(完整word版)高等数学基础作业2及点评

1、高等数学基础第二次作业导数与微分(一)单项选择题4设f (x) =x(x -1)(x -2) (x -99)，则f (0)B.99D.-99!5下列结论中正确的是(C ).A. 若f(x)在点X。有极限，则在点X。可导.B. 若f (x)在点X0连续，则在点X0可导.C. 若f(x)在点X0可导，则在点X0有极限.D. 若f(x)在点X0有极限，则在点X0连续.(二)填空题3曲线f (x)1在(1,2)处的切线斜率是n曲线f(x)二si nx在(一，1)处的切线方程是y=1.2 -5.设y =x2x，则y二x2x21n x 2” 16.设y = x I n x，贝U y：x(三)计算题1设f

2、(0) =0且极限lim丄凶存在，则7 xA.C.f(0) f(x)B.D.f (x) limx刃xf (0)0f (x02h) f (x0)2.设f (x)在x0可导，则ljm2hB.f(x)D.- f(X。)3设f (x)二ex，贝U啊f (jx)一f (1)(A)A.-2f(X。)C.2f (Xo)A.e1C.e2xB.D.2e1e4(D).(D).A.99C.99!f(x)= x2sin110,X，则f (0)二2设f (ex)二e2x 5ex，则d f (lnx)dx2 In x 5x求下列函数的导数y:点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。y

3、 = (x x3)ex解：y丄(x2ex3ex)32 x2 xxx2ex2e 3e2i3 2x222=cot X xIn解:”,cosxy=( sinx=1sin x2,、. ，一sin xsinx-cosxcosxx In x)(2xln x x解:In x2xIn x -xIn2xx(2In x -1)In2解:解:解:解:解:sin2x22xIn x )xxcosx 2(sin x 2xIn 2)x3-(cosx 2x) 3x26x-xsin x In 2 2xx -3cosx -3 2xIn x -x2sin x12(2x)s in x-cosx(l nx-x)八xsin2x(1 -

4、2x2)sin x - xcos(In x - x2)二x4-sin xln xxsi ny二4x3-(cosx In=4x3-cosx Inxsin x x2sin x、x)xsin x3x(cosx 2x)3x- 3xIn 3(sin x x2)32x2cosx 2x - In 3(sin x x )tan x In xy二(extanx3xxe2cos x xex(x23)xe (sin xcosx 1)2cosx2求下列函数的导数y:这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当中间变量不多时，也可直接求。设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本

5、初等函数的四则运算。解:12jx=ln cosxy =eeWx2x解:” 一sin xy= cosx =_ta n x二xx.x解：因为y1=x2117488x x二X1,87x8y = sin2x解：因为y =2sinx cosx二sin 2x彳121 所以y (x x2)3(132二sin xy二cosx22x=2xcosx2x二cosex xy - - sin e eX x=-e sine=sinnxcos nxy二(sinnx) cos nx sinnx (cos nx)nsinn x cosx cos nx sinnx(-sin nx) n n sinnJLx(cosxcos nx

6、- sin xs in nx)y =5sinx解：设y =5Uu =sinxusin xy = yuux=5 In 5 cosx = In5 5 cosx注：因只有一次复合，也可直接计算。y二ecosx解：设y二eu所以yy解:y解:y解:y= yuUxu = cos xucosxe(-sin x) = -esin x注：因只有一次复合，也可直接计算。3.在下列方程中，y = y(x)是由方程确定的函数，求y:点评：这组求函数的导数计算题采用的是隐函数的求导法。有两种方法，第一种是在方程解:2xy_x2y2simy 2xcosy y -2x2X y y空2simyyy =2cx2xcosy2y

7、y = x In yF解：因为：y =1 上y-1厂y2解：将方程两边对 x 求导:1 eyy二2y y x解得yIn x ey2_ 2xy -2y simy2xy2cosy x2整理得：y=x(2y -ey)2xy 1二e sin y解：将方程两边对2y y整理得:eyx 求导：xsin y e cos y yx_ e sin y 2y -excosy3-y解：将方程两边对 x 求导：两端对自变量 x 求导，将 Y 视为中间变量，利用复合函数求导法则。第二种方法是对方程 两端同时求微分，利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，求得微分后求导数。解：将方程两边对 x 求导：2 y卜c o x -

8、 ys i nx=2e yy (cos -2e2y) = ysirx ysinxcosx 2ey = cos y In x解：将方程两边对 x 求导：y = (cos y) In x c o y( I nx)”c o罗y - -sin y y In xx移项y (1 sin y In x) =csyx所以：y =x(1 + In xs in y)2x2xsin y二yy移项所以:cosyeyy ex-3y2y整理得：x八 ey-3y2y = 52 *解：将方程两边对 x 求导:y5x|n5 2yln 2 y整理得：”5xln 5yy1 -2yIn 24.求下列函数的微分dy:y = cot x

9、 cscx解：因为y =12sin x（丄）sin xcosx12一. 21 cosxsin2x所以dy1 cosxdx.2sin xUx=2u cosx = 2sinx cosx=sin2x所以 dy=sin 2xdxy = tan ex解：设：y = tan u , u = ex贝 Vy =yuuxxecos uXe2xcos exedy= 厂匚dxcos e5求下列函数的二阶导数:In xsin解：因为爲 nx - cosx Inxsin2xsin x - xcosx In x.2xsin x所以 dysin x - x cosx In x.2xsin xdx2y =sin x解：设y二u2u二sin x所以点评： 这组是求高阶导数的计算题。 高阶就是导函数的导数， 除了对象以外， 定义思想和 求导方法都与以往类似。y = . x1解：2xy = 3x解：y、3xl n3 y = (3xIn 3) = 3xIn 3 In 3y = I n x1解：yX12Xy = xsin x解:y = sin x xcosxy =(six xcos:)二cox cox-xsirx =2c o x -xs i rx(四)证明题设f (x)是可导的奇函数， 试证f (x)是偶函数. 证明