数学概念自主学习的探索双曲线的定义与标准方程的教学实录-最新教育文档

1、数学概念自主学习的探索双曲线的定义与标准方程的教学实录国际上杰出的未来学家阿尔温?托夫勒曾经有一句名言：“未来的文盲不再是目不识丁的人，而是没有学会如何学习的人. ”培养学生的自主学习能力，让学生终身受益，已成为当务之急 .本文就双曲线的定义与标准方程谈如何对数学概念进行自主学习 .一、以旧带新，启迪思维（ 2 分钟）复习：（ 1）椭圆的定义是什么？定义中哪些字非常关键？（2）椭圆的标准方程是什么？ a， b， c 是何种关系？（3）如何判断焦点位置？设计意图：双曲线与椭圆有着密切的联系.为了学生更好地学习双曲线的定义与方程，先复习椭圆定义及其与定义密切相关的参数变化，既检测了学生对前面相关知

2、识的掌握情况，同时又为双曲线概念的学习打下良好的基础 .二、设障立疑，激发动机（ 1 分钟）提出问题：平面内与两个定点 F1， F2 的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？教师动画演示.设计意图：单刀直入，开门见山提出问题，激发学生的学习兴趣，同时教给学生 “由此及彼 ”发现问题的一种方法.三、阅读思疑，得窥门径（ 14 分钟）1 . 布置任务：双曲线及其标准方程.2 .阅读教材：P52 55的教材 探究”之前.3 .阅读时间：14 分钟.4 .思考问题：xx 打出问题 .（一）关于双曲线的定义1 . 双曲线的定义是什么？它是怎样得来的？2 .为什么叫 “双” 曲线？为什么定义中要加绝对值？不加

3、绝对值行吗？你认为双曲线的定义中有哪些要注意的问题？3 .怎样记忆定义比较通顺？采用什么方法来记忆能保持记忆的长久和理解的深刻？设计意图：打破看懂教材，会做些题就是自主学习的旧观念.通过学习，一方面，学生要清楚所学知识的来龙去脉，弄清知识间的内在联系，明确学习的必要性；另一方面，还要熟记定义，深化对定义的理解.培养学生类比能力、辨析能力、记忆能力， ?l 现问题、分析问题的能力，以及思维的深刻性与敏捷性【自我检测】设计意图：加深学生对定义的理解，体验收获的喜悦.（二）关于双曲线的标准方程1 .怎样 “建系 ”来推导方程？为什么这样建系？怎样化简方程？你能在三分钟之内推导出双曲线的标准方程吗？2

4、 .为什么叫双曲线的标准方程？双曲线的标准方程有几种？它们有什么特点？你想怎样记忆方程？怎样比较这些类型的方程？如何根据双曲线的标准方程来判断焦点的位置？方程中的a, b, c之有何关系？3 .双曲线还有其他类型的方程吗？方程的简单与烦琐取决于谁？4 .如何区别椭圆和双曲线的标准方程？5 .求双曲线的标准方程有几种方法？设计意图：（ 1）通过建系的分析与思考渗透并提炼数学的对称美、和谐美、简洁美；培养学生发现问题、分析解决问题的能力以及树立求简意识 .（ 2）通过方程的推导培养学生由此及彼的合情推理，提高运算能力，丰富解题经验与技巧 .（ 3）通过对椭圆与双曲线定义与标准方程的剖析，有助于学生

5、克服椭圆学习中的思维定式，同时培养学生的辨析能力以及思维的深刻性 .【自我检测】设计意图：（ 1）强化标准方程的特点，熟悉标准方程的形式及a， b， c 间的关系，能区别椭圆和双曲线的方程.（ 2）能熟练准确求双曲线的标准方程、对于待定系数法能区别对待，感受双曲线统一的标准方程mx2+ny2=1（ mn 学生提出的问题：定义中的 “常数 ”可以为零吗？不可以，是正数.（二）关于双曲线的标准方程1 .怎样建系：取过焦点F1, F2的直线为一个坐标轴，线段F1F2的垂直平分 线为一个坐标轴 .2 .怎样化简方程：两次平方 .3 . 由于是以双曲线的对称轴为坐标轴建系，此时得到的方程最简单，所以称

6、为标准方程.说明：关于建系与方程的推导做一个微课.4 .双曲线标准方程的特点：双曲线的标准方程的结构是平方 “差”等于 1 ，而椭圆的标准方程结构是平方 “和”等于 1.标准方程有两种：它们之间的关系是x， y 互换即可.a2=c2-b2.如何根据方程判断焦点位置？先化为标准方程，然后椭圆看大小，所以双 曲线看正负 .记忆方法：口诀记忆.椭圆看大小，双曲线看正负.双曲线还有其他类型的方程，这样的方程有繁有简 .如，只以一条对称轴为坐标轴，不以对称轴为坐标轴而方程的繁简取决于坐标系的建立.（三）椭圆与双曲线的比较1 . 椭圆与双曲线的定义与标准方程的异同：椭圆的定义：“和 ” ；方程：平方“和

7、” =；1双曲线的定义： “差”；方程：平方 “差” =1.2 .两种方程中参数a, b, c之间的关系：椭圆中a2=b2+c2,双曲线中a2=c2-b2.3 .焦点位置的确定：椭圆看大小，双曲线看正负 .设计说明：由于双曲线与椭圆内容极其相似，所以在课堂上应及时进行比较以加深学生对知识的理解和 掌握 .学生提出的问题：（ 1）方程的化简有没有把范围扩大的可能？（ 2）方程的推导方法直接平方可以吗？用换元的方法行吗？这样的问题通过微课帮学生解决.（四）怎样求双曲线的标准方程1 .直接法：教材P55练习题（1）.2 .待定系数法：教材P55练习题（2）.3 .定义法：教材P55例1和教材P55练

8、习题（3）.设计意图：（1）会用定 义求双曲线的方程，培养学生思维的深刻性 .（ 2）弄清求双曲线的标准方程的基本方法：待定系数法.关键是先定形后定量.（若焦点不定，则要注意分类讨论）四、反思总结， xx（ 5 分钟）先由两名学生总结，再师生合作一起完善总结.（一）知识总结1 . 双曲线的有关概念.2 .双曲线标准方程，如何由方程判定其焦点所在坐标轴.（二）方法1.研究方法：观察、比较、概括、归纳、类比、分析 .2.学习方法：类比 .3.解题方法：（ 1）定义法（用定义解题）；（2）标准方程的求法：直接法、待定系数法、定义法 .（三）数学思维策略数形迁移、由此及彼 .（四）数学思想数形结合、等价转化 .设计意图：通过画龙点睛，提纲挈领的小结，对所学知识进行提炼升华，形成学生自己的认知结构 .同时培养了学生的抽象概括能力.通过提炼数学的基本思想方法，学生透过现象看本质，掌握了数学的精髓，提高数学素养，提升了思维