一元二次方程知识点与考点

1、名师整理精华知识点一元二次方程一、知识结构：I”解与解法一元二次方程二根的判另I 韦达定理 2、若方程 m-2xm，= 0是关于x的一元一次方程,求m的值；写出关于 x的一元一次方程。 3、若方程 m -1 x2 m *x =1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2 ,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1二、考点精析考点一、概念（1）定义：只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程 就是一元 次方程。（2）般表达式： ax2 + bx +c = 0（a 式 0）难点：如何理解“

2、未知数的最高次数是2”: 该项系数不为“ 0”； 未知数指数为“ 2”； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于 x的兀二次方程的是（)A 3(x +1 2 =2(x+1 )B1 12 + 2 _ 0x x2C ax + bx + c = 0DX2 +2x = x2 +1变式：当k时，关于x的方程kx2 2 = x2 3是一元二次方程。例2、方程 m 2- 3mx 1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的值为针对练习: 1、方程8x2 =7的一次项系数是 ，常数项是 名师整理精华知识点考点二、方程的解概念：I使方程两边相等的未知

3、数的值，就是方程的解。 应用：J利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1已知2y2 y - 3的值为2,则4y2 2y 1的值为例2、关于x的一元二次方程 a-2 x2 x a2 -4 =0的一个根为0,则a的值为例3、已知关于x的一元二次方程ax2 bx c = 0 a厂0的系数满足a c = b，则此方程 必有一根为。例4、已知a,b是方程x24x m = 0的两个根，b, c是方程y28y 5m = 0的两个根，则m的值为。针对练习： 1、已知方程x2 kx-10 =0的一根是2，则k为，另一根是。2X + 1 2、已知关于x的方程x kx - 2二0的一个解与方程3的解相同。x -1求

4、k的值；方程的另一个解。2 2 3、已知m是方程x x1二0的一个根，则代数式m m二 4、已知 a 是 x - 3x 1 二 0 的根，贝U 2a - 6a 二 5、方程 a-bx2 亠 i.b-cx，c-a=0 的一个根为（）A-1B 1Cb-CD -a 6、若 2x 5y -3 =0,则 4x 32y =。252,小D. x 9 = 0方法:直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法:x2 = m（m z 0x = ±/m222对于（x+a） =m，（ax+m） =（bx + n）等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：12x2_8=0;2 25 _16x

5、2=0;3 1-x2-9 = 0;例2、若9 x -1 2 =16 x 2 2，则x的值为。针对练习：|下列方程无解的是（）2 2 2A. x 3=2x -1B. x-2 =0 c.2x 3=1-x类型二、因式分解法：（x -为（xx2 ）= On x = x或x = x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为 方程形式：女如(ax+mj=(bx+ nj , (x+a (x+b )= (x +a (x + c)，2 2x 2ax a O典型例题:例 1、2x x -3i； = 5 x -3 的根为(C X1，X2=32例 2、若(4x + y f +3(4x + y )4 = 0，则

6、 4x+y 的值为。变式 1： (a2 +b2 丫 (af 卜6 = 0,则af =。变式2：若x y 2_x_yi亠3 = 0 ,贝U x+y的值为。变式 3：若 x xy y = 14 , y xy x = 28，则 x+y 的值为。例3、方程x2x -6 =0的解为()A. X"!-3,x2 = 2B. xi=3，x2 _-2C. x =3,x 2 _-3D.xi=2，x2 _ -2例 4、解方程：x2 2 . 3 1 x 2 3 4 =0例5、已知2x2 -3xy -2y2 =0,则的值为x y变式：已知2x2 -3xy -2y2 = 0,且x 0, y 0,则xy的值为名师

7、整理精华知识点针对练习： 1、下列说法中： 方程 x2 px q = 0 的二根为 x-i， x2，则 x2 px q = (x -xJCx -x2) x2 6x8=(x-2)(x-4).2 2 a -5ab 6b =(a-2)(a-3) x2 _ y2 =(x y)(、_ x y)(. x _ ； y) 方程(3x 1)2 _7 =0 可变形为(3x 1. 7)(3x 1 - 7) =0正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个 2、以1.7与1 -7为根的一元二次方程是()2 2A. x -2x-6=0B. x -2x 6=02 2C. y 2y6 =0D. y 2y 6=0 3、写出一

8、个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足x，y-3 x y，2=0，则x+y的值为()A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 2、 2 15、方程：x 2 =2的解是。x 6、已知 J6x2 - xy-J6y2=0，且 x>0 , y>0，求 2* * 6y 的值。 J3x-y2 7、方程（1999x） 1998 x 2000x 1 = 0 的较大根为 r ,方程22007x -2008x1 -0的较小根为s,贝U s-r的值为。ax2 bx c = 0 a 尸 0

9、 二X丄2ab2 - 4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题:例1、试用配方法说明x2 _2x 3的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数，求代数式x2 y2 2 4y 7的最小值。例3、 已知x2 y2 4x -6y 13二0，x、y为实数，求xy的值。例4、 分解因式：4x2 T2x 3针对练习: 1、试用配方法说明 _10x2 7x-4的值恒小于0。 2、已知 X2 丄一 X _1 - 4 = 0，则 X 丄二XXX 3、若t = 2E-Bx2 12x9，贝y t的最大值为 ，最小值为 4、如果 a +b +-1 =4ja -2 +

10、2ji 4,那么 a+2b3c 的值为例1、选择适当方法解下列方程:=0,且b2 -4ac _ 0 31 x 2 =6. 3x2 4x= 0er2 x 3 x 6 = -8. x -4x0 3 x -1 3x 1 二 x -1 2x 5名师整理精华知识点类型五、“降次思想”的应用求代数式的值;二元二次方程组。典型例题：例1、2已知x 一 3x 2 = 0，求代数式32x -1-x 1X1的值。例2、如果x2 x -0，那么代数式x3 2x2-7的值。考点四、根的判别式 b2 -4ac根的判别式的作用: 定根的个数； 求待定系数的值; 应用于其它。 典型例题：例1、若关于x的方程X2 2、. k

11、x -1 =0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 例2、关于x的方程 m -1 x2 2mx m = 0有实数根，则 m的取值范围是()A. m _ 0且m = 1b. m 亠 0 c. m = 1d. m 1例3、已知关于x的方程x2 - k 2 x 2k =0(1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰:ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求:ABC的周长。例4、已知二次三项式9x? -(m - 6)x m-2是一个完全平方式，试求m的值.例5、m为何值时，方程组f 22X2 +2y2 =6, mx + y = 3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?针

12、对练习: 1、当 k时，关于x的二次三项式2x kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?2 3、已知方程 mx -mx，2 = 0有两个不相等的实数根，贝y m的值是 4、k为何值时，方程组 丿yf “乂 * 2，y _4x_2y +1 =0.(1) 有两组相等的实数解，并求此解;(2) 有两组不相等的实数解；(3) 没有实数解.2 2 5、当k取何值时，方程x -4mx 4x 3m -2m 40的根与m均为有理数?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：|例1关于x的方程 m 1 x2 2mx -3 = 0有两个实数根，则

13、 m为,只有一个根，则 m为。例2不解方程，判断关于 x的方程x2-2x-k k -3根的情况。2 2例3、如果关于x的方程x kx 2 = 0及方程x -x2k =0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴， 出席者两两碰杯一次， 共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放

14、1市场，根据计划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少31-，该产品第一年收入资金约 400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，21 一还要盈利丄，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，313 : 3.61）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售,一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少 10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。（2） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销

15、售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少?（2） 两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不 能，请说明理由。（3 ）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲 再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于ax2 +bx +c = 0而言，当满足a式0、也0时，才能用韦达定理。I1bc主要内容：為+x2 =-一，XjX2 = aa应用：整体代入求值。典型例题：例1已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 -8x 7二0的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.B.3C.6例2、已知关于x的方程k 2 2.已知 a 一7a = -4 , b 一7b = -4 (a = b),x2亠i.2k -1 x 1 = 0有两个不相等的实数根 xX2,（1 ）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不 存在，请说明理由。1）