整理勾股定理知识点及习题

1、新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a , b，斜边为c，那么a2 +b2=c22 .勾股定理的证明勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3 .勾股定理的应用已知直角 三角形的 任意两边长，求第 三边在.ABC中，.C =90，贝U c =；! a2 b2，已知AB = 17， AC=15，求BC的长分析：直接应用勾股定理 a2 b

2、 c2题型二：利用勾股定理测量长度例1如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?例题2如图（8），水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸b f -a ，a =pc -b知道直角三角形一边，可另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2 b2 =c2，那这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边

3、的平方c2作比较，若它们相等时，以 a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 : c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若 a2 b2 c2，时，以 a，b，c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a，b，c及a2b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足2 2 2a c b，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形7勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.8

4、.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中， 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得错误的结论.9 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个 三角形是直角三角形，又要用勾股定理求岀边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：题型三例题3:勾股定理和逆定理并用一一10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如

5、果把其中一个叫做 原命题，那么另一个叫做它的逆命题。二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例1 .在 ABC 中，/C =90 已知 AC =6，BC =8 求AB的长0.51J 6X/m+0.51边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度1如图3，正方形ABCD中, E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB AB那么 DEF是直角三角形吗?4题型四：利用勾股定理求线段长度一一例题4如图4，已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 己，将厶ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.图4题型七：关于翻折问题例1、如图，矩形纸片 ABCD的边AB=10cm

6、，BC=6cm, E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B恰好落在CD边上的 点G处，求BE的长.AB题型八：关于勾股定理在实际中的应用 ：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行 驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？丸题型九：关于最短性问题例5、如右图1 - 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B

7、处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（ n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）(1)变式：如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟?7 .已知，如图长方形 ABCD中，AB=3cm , AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B与点D重合，折痕为，则厶ABE的面积为（）A、6cm2B、8cm2C

8、、10cm2D、12cm28 .在 ABC 中，AB=15 , AC=13，高 AD=12，则 ABC 的周长为 A . 42 B. 32 C . 42 或 32 D. 37 或 339.如图，正方形网格中的 ABC，若小方格边长为1，则 ABC是（）（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）以上答案都不对三、计算1、如图，A、B是笔直公路I同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m，两村庄之间的距离为d2=400000m2），现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？d（已知三、课后训练:一、填空题1.如图，在高2米，坡角为30&

9、#176;的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 。5.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是A20B第7题图例1.正方形的面积是2,它的对角线长为（）A、 1B、2 C、2D、辽2考点二：求第三条边的长例1.若RL ABC中，C = 90 且 c=37,a=12，则 b=()A、50B、35C、 34D、 26例2.已知两线段的长为6cm和8cm，当第三条线段取时，这三条线段能组成一个直角三角形。（提示：所给的二、选择题1已知一个Rt的两边长分别为 3和4,

10、则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或 252 . Rt 一直角边的长为11,另两边为自然数，则 Rt的周长为（）A、121B、120C、132D、不能确定3 .如果Rt两直角边的比为5： 12，则斜边上的高与斜边的比为（）A、60 : 13 B、5 : 12 C、12 : 13D、60 : 1694 .已知 Rt ABC 中，/ C=90°，若 a+b=14cm，c=10cm，_则 Rt ABC 的面积是（ ）A、24cm2B、36cm2 C、48cm2 D、60cm25 等腰三角形底边上的高为 8,周长为32,则三角形的面积为（）A、56B、48C、40D、326

11、 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a 元B、225a 元C、150a 元D、300a 元【勾股定理】勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即：a2 b c2。常见勾股数：3、4、5; 6、8、10; 5、12、13; 8、15、17; 7、24、25。这个一定要牢记于心。考点一：勾股定理的直接应用两条变长不一定都为直角边。）2 2 2例3.若一个直角三角形的三边分别为a、b、c, a - 144, b =25,则c -（）A、169 B、119C、169 或 119 D、

12、13 或 25 考点三：与咼、面积有关例1.两个直角边分别是3和4的直角三角形斜边上的高是则小船实际行驶了 米.例2.等腰三角形的底边为10cm，周长为36cm，则它的面积是2cm4. 若三角形中相等的两边长为10 cm,第三边长为16 cm,则第三边上的高为5. 如图8-41,矩形ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为2 cm .勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2 b2二c2，那么这个三角形是直角三角形。判断步骤：(1)比较a、b、c大小，找最长边；(2)计算两条短边的平方和，看是否与最长边的平方相等。例1.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长

13、为80cm,宽为60cm，对角线为100cm,则这个桌面。(填“合格”或“不合格”)图 8-41cm.例2试判断：三边长分别是a2 -b2,a2 b2,2ab(a b)的三角形是不是直角三角形?【勾股定理习题】一、选择题1、把直角三角形的两直角边均扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的几倍？(2、等腰 ABC的底边BC为16,底边上的高AD为6,则腰长AB的长为(二、填空题A. 10B.12C.15D.201、如果梯子底端离建筑物 5m,那么13m长的梯子可达到建筑物的高度是2、如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点 A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cm6.等边三角形的边长为 4

14、,则其面积为.7如图8-42,在高3米,坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需 米.8若JC13+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是 三角形.二、选择题9. 下列是勾股数的一组是A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,3510. 下列说法不正确的是A. 三个角的度数之比为1 : 3 : 4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为 3 : 4 : 5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3 : 4 : 5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为 5 ： 12 ： 13的三角形是直角三角形11. 一个圆桶底面直径为24

15、cm,高32 cm,则桶内所能容下的最长木棒为A.20 cmB.50 cmC.40 cmD.45 cm12. 一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司距离为 米.A.100B.500C.1 240D.1 000三 13.如图 8-43,在四边形 ABCD 中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm,/ C=90 ° .(1)求 BD 的长；(2)当 AD 为多少时,/ABD=90 °4. 一个零件的形状如图，按规定这个零件的.A与.BDC都要是直角，工人师傅量得零件各边尺寸:AD=4,A

16、B=3,DC=12,BC=13,BD=5 。这个零件符合要求吗？图 8-4414.有一块土地形状如图 8-44所示,/ B= / D=90 ° ,AB=20米,BC=15米,CD=7米,请计算这块地的面积教材过关十八勾股定理一、填空题1. 一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是.2. 在 ABC 中，若 AB=17,AC=8,BC=15,则根据可知/ ACB=.3. 一座垂直于两岸的桥长 15米，一艘小船自桥北头岀发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头 9米,15.甲、乙两船上午11时同时从港口 A出发，甲船以每小时20海里的速度向东北方

17、向航行，乙船以每小时15海里的速度向 东南方向航行，求下午1时两船之间的距离.2011年各地中考数学试题汇编一一直角三角形与勾股定理一、选择题1. （ 2011山东滨州，9，3分）在厶ABC中，/ C=90° , / C=72° ,AB=10,则边AC的长约为（精确到0.1）（A.9.1B.9.5C.3.1D.3.54.如图， ABC中，/ C=90°，AC=3 / B=30°，点P是BC边上的动点，_则 AP长不可能是'（第4题图）(A) 3.5(B) 4.2(C) 5.8(D) 76.（2011河北，9, 3分）如图3，在 ABC中,/ C=

18、90°, BC=6,D,E 分别在 AB,AC上，将 ABC沿 DE折叠，使点7.A落在点A'处，若A'为CE的中点，则折痕DE的长为（7. （ 2011贵州安顺，16，4分）如图，在 Rt ABC中, Z C=90°，BC=6cm AC=8cm按图中所示方法将 BCD&BD折叠，使点C落在AE边的C'点，那么 ADC的面积是 .8. （ 2011山东枣庄，15, 4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm则阴影部分的面积是 cm2.三、解答题1. （ 2011四川广安，28, 10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m 8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形求扩建后的等腰三角形花圃的周长.2. （ 2011四川绵阳23, 12）王伟准备用一段长 30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔 .已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.（1）请用a表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为 7米吗？为什么？请说明理由，