2019-2020学年山东省日照市高二上学期期末数学试题(解析版)

1、2019-2020 学年山东省日照市高二上学期期末数学试题一、单选题1命题 “ x R,x3 x2 1 0 ”的否定是（ ）A x R,x3x2 1 0Bx R,x3x21 0C x R,x3x2 1 0Dx R,x3x21 0【答案】 C【解析】由全称命题的否定为特称命题，再判断即可得解 .【详解】解：命题 “ x R,x3 x2 1 0 ”的否定是 “ x R,x3 x2 1 0”， 故选： C.【点睛】 本题考查了特称命题与全称命题的关系，重点考查了命题的否定，属基础题 .22 1-i i （其中 i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）iA 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【

2、答案】 B解析】先利用复数的运算可得+i2+i ，再确定在复平面内对应的点即可第 4 页 共 19 页得解 .【详解】2解： 1 i +i 2i+i 2+i ， ii则复数在复平面内对应的点为2,1 ，可得该点位于第二象限，故选： B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点所在的象限，属基础题.3“am2 bm2 ”是“a b”的（）D既不充分也不必要条件 【答案】 A【解析】由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解 .【详解】解：由 p:am2 bm2 q:a b，但 q:a b 时 p:am2 bm2不一定成立，例如当m 0 ，即“am2 bm2 ”是“a

3、b ”的充分不必要条件，故选： A.【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了充分必要条件，属基础题 .4实数 a，b满足 ab 0且a b 0，则下列结论正确的是( )A a bB a bC a2 b2D 0ab【答案】 D【解析】采用赋值法排除选项 A,B,C ，然后结合已知条件即可判断选项D 正确.【详解】解：当 a 1,b 2时，不满足 A，B 选项；当 a 2,b1时，不满足 C选项，即选项 A,B,C 错误；a b1 1又因为 a b 0,ab 0，所以 a b 0，即 1 1 0，故 D 正确， aba b故选： D.【点睛】本题考查了不等式的性质，主要考查了赋值法，属基础题 .

4、5我国古代著名的 周髀算经 中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之 一；冬至晷 gu长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸. 意思是：一年有二十四个节气，1 每相邻两个节气之间的日影长度差为 99 1分；且 “冬至”时日影长度最大，为 1350分；6“夏至”时日影长度最小，为 160分 .则“立春”时日影长度为 ( )1125A 953 分B1052 分C 1151 分D1250 分3236【答案】 B【解析】首先 “冬至”时日影长度最大，为 1350 分， “夏至”时日影长度最小，为 160分，11901即可求出 d,进而求出立春 ”时日影长度为 1052 .122【详解】1 解：一年有二

5、十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为 99 分，6 且“冬至”时日影长度最大，为 1350 分； “夏至”时日影长度最小，为 160分1350 12d 160，解得 d119012立春 ”时日影长度为： 135011901213 105212（分） 故选 B 【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识， 考查运算求解能力， 利用等差数列的性质直接求 解6如图.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，若 E为B1C1的中点，则直线 BC1与ED1所成的角的余弦值是（ ）A 3 1010B3 1010C1010D 1010答案】 D解析】先由异面直线所成角的作法作出直线BC1 与 ED1所成

6、的角，再结合余弦定理求解即可 .详解】 解：设正方体的棱长为 2，连接 AD1，则 AD1PBC1，则 AD1E为直线 BC1与ED1所成的角或补角 .在 D1EA中， D1E= 5， AE=3，D1A=2 2 ，由余弦定理，cos AD1E58910 .2 2 2 5 10 .所以直线 BC1与 ED1 所成的角的余弦值是10 ，10故选： D.点睛】本题考查了异面直线所成角的作法，重点考查了余弦定理的应用，属基础题uuuur uuur7如图在四面体 OABC中， M ， N 分别在棱 OA， BC 上且满足 OM 2MA，uuur uuur uuur uuru uuur uuurBN 2N

7、C ，点G是线段 MN的中点，用向量OA ，OB ，OC表示向量 OG应为uuurA OGuuurC OG1uuurOA31uuurOA31uuurOB61 uuurOB41uuurOC31 uuur OC4uuurB OGuuurD OG1uuurOA31uuurOA41uuurOB31uuurOB41uuurOC61uuurOC312第 6 页 共 19 页答案】解析】由题意有uuuurOMuuur uuur2MA ， BNuuur2NC ，又点 G 是线段MN 的中点，结合向量的线性运算及共线向量的运算即可得解详解】uuur2MA，解： 在四面体 OABC中， M,N分别在棱 OA、 B

8、C上，且满足 OuuMuuruuuruuur uuurBN 2NC ，点 G 是线段 MN 的中点，uuru 1 uuur OG OM21 uuru 1 2uur ON OA2 2 31uuur 2uuur1uur2 331uuur(OB BC) OA OB 3 3 61uuur1OC .3故选： A.点睛】本题考查了向量的线性运算，重点考查了利用空间基底表示向量，属基础题228已知双曲线 x2 y2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为a2 b2F1、F2，A为左顶点，M，uuuur uuuurMF1 MF20 ，则该双曲线的离心率是(B213C133D过点 A且斜率为 3 的直线与双曲线

9、的渐近线在第一象限的交点为3答案】 B解析】先由uuuurMF1uuuurMF20 ，得 F1MF2 为直角，可得OMF1F2 ，即可得M a,b ，然后利用直线斜率公式求解即可详解】bx，a22解：双曲线 x2 y2 1 a 0,b 0 的渐近线方程为 ya2 b2第 19 页 共 19 页设点 Mbm, mMF1F2 为直角三角形，且F1MF2 为直角，uuuur uuuur 因为 MF1 MF2 0 ，即所以OM1F1F222 bm 2 上， ，则 m c 上，2a解得m a ，故Ma,b ，又 Aa,0 ，所以直线 AM的斜率 k b 3 ，所以 b2 4 ，2a 3a2 3故该双曲线

10、的离心率1 a2213故选： B.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法， 重点考查了双曲线渐近线方程及直线的斜率公式， 属 中档题 .、多选题 9若复数 z满足 1 i z 3 i（其中 i 是虚数单位），则（ ）A z 的实部是 2B z 的虚部是 2iC z 1 2i【答案】 CD【解析】先由复数的除法运算可得 z 1 复数及复数模的运算即可得解 .【详解】解： z3i (3 i)(1i) 2 4i1i22即 z 的实部是1 ，虚部是 2 ，故 A 错误，2i ，再结合复数的实部、虚部的概念及共轭1 2i ，B错误，又 z 1 2i ， z 12 225 ， 故 C ，D 均正确 . 故选

11、： CD.点睛】本题考查了复数的除法运算，重点考查了共轭复数及复数模的运算，属基础题10将正方形 ABCD沿对角线 BD 对折，使得平面 ABD 平面 BCD ，则（）A AC BD B ADC 为等边三角形C AB与CD 所成角为 60°D AB与平面 BCD所成角为 60°【答案】 ABC【解析】由题意可构建棱长均为 a的正四棱锥 C ABED ，然后结合线线垂直的判断及 异面直线所成角与线面角的求法求解即可 .【详解】解：由题意可构建棱长均为 a 的正四棱锥 C ABED ，对于选项 A，显然有 BD 面AEC ,又 AC 面AEC,则AC BD ，即选项 A 正确，

12、 对于选项 B，由题意有 AD AC CD ,即 ADC为等边三角形，即选项 B 正确， 对于选项 C，因为 ABDE ,则 CDE为异面直线 AB与CD 所成角，又 EDC为等 边三角形，即 CDE 60o ，即选项 C 正确，对于选项 D，由图可知， ABD为 AB 与平面 BCD 所成角，又 ABD 45o，即 AB与平面 BCD所成角为 45o ，即选项 D 错误，本题考查了线线垂直的判断及异面直线所成角，11若 a ， b为正数，则（）重点考查了线面角，属中档题A 2ab ab ab11C 当 a b时， a b 2ab【答案】 BCD11B当2 时， a b2ab221D当ab1

13、时， ab21 a 1 b 3解析】利用基本不等式，逐一检验即可得解详解】解：对 A，因为 a+b 2 ab，所以 2abab，当 aabb时取等号， A 错误；1对 B， 12ba + a=2，当 a122b 时取等号， B正确；1 b=a1a+=bbabab1，a+b2 ab2 ，当 a1时取等号， C正确；2a1+a+ b2 11b1ba2b2b2 11b确.故选：b2 2abBCD.(ab)2当aa2 1 b1+aa2b2b2(1 a)21ba2(1 b)1ab 12 时取等号，2 即a 1ab21b1，D正3点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题12 已知到两

14、定点 M 2,0， N 2,0 距离乘积为常数 16 的动点 P 的轨迹为 C ，则A C一定经过原点B C 关于 x 轴、 y轴对称C MPN 的面积的最大值为45D C在一个面积为 64 的矩形内答案】 BCD解析】 先由已知条件求出点P 的轨迹方程， 然后结合轨迹方程及三角形的面积公式逐判断即可得解 .详解】 解：设点 P的坐标为 x,y ，由题意可得 x 2 2 y2 x 2 2 y2 16. 对于 A，将原点坐标代入方程得 2 2 4 16 ，所以， A 错误； 对于 B，点 P 关于 x轴、 y 轴的对称点分别为 P1 x, y 、 P2 x,y ， x 2 y x 2 y x 2

15、y2x 2y2 16 ， x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 16 ， 则点 P1 、 P2 都在曲线 C 上，所以，曲线 C关于 x轴、 y 轴对称， B 正确； 对于 C，设 PM a ， PN b ， MPN ，则 ab 16，22a2 b2 1622a2 b2 162ab 1612ab32322由余弦定理得cos当且仅当a b 4时等号成立，则0,3，所以sin 1 cos23，2则 MPN1的面积为 S MPN absin21 1624 3 ， C 正确；对于 D，16 x 2 2 y2x 2 2x2 4 ，可得 16 x2 4 16 ，得 x2 20 ，解得2

16、5 x 2 5，由 C 知， S MPN12 MN y4y4 3 ，得 y 2 3 ，64 的矩形内， D 正确 .曲线 C 在一个面积为 4 5 4 3 16 15故选： BCD.【点睛】本题考查了曲线轨迹方程的求法， 重点考查了三角形的面积公式及不等式的应用， 属中 档题.三、填空题13不等式 6 x 2x2 0 的解集用区间表示为 .【答案】3,22【解析】由二次不等式的解法求解即可 .【详解】3 解：原不等式可化为 2x2 x 6 0，即 2x+3 x 2 0 ，即 x 2 ，2即表达式的解集为3,2 ，23故答案为： ,2 .2【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了运算能力，

17、属基础题 .14已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱长与底面边长相等， 则直线 AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于 答案】 64解析】【详解】AB13a a 22a15设 a 0，若关于 x 的不等式 xax15在(1, +? ) 上恒成立，则a 的最小值为在正三棱柱 ABC A1B1C1中，取 A1C1 的中点 E，则连 B1E，B1E 垂直于 A1C1，所以 B1E 垂直于平面 ACC1A 1，连 AE，则角 B1AE 就是 AB1 与侧面 ACC 1A1 所成角由正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，设棱长为a ，AB 1与侧面 ACC 1A1所成角的正弦

18、等于 B1E答案】 4解析】将 x a 变形为 x 1 a1，然后结合基本不等式即可得解x 1 x 1【详解】解：当 x1 时，则 x 1 0 ，则axx 1 a 1 2 x 1 a2 a 1 ，当且仅当 x 1 a 时取等x 1 x 1 x 1号， 由题意知 2 a 1 5.所以 a 2 ， 即 a 4 ， 故答案为： 4.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了对数据的处理能力，属基础题216数列an、bn满足a11，且 an1、1an是函数 f xx2bnxan 的两个4零点，则 a2 ，当 bn时， n 的最大值为31【答案】5；2【解析】 由已知可得an 1 an1 bnan

19、1 an 1ana2a1a1 1an 1 an 1an1 1 1 an 1ananbnan 12n 5n 3n 5 37n的最大值为 5.四、解答题17在 a4 b4，S624 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中 的正整数 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，请说明理由设 Sn为等差数列 an 的前 n项和， bn 是等比数列， ， b1 a5 ，b39， b6 243 .是否存在 k ，使得 Sk Sk 1且 Sk 1 Sk ？ 【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】先由已知条件结合所选条件求出数列bn 与数列 an 的通项公式，再结合题设要求求解即可得解 .【详解】解：选

20、择 ，设等比数列 bn 的公比为 q，设等差数列 an 的公差为 d由 b39 ， b63 b3 q39 q3 243，得 q3 ，又 b3b1q22b13 9 ，所以 b11，故bnn13.又 a5b1 1，a4 b427 ，所以 d a5 a428 ， a1273 ( 28) 111 ，所以 an28n 139.由SkSk 1且Sk 1 Sk，可得 SSk SkS1 aak00Sk 1 Skak 1 0可知28k139 028k 1 139，得 111 k0 2813928又 k 为正整数，则 k 4 ， 所以存在 k 4，使得 Sk Sk 1且Sk 1 Sk.【点睛】本题考查了等差数列、

21、等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属中档题18已知动点 P 到定点 M 1,0 的距离比到定直线 x 1的距离小 1 ，其轨迹为 C.222）过点 N 1,01）求 C 的方程且不与坐标轴垂直的直线 l 与C交于 A、B 两点，线段 AB的垂直平分线与 x 轴交于点E x0,0 ，求 x0 的取值范围 .答案】（ 1） y22x(2) (2,+? )解析】（1）由已知条件结合抛物线的定义即可得解；2）先联立直线与抛物线方程求得AB中点 S的坐标，然后求出线段 AB的中垂线的方程 ,再求出点 E 的坐标即可得解 .详解】1骣1解：（1）由题意知，动点 P 到定直线12 的距离与到定点

22、桫琪12,0 的距离相等，由抛 所以 x0 的取值范围是 （2,+? ）.物线的定义可知，曲线 C 的方程为：2x.2）由题意知直线存在斜率，设直线的方程为 x my 1 m 0 ， A x1,y1 ，B x2,y2， AB 中点 Sx3, y3 ，x则由 2y2my 1得 y22x2my 20，所以 y3y1 y2 m ，2x3my31，则线段 AB 的中垂线的方程为ym22x m 1 ，则 x0 m 2 ，2又 m 0, m2 0 ，即 x02，【点睛】 本题考查了抛物线的定义，重点考查了中垂线方程的求法，属基础题 . 19如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形， PD平

23、面 ABCD ，PD=AD=3 ， PM=2MD ，AN=2NB ， DAB=60°（ 1）求证：直线 AM 平面 PNC；（ 2）求二面角 DPCN 的余弦值答案】（ 1）见解析；（ 2） 5 7979【解析】试题分析： （1）在PC上取一点 F，使PF 2FC ，连接 MF ， NF ，可得 MF PAN，MF AN ， MFNA为平行四边形，即 AM PNA ，即可得直线 AM P平 面 PNC （ 2）取 AB 中点 E ，可得 DP ， DE ， DC 相互垂直，以 D 为原点，如图建立空间直 角坐标系，易知平面 PDC 的法向量 mv 1，0，0 ，求出面 PNC 的法向

24、量 nv x1, y1, z1 ，计算出两向量夹角即可 .试题解析：（1）在 PC上取一点 F，使PF 2FC ，连接 MF，NF，2PM 2MD，AN 2NB ， MF PDC，MF DC ， AN PDC ，322AN AB DC MF PAN ，MF AN ， MFNA 为平行四边形，即33AM PNA，又 AM PNC平面， 直线 AM P平面 PNC2）取AB中点 E，底面 ABCD是菱形， DAB 60 ， DEA 90 ， AB PCD ， EDC 90 ，即 CD DE ，又 PD 平面 ABCD ， CD PD ，又DE PD D，直线CD 平面 PDE，故 DP，DE ，

25、DC相互垂直，以 D为原 点，如图建立空间直角坐标系则 P 0，0，3 ， N 3 3 ,1 ,0 ， C 0，3，0 ， A 3 3 ,1 ,0 ， B 3 3,3,0 ，2 2 2 2 2 2D 0，0，0 ，易知平面 PDC 的法向量 mv 1，0，0 ，设面 PNC 的法向量 nv x1, y1 ,z1 ，v uuuv由 nv uPuCuv 0 ，得 nv 5,3 3,3 3 ， cos<mv，nv>5 5 79 ，故二面角n NC 0 79 795 79D PC N 的余弦值为 5 797920已知数列 an 的首项为 2， Sn为其前 n 项和，且 Sn 1 qSn 2

26、 q 0,n N*（ 1）若 a4 ， a5 ， a4 a5 成等差数列，求数列 an 的通项公式；222）设双曲线 x2 -y= an2 =1 的离心率为 en，且 e23，求 e122e223e32 L ne2n .答案】( 1) an2n(nN*)（ 2） n1 2n 2nn142解析】（ 1）先由递推式Sn 1qSn 2q 0,nN* 求得数列an 是首项为 2 ，公比为 q的等比数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（ 2）由双曲线的离心率为求出公比q，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解【详解】解：（ 1）由已知， Sn 1 qSn 2 ，则 Sn 2 qSn 1 2 ，两式相减

27、得到 an 2 qan 1 ， n 1.又由 S2 qS1 2 得到 a2 qa1 ，故 an+1 = qan 对所有 n 1 都成立 .所以，数列 an 是首项为 2 ，公比为 q的等比数列由 a4， a5， a4+a5 成等差数列， 可得 2a5 =a4 a4 a5 ， 所以 a5 =2a4,故 q=2 .n*所以 an 2n(n N* ).en2 2n 1 an21 4q2y2 = 1 的离心率an2）由（ 1）可知， an 2qn 1 ，所以双曲线由e21 4q2 3，得q 2（舍负） .22所以 e12 2e223e322n en144q2n12n14q2412qnq记 Tn 12q

28、3q22 n 1 nq 222 n 12q Tn q2q2n1 q2n 1nq-得2122n11 q2 Tnqqqnq2n2n2n12n所以 Tn221q2q2 q1qn n 1nq1 q2n n2nq1 q22nnq所以 e122e222 n en2n2nnq(1 q2)1 2nn 2nn 1 2n 14.点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，主要考查了数列分组求和及错位相减法求和， 重点考查了运算能力，属中档题 21某油库的容量为 31万吨，油库已储存石油 10万吨.计划从 2020年 1月起每月初先购进石油 m 万吨，然后再调出一部分石油来满足区域内和区域外的需求.若区域内每月用石油

29、1万吨，区域外前 x 1 x 12,x N* 个月的需求量 y （万吨）与 x的函数关 系为 y 5 px p 0 .已知前 4 个月区域外的需求量为 15 万吨 .（ 1）试写出 200 年第 x 个月石油调出后，油库内储油量 M x （万吨）的函数表达式； （ 2）要使库中的石油在 2020 年前 10 个月内每个月都不超过油库的容量，又能满足区 域内和区域外的需求，求 m 的取值范围 .9 答案】（ 1） M xm 1 x 5 x+5，1 x 12, x N*.（2） ,54【解析】（1）先由已知条件求出 p 25 ，从而可求出油库内储油量 M x 的函数表达式；（ 2）阅读题意，可得m

30、x x 5 x 125 ，1 x 10，xN* 恒成立，且55*mxx 1 ，1 x 10,x N*恒成立，再求解即可得解【详解】解：（1）因为前 4 个月区域外的需求量为15 万吨，所以 1554p ，解得 p 25，所以 y5 5 x 1x 12,x N * .Mx10 mx x5 5 x m1 x 5 x+5 ， 1x12,x N* .（ 2）因为第 x 个月的月初购进石油后，储油量不能多于31万吨，所以M x 1 m 31 ，即 mx x 5 x 1 25 ，由题意， mx x 5 x 1 25 ， 1 x 10 ， x N* 恒成立，令 x 1 t ，上式可化为 f t m 1 t2

31、 5t m 26， t k,k 0,1,2, ,9 ， 2设 f t m 1 t 2 5t m 26 ， f t 0 当 0 m 1时，不等式恒成立；25当 m>1时，则 f t m 1 t2 5t m 26的对称轴方程为 t 2 m 1 0，要使 f t 0恒成立，则f0f30m 26 0，即010m50 0，所以5，故 1 m 5.由 ，得 0 m 5.另一方面，第 x 个月调出石油后，储油量不能少于0万吨，所以即 mx x5x0 ，即 m55xx1，此式对一切 110, xN* 恒成立，所以 m5x9，此式对一切 1410,x N* 恒成立，则m当x4时取等号）综上所述，m 5.故每月购进石油m 的取值范围是 9,5 .4点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了阅读能力及处理实际问题的能力，属中档题 .2222 已知椭圆 C ： 22aba b 0 的离心率 e 2 ，左顶点为22,0 .过点A 作直线 l 交椭圆 C 于