(word完整版)双曲线知识点总结及经典练习题,推荐文档

1、知识点一：双曲线定义平面内与两个定点Fi,F2的距离之差的绝对值等于常数 （小于|F1F2I）的点的 轨迹称为双曲线即:|MF1| | MF2| 2a,（2a | F1F2|）。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距 注意：1. 双曲线的定义中，常数 2a 应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质 两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的 绝对值”常数曲满足约束条件：|F耳卜瓦耳 - ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若=严。），贝劇点轨迹仅表示双曲线中靠焦点Fi的一支；3若常数a满足约束条件：|珂-碑卜加=|肚则动点轨迹是以 Fi、F2为

2、端点的两条射线（包括端点）；若常数a满足约束条件：|尸片1卜码| =加：|耳场|，则动点轨迹不存在；5若常数 a 0,则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程1 当焦点在上轴上时，双曲线的标准方程：.；-r ，其中 /二 F 十沪.2 12 当焦点在匸轴上时，双曲线的标准方程其中 ra沖+护注意：1.只有当双曲线的中心为坐标原点， 对称轴为坐标轴建立直角坐标系时 才能得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有 +-；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当/的系数为 正时，焦点在工轴上，双曲线的焦点坐标为1-，;当的系数为正时，焦点在，

3、轴上，双曲线的焦点坐标为1 .知识点三：双曲线性质1、双曲线, 下（a 0，b 0）的简单几何性质圆锥曲线（三）双曲线（1）对称性：对于双曲线标准方程匚-（a0，b0），把 x 换成一 x，或把 y 换成一y，或把 x、y 同时换成一 X、一 y，方程都不变，所以双曲线一：-（a0, b 0）是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心 的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2） 范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=a和 x=a 的两侧，是无限 延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 x0, b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为 Ai（ a，

4、0），A2（a，0）,顶点是双曲线两支上的点中距离最近 的点。3两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴；设 Bi（0， b），B2（0，b）为 y轴上的两个点，则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为 |AiA2|=2a,|BiB2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。注 意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的 短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：2匸住双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e 表示，记作:，_-a越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示

5、双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率一 。（4）渐近线：经过点 A2、Ai作 y 轴的平行线 x=a，经过点 Bi、B2作 x 轴的平 行线y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方_ +右程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线。双曲线的渐近线求法：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程 2 2为J .-，则其渐近线方程为_/注意：（i）已知双曲线方程，将双曲线方程中的 常数”换成“0”然后 因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为7-,则可设双曲线方程为 m 兀亠-，根据已知条件，求出！即可。因为 ca0,所以双曲线的

6、离心率- 7 o由 c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也J、工工 尹-1(3)与双曲线 J . -有公共渐近线的双曲线方程可设为C -，焦点在工轴上，)，焦点在 y 轴上)(4) 等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y= x，因此等轴双曲线可设为才三丸(兄壬0D.注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。X22-.2工知识点四：双曲线.与的区别和联系(2(3 焦点的位置焦点在X轴上焦点在 y 轴上图形丫岸M-j4?标准方程x2y2-21 a 0, b 0a b2 2yx_221 a 0, b 0ab范围x a 或 x a，y Ry a 或 y a，

7、 x R顶点ia,0、2a,010, a、20,a轴长虚轴的长 2b实轴的长 2a焦占八、八、Fic,0、F2c,0F10, c、F20,c焦距FiF2I2c c2a2b2对称性关于x轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率cLb21e Ji2 e1aYa渐近线方程by_xaay_xb2、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. 巩固练习1、已知点 P(x,y)的坐标满足V1：rV/斗，则动点 P 的轨迹是（）A 椭圆 B 双曲线中的一支 C 两条射线 D 以上都不对22、求与双曲线162y1有公共焦点，且过点 y 乙的双曲线的标准方程。43 .已知双曲线的两个焦点 Fi、F2之间的距离为 26,

8、双曲线上一点到两焦点的距 离之差的绝对值为 24,求双曲线的标准方程。总结升华：求双曲线的标准方程就是求 a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐 标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y2的分母的大小，而是看 x2、 y2的系数的正负。22- - 二14.方程.： - | :表示双曲线，求实数 m 的取值范围。1 T二；(2); (3) 【变式 1】k 9 是方程 1上-4 表示双曲线的（）A .充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【变式 2】求双曲线”【变式 3】已知双曲线 8& kf=2 的一个焦点为，则 k 的值等于（）C. 1y-

9、【变式 4】（2011 湖南）设双曲线:的渐近线方程为：-， 则；的值为A. 4B . 3C. 2D . 15.已知双曲线方程，求渐近线方程。2222J2工y1xy-天 y r 肿=1= -1- -1446 根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线 二有共同的渐近线，且过点 ；（ 2） 一渐近线方程为 宀宀：，且双曲线过点总结升华：求双曲线的方程，关键是求二、卜，在解题过程中应熟悉各元素（匸虫及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程 z1，可设双曲线方程为ir：;： （，）. 兰上“A .二二B -【答案】AV = 士一X【变式 3】以 一为渐近线的双曲线方程不可能是（A. 4x2 9y2=1B. 9y24x2=1C. 4x2 9y2=入（众 R 且入鬥） D . 9x2 4y2=入（疋 R 且入鬥） 4-4=i号-奠丸宀 0）【变式 4】双曲线一丄 与/有相同的（）A.实轴 B .焦点 C.渐近线 D .以上都不对J?F4_召二 1（口沁卞7.已知是双曲线 J 的左、右焦点，过-且垂直于T轴的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，若是正三角形,求双曲线的离心率。【变式 1】中心在原点，一个焦点在（0,3），条渐近线为是（）工Qi