直线的方向向量与平面的法向量

1、直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图 3 211如图 3 21，直线 l m，在直线l 上取两点A、 B，在直线 m 上取两点C、 D，向量AB 与CD 有怎样的关系？【提示】AB CD.2 如图直线l 平面 ，直线 l m，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面 有怎样的关系？【提示】n .直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个直线 l ，取直线l 的方向向量a，则向量a 叫做平面的法向量 .空间中平行关系的向量表示设两条不重合的直线l ，m 的方向向量分别为a (a1， b1， c1)，b (a2，b2，c2)，线线平行则 l m? a b?

2、(a1， b1， c1) k(a2， b2， c2)设 l 的方向向量为 a (a1，b1，c1)，的法向量为 u (a2，b2，c2)，则 l ? a·u线面平行 0? a1a2 b1b2 c1c2 0设 ，的法向量分别为 u (a1，b1，c1)，v (a2，b2，c2)，则 ? u v ? (a1，面面平行b1 ， c1) k(a2， b2， c2)精选文库求平面的法向量图 3 22已知 ABCD 是直角梯形，ABC 90°，SA平面ABCD ， SA AB BC 1，AD 12，试建立适当的坐标系(1)求平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量(2)求平面 SC

3、D 的一个法向量【自主解答】以点 A 为原点， AD、 AB、AS 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴，建1立如图所示的坐标系，则A(0,0,0) ， B(0,1,0) ， C(1,1,0) ， D( ， 0,0)， S(0,0,1) (1) SA平面 ABCD ， AS (0,0,1) 是平面 ABCD 的一个法向量 AD AB， AD SA， AD 平面 SAB， 1 AD ( ， 0,0)是平面 SAB 的一个法向量21(2)在平面 SCD 中， DC (，1,0)， SC (1,1， 1)2设平面 SCD 的法向量是n (x，y， z)，则 nDC ， nSC.1x y 0x

4、2y所以n ·DC 02得方程组x y z 0.z y，n ·SC 0，令 y 1 得 x 2， z 1， n (2， 1,1)1 若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量-2精选文库2一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n (x， y，z)(2)找出 (求出 )平面内的两个不共线的向量a (a1， b1， c1)， b (a2， b2， c2)(3)根据法向量的定义建立关于x， y， z 的方程组n ·a0，n ·b0.(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量n·a 0，

5、3在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给x，n·b 0y，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量正方体 ABCD A1B1C1D 1 中， E、F 分别为棱 A1D 1、A1B1 的中点，在如图32 3 所示的空间直角坐标系中，求：图 3 23(1)平面 BDD 1B1 的一个法向量(2)平面 BDEF 的一个法向量【解】设正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为2，则 D (0,0,0) ，B(2,2,0) ，A(2,0,0) ，C(0,2,0) ，E(1,0,2)(1)连 AC，因为 AC

6、平面 BDD 1B1，所以 AC ( 2,2,0)为平面 BDD 1B1 的一个法向量(2)DB (2,2,0) ， DE (1,0,2) 设平面 BDEF 的一个法向量为n (x， y， z)-3精选文库2x 2y 0y xn ·DB 01x 2z 0，z 2x.n ·DE 0，令 x 2 得 y 2， z 1. n (2， 2,1)即为平面 BDEF 的一个法向量.长方体 ABCD A1 B1C1D1 中， E、F 分别是面对角线B1D1，A1B 上的点， 且 D 1E 2EB1，BF 2FA1.求证： EF AC1.【自主解答】如图所示，分别以DA ，DC， DD 1

7、 所在的直线为x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，设DA a， DC b， DD 1 c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)， C1(0， b，22b2c)， E(a， b， c)， F(a， ， c)3333 a b c FE ( 3， 3， 3)， AC1 ( a， b，c)， 1 FE 3AC1.又 FE 与 AC1 不共线，直线 EF AC1.利用向量法证明线线平行的方法与步骤：-4精选文库图 3 24如图 3 2 4 所示，在正方体ABCD A1 B1C1D 1 中，E、F 分别为 DD 1 和 BB1 的中点求证：四边形AEC1F 是平行四边形【证明】 以点 D 为坐标

8、原点， 分别以 DA，DC ，DD 1为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为111，则 A(1,0,0) ， E(0,0， )， C1(0,1,1) ， F(1,1， )，221111 AE (1,0，)，FC1 ( 1，0，)，EC1 (0,1， )，AF (0,1，)， AE FC1，EC12222AF ， ， AE FC1， EC1 AF又 F?AE， F?EC1， AE FC1， EC1 AF，四边形 AEC 1F 是平行四边形 .利用空间向量证明线面平行图 3 25如图 3 25，在正三棱柱ABC A1B1C1 中，D 是 AC 的中点，求证： AB1平面 DBC 1.-

9、5精选文库【自主解答】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为a(a>0) ，侧棱长为b(b>0) ，则 A(0,0,0)， B(3 a， 0)， B1 3a， b)， C1a， 0)，2 a， 2( 2 a， 2(0， a，b)， D (0，23AB (a， b)， BD ( 3，1a，2a,0,0)22aDC1 (0， ， b)2设平面 DBC 1 的一个法向量为n (x，y， z) ，3ax 0，x 0，n·BD则2az a y.n·DC1 y 0，2b2不妨令 y 2b，则 n (0,2b， a)由于 AB1·n abab 0

10、，因此 AB1 n .又 AB1?平面 DBC1， AB1平面 DBC 1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一： 证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示方法二： 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证方法三： 先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直在长方体ABCD A1 B1C1D 1 中，AA12AB 2BC，E，F，E1 分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证： CE 平面 C1E1F .-6精选文库【证明】以 D 为原点，以DA，DC ，DD 1 所在的直线分

11、别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图1设 BC 1，则 C(0,1,0) ，E(1,0,1) ， C1(0,1,2) ， F(1,1,1) ， E1(1，2， 2)设平面 C1E1F 的法向量为n (x， y， z)，1 C1 E1 (1，2， 0)，FC 1 ( 1,0,1)，n ·C1 E1 0，n ·FC 1 0，1即 x2y，取 n (1,2,1) x z， CE (1，1,1)， n·CE 1 2 1 0， CE n ，且 CE?平面 C1E1F . CE平面 CEF.11-7精选文库向量法证明空间平行关系图 3 26(12 分 )如图 3 2

12、6，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， EF AB， EF FB， AB 2EF， BFC 90°， BF FC ，H 为 BC 的中点求证： FH 平面 EDB .【思路点拨】先通过推理证明FH 平面 ABCD ，建立空间直角坐标系，再设证明 HF 、BE、 BD共面-8精选文库【规范解答】四边形 ABCD 是正方形， AB BC，又 EF AB， EF BC.又 EF FB， EF平面 BFC . EF FH ， AB FH .2 分又 BF FC， H 为 BC 的中点， FH BC. FH 平面 ABC.4 分以 H 为坐标原点， HB 为 x 轴正方向

13、， HF 为 z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系设 BH1，则 B(1,0,0)， D ( 1， 2,0)， E(0， 1,1)， F(0,0,1).6 分 ( 1， HF (0,0,1) ，BE1,1)，BD ( 2， 2，0)，设 HF ·BE ·BD ·( 1， 1,1) ( 2， 2,0) ( 2， 2， )8 分 (0,0,1) ( 2， 2， )， 2 0 1，解得1， 12HFBE1BD10 分2 向量 HF ， BE， BD 共面又 HF 不在平面 EDB 内， HF 平面 EDB .12 分-9精选文库【思维启迪】1.建立空间直角坐标系，通

14、常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件2证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全1 利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1) 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等 )；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题2证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明-10精选文库1若 A( 1,0,1) ， B(1,4,7) 在直线 l 上，则直线l 的一个方向向量为(

15、)A (1,2,3)B (1,3,2)C(2,1,3)D (3,2,1)【解析】 2(1,2,3)AB (2,4,6)【答案】A2下列各组向量中不平行的是()A a (1,2， 2)， b ( 2， 4,4)Bc (1,0,0) ， d ( 3,0,0)Ce (2,3,0) ， f (0,0,0)D g ( 2,3,5) ，h (16,24,40)【解析】 b ( 2， 4,4) 2(1,2， 2) 2a， a b，同理： c d，e f.【答案】D3设平面内两向量a (1,2,1) ， b ( 1,1,2) ，则下列向量中是平面的法向量的是()A ( 1， 2,5)B ( 1,1， 1)C(

16、1,1,1)D (1， 1， 1)【解析】平面 的法向量应当与a、b 都垂直，可以检验知B 选项适合【答案】B4根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线 l1，l 2 的方向向量分别是a(1， 3， 1)， b (8,2,2) ；(2)平面 ， 的法向量分别是u (1,3,0)， v ( 3， 9， 0)；(3)直线 l 的方向向量，平面的法向量分别是a(1， 4， 3)， u (2,0,3) 【解】(1) a·b 1× 8 ( 3)× 2 ( 1)× 20， l 1 l2 .(2) v ( 3， 9,0) 3(

17、1,3,0) 3， .(3) a、 u 不共线， l 不与 平行，也不在内又 a·u 7 0， l 与 不垂直故 l 与 斜交 .-11精选文库一、选择题1 (2013 吉·林高二检测 ) l1的方向向量为 v1 (1,2,3) ， l 2 的方向向量v 2 (， 4,6)，若 l1l 2，则 ()A 1B 2C 3D 4【解析】 l1 21212， 2. l， v v，则 4【答案】B2(2013 ·岛高二检测青 )若 AB CD CE，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是()A 相交B平行C在平面内D 平行或在平面内【解析】 AB CD CE， AB、C

18、D、 CE共面，则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内【答案】D3已知平面内有一个点A(2， 1,2)，的一个法向量为n (3,1,2) ，则下列点P 中，在平面 内的是 ()3A (1， 1,1)B (1,3， 2)33C(1， 3， 2)D( 1,3， 2)【解析】对于1,4，1B， AP ()，2(· 1,4，1) 0，则 n ·AP (3,1,2)23)在平面 内 nAP ，则点P(1,3，2【答案】B4已知 A(1,1,0) ， B(1,0,1) ， C(0,1,1)，则平面ABC 的一个法向量的单位向量是()A (1,1,1)3，3， 3B( 33

19、3 )111C( 3， 3， 3)-12精选文库333D(3，3，3 )【解析】设平面 ABC 的法向量为n (x，y，z)，AB (0， 1,1)，BC ( 1,1,0)，ACAB·n y z 0( 1,0,1) ，则 x y z，BC·n x y 0AC·n x z 0又单位向量的模为1，故只有 B 正确【答案】B图 3 275如图 3 2 7，在平行六面体ABCD A1B1C1D 1 中，点 M，P，Q 分别为棱AB，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则() A1M D1P； A1M B1Q； A1M平面 DCC 1D1； A1M平面 D1P

20、QB1.以上正确说法的个数为()A 1B 2C 3D 411【解析】A1M A1 A AM A1A2AB，D 1P D1D DPA1A2AB， A1M D1P，所以A1111 1111.M D P，由线面平行的判定定理可知，A M面 DCC D ，A M面 DPQB正确【答案】C二、填空题16 (2013 ·安高二检测泰 )已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面 的法向量为 (1， 2，2)，且 l ，则 m _.-13精选文库【解析】 l ， l的方向向量与 的法向量垂直， (2， m,1) ·(1，112， 2) 2 m 20， m 8.2【答案】 87已知 A(

21、4,1,3) ，B(2,3,1) ，C(3,7，5)，点 P(x， 1,3)在平面 ABC 内，则 x _.【解析】，由题意知 A、B、AB ( 2,2， 2)，AC ( 1,6，8)，AP (x 4， 2,0)C、P 共点共面， AP AB AC ( 2，2， 2) ( ，6， 8) ( 2 ，2 6，2 8)2 6 2 4而 x4 2 ， x11.2 80， 1，【答案】118下列命题中，正确的是 _ (填序号 )若 n1，n2 分别是平面 ， 的一个法向量，则n1 n2? ；若 n1，n 2 分别是平面 ， 的一个法向量，则 ? n1·n2 0；若 n 是平面 的一个法向量，a

22、 与平面 共面，则n ·a 0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【解析】一定正确，中两平面有可能重合【答案】三、解答题图 3 289已知 O、A、B、C、D、E、F、G、H 为空间的9 个点 (如图 3 2 8 所示 )，并且 OEkOA， OF kOB， OH kOD ， ACAD mAB， EG EH mEF.求证： (1)A、 B、C、 D 四点共面， E、 F、 G、 H 四点共面；(2)AC EG；-14精选文库(3)OG kOC.【解】(1)由 AC AD mAB，EG EH mEF，知 A、B、C、 D 四点共面， E、F 、G、H 四点共面 (2) EG EH mEF OH OEm(OF OE) k(ODOA ) km(OB OA) kAD kmAB k(AD mAB)kAC ， AC EG.(3)由 (2) 知 OG EG EOkAC kAO k(AC AO) kOC. OG kOC.10 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，