abc中，7c丄底面abc,ac±bcf。是的中点，（兀、且ac=bc=a, zvdco o<0< oi2丿（i ）求证：平面以b丄平面vcd ；（ii）当角变化时，求直线bc与平面以所成的角的取值范围;【解析】方法一：（i ）以c4, cb, cu所在的直线分别为x

26、轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 c(0,0,0), a(d,o,o), b(0, d,o),(、(jd -,-,0 , v 0,0,a tan 0 (2 2 丿 2于是、vd = , 一，ci tan 02 2 27cd =a a<22,0ab = (一a，qq) * (d d 1 0 1 0 从而 ab<d = (-a, a,0) -,-,0 =tz2+-«2+0 = 0, 2 丿2 2即ab丄cd 同理= (-a,atand =-t/2+-z2+0 = 0 ,2 2 2 2 27即ab丄w)又cdqvd = d, :.ab丄平面vcd又ab a平面v

27、ab平面mb丄平面vcd.(ii )设直线bc与平面vab所成的角为0,平面vab的一个法向量为n = (x, y, z),则由 n*ab = 0, n*vd = 0.-ax + ay = 0,得*av2x + yaz tan& = 0.22-2可取 m = (1,1,血 co”)，又茕= (0, - g,0),于是sin© =irbc_ nblfic/卫zdj2 + 2cot 02 v20<sin<-.7tt0<< , ovsin/vl,2又0®誇ov0<?即直线bc与平面vab所成角的取值范围为（0,- 4丿方法二：以ca, cb,

28、 cv所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 c(0,0,0), a(6z,o,o), b(0, d,o), d -,-,0(2 2 a a.(i ) cv = (0,0, tcd = -,-,0 ,ab = (-a, a,0), <2 2丿ab*cv = (a, a,0)(0,0, f) = 0 + 04-0 = 0,即4b丄cv (x22 ab-cd = (-a, g,0) -,-,0 =- + + 0 = 0,(2 2 丿 2 2即丄cd 又cvncr> = c, a ab 丄平面ucd.又abu平面vab,.平面vab丄平面vcd(ii )设直线b

29、c与平面m4b所成的角为0,设w = (x, y, z)是平面的一个非零法向量，wab = (x, y, z)(d, a,0) = -ax + ay = 0, 则-a , <x = y = r.mav =(x, y, z)(-q,0, /) = -ax + rz = 0,可取 n = (r, r, a),又 cb = (0, d,0),于是sin% =fvcbn-cbtat r g (0, + 8)，sin © 关于 f 递增./ 0 v sin ° v1tf(-兀'i 4丿c71 7u又 0 v / v cp w 09 2( 兀)即直线bc与平面vab所成角

30、的取值范围为0,- 4丿2、(2007海南宁夏高考)如图，在三棱锥s-abc中，侧面sab与侧面sac均为等边三角形,zfiac = 90°, o 为 bc 中点.(i )证明：so丄平面abc；(ii)求二面角a-sc-b的余弦值.【解析】(i )由 ab=ac=sb=sc 二 sa,连结 oa ,a心等腰直角三角形，所以且ao丄bc ,又asbc为等腰三角形，故so丄bc , 且so = sa,从而oa2-so2=sa2.2所以soa为直角三角形，so丄ao. 又 aocbo = 0.所以so丄平面abc(ii)以0为坐标原点，射线03, 04, 0s分别为兀轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系0 xyz设(1,0,0),则c(-1,0,0), a(0,l,0), 5(0,0,1).sc 的中点-,0,-l 2 2丿,sc = (_1,o,_1) mosc = 0,masc = 0.故mo丄sc, ma 15c, <m0,ma >等于二面角a-sc-b的平面角.cos <mo,mamoma>=7moma所以二面角a-sc-b的余弦值为3、(2007山东高考)如图，在直四棱柱abcd-ac.d,中,已知 dc