4平方根和开平方知识讲解及其练习

1、平方根和开平方提高【学习目标】1. 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根2. 了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根.【要点梳理】要点一、平方根和算术平方根的概念1. 平方根的定义如果那么X叫做d的平方根.求一个数d的平方根的运算，叫做开平方.d叫做被开方数？平方与开平方互为逆运算.2. 算术平方根的定义正数d的两个平方根可以用 “ 土長表示，其中苗表示d的正平方根又叫算术平方根，读作“根号d ：表示a的负平方根，读作“负根号 a.要点诠释：当式子有意义时，d泄表示一个非负数，即苗鼻 0，d20.要点二、平方根和算术平方根的区别与联系1.

2、 区别：1泄义不同：2结果不同：土苗和亦2. 联系：1平方根包含算术平方根；2被开方数都是非负数；30的平方根和算术平方根均为 0.要点诠释：1正数的平方根有两个，它们互为相反数，苴中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根.2正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根 要点三.平方根的性质I a>0=1 a 1= <0a = 0-ua <0亦=a ?>0要点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动 2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动 1 位?例如：V625

3、OO = 250 , >/625=25, J 亦=2.5, Jo.0625 = 0.25.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念?>1、?饶平县期末 X-1的平方根为 2 3x+y-l的平方根为±4,求，3x+5y的算术平方根 .【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解 .【答案与解析】解：由x-l的平方根为±2,得x-l二4, x二5 由 3x+y-l 的平方根为±4,得 3x+y-l 二 16,Vx=5/.3X5+y-l=16,解得 y=2,/. 3x+5y=25 25的算是平方根为 5.【总结升华】此题主要考査了平方根的性质：一个正

4、数有两个平方根，它们互为相反数，苴 中正的那个叫做这个数的算术平方根 .举一反三：【变式】2d-1与一 d+2是加的平方根，求加的值.【答案】2a-1与一 d +2是加的平方根，所以2( 1 1与一 a +2相等或互为相反数.解：当 2d_l=_d+2 时，a=l,所以 m = () 2 =(2xl-l)2=l当 2八1+ ( d+2)= 0 时，d=-l,所以(2t/-l) 2 =2x(-l)-I2 = (-3) 2 =92、X 为何值时，以下各式有意义？(1) jx :(2)yJx 4 :(3)jx+ 1 + J1 X : (4)?x-3【答案与解析】解：(1)因为x2>0,所以当x

5、取任何值时，都有意义.(2) 由题意可知：x 4nO,所以兀?4时，J7二Z有意义.(3) 由题意可知：x+ 一"解得：-i<%< 1.所以一 15兀51时jm+jm有意l-x>0义.(4) 由题意可知：解得 xni 且兀工 3?x-3 工 0所以当 A>1 且兀工 3时有意义 .x-3【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一泄要讨 论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义 .(2)当分母中含有字母时，只有当分母不 为 0时，式子才有意义 .举一反三:【变式】b =厂迈+2J5二乔+2,求丄+丄的算术平方根？a b【答案】

6、解：根据题意，得那么“ =?,所以b=2,? ?丄+丄=? +丄=2, 2-3t/>0.3 a b 2 2;? +*的算术平方根为类型二、平方根的运算a* 3、求以下各式的值.(1)7252 -242 . V32 +42 : (2) A2OA-l./o36-|>/96o .【思路点拨】(1)首先要弄淸楚每个符号表示的意义.(2)注意运算顺序.【答案与解析】解： J25? 一 24 ？肘 + 4 亍=屈 ? A25=7x5 = 35 :(2) a201-|>/036-|x/900 =A-|xO.6-|x3O =卜0.2-6 =-1.7.【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算

7、平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先 顺序进行.(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根 a(a > 0)来解.类型三、利用平方根解方程AA4、求以下各式中的 X.(1) X2-36仁0；(2) (X + 1)2 =289 ；(3) 9(3x + 2-64 = 0【答案与解析】解：(1) V x2-361 = 0:.x2 = 361士 19.?.x = 士 a/36T =(2) V(x + 1)2 =289Ax + l= ±289Ax+I =±7X=16 或 X = -l&(3) V9(3x + 2)2-64 = 03x +

8、2 =32 r 14:.x = -SCv =-99【总结升华】此题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最根本方法.(2)(3)小题中运用了整体思想分散了难度.举一反三:【变式】(春?乌兰察布校级期中)求x的值：2 (x? 2)乙4?9【答案】解：？ ?* (x-2 ) 2二q,9? (X2) 2=36,?I x 26 或 x = B6,解得：Xi=8 v 氐二？ 4?类型四、平方根的综合应用(秋?沙坪坝区校级期末)假设x, y为实数，且满足A47A7+ly-|=0-求2【答案与解析】解：丁爾厂1+|厂琴。，？?4 4厂 1mf 1 i(i yhii厂那么原式4*V 14)4 2(2

9、丿 4 2 4【总结升华】 此题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出x, y,然后代 入求值即可.举一反三：【变式】假设求严| +严2的值.【答案】解：由-1 + Jy + 仁0,得 F仁0, y + I = 0,即 x = ±y = . 当 x=l, y= 一 1 时，x201,+y20,2=|20,+(-I) 20,2=2. 当x = I, y= 1时，兀咖+)冲=()咖+(严2=0.6、小丽想用一块而积为 400 c/n2的正方形纸片，沿着边的方向裁岀一块面积为300c/n2的长方形纸片，使它长宽之比为3:2,请你说明小丽能否用这块纸片裁岀符合要求的长方形纸片.【

10、答案与解析】解：设长方形纸片的长为 3x x>0 c ，那么宽为2xcm,依题意得 3x-2x = 300.6x2 = 300.X2=50.? ? x>0,: 、x = >/50 .?长方形纸片的长为 3>/50 cm.V 50>49,/. >/50 > 7.? 3 应>21,即长方形纸片的长大于 20cm.由正方形纸片的面积为 400 cm2,可知英边长为2Qcm,? 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长 . 答：小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片 .【总结升华】 此题需根据平方根的左义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 2Qcm

11、的 正方形纸片裁岀长方形纸片 .【稳固练习】一. 选择题1. 以下说法中正确的有.只有正数才有平方根 . -2 是 4 的平方根 .辰的平方根是 ±4./的算术平方根是d.-6 2的平方根是一6. 厲=± 3.A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2. 假设 m = >/40 4,那么估计加的值所在的范囤是A. l<m <2B. 2</H<3C. 3</?： <4D. 4</?<53. 试题以下说法中正确的选项是A. 4 是 8 的算术平方根B. 16 的平方根是 4C. V6 是 6 的平方根D. d 没有平

12、方根4. ?河南模拟假设毎a那么a的值为A.l B. - 1 10 或 1D. ±l5. 有一个数值转换器，原理如下：是无理数输入罔取算术平方根q输出I是有理数I当输入的X=64时，输出的丿等于A.2B.8C. 3>/2D. 2 近6. ?裕华区一模以下运算正确的选项是A. _J_132 =13 B. J 62 = 6 C. -V25 = -5D.厲=± 3二.填空题7. 假设 J10404 = 102那么 J1.0404 =.8. 如果一个正方形的面积等于两个边长分别是31加和5cm的正方形的而积的和，贝IJ这个正方形的边长为?9. 以下各数：81,学，1.44,

13、21,网的平方根分别是:算术平方根乙丿分别是.10. 1宁的平方根是 ；2 -52的平方根是 ,算术平方根是:3 疋的平方根是 ,算术平方根是:4 x + 22的平方根是 ，算术平方根是.12. ?前郭县二模观察以下各式：八仁3A1,胆|=4拾，请你找岀 其中规律，并将第 n n21个等式写出来 三?解答题13. 春 ?武汉校级月考求以下各式中 x 的值.?X 2- 25=04 (x+1) 2=614. 丁戸和JT页互为相反数，且xhO,求丄的值.x15. 如图，实数d，b对应数轴上的点 A和B,化简后+J庐一妬而一 /7苻ABa0b答案与解析】. 选择题1.【答案】A；【解析】只有是正确的

14、.2.【答案】B；【解析】6V阿v7,所以2V顾一 4V3 ?3.【答案】C；【解析】A. T4 是 16的算术平方根，应选项 A 错误： B.V16 的平方根是±4,应选项 B 错误；C. ? ? “是6的一个平方根，应选项 C正确:D. 当 dWO 时，一 d 也有平 方根，应选项 D 错渓 .4.【答案】C；【解析】解 : ?屆 a,:.a> 0.当 a=0 时， Va=a；当 OVaVl 时，需 a：当 a=l 时，Va=a；当 a> 时，V v a；综上可知，假设岸a那么a的值为0或1.应选C.5.【答案】D:【解析】根据图中的步骤，把 64输入，可得苴算术平方

15、根为 8, 8再输入得英算术平方是2近、是无理数那么输出.6. 【答案】C；【解析】解A.-心3? = _13故错误：B. J-62 = 6 故错误；C. -亦=-5正确；D. 厲=3,故错误.二.填空题7. 【答案】1.02：【解析】被开方数向左移动四位，算术平方根的值向左移动两位8. 【答案】x/Mcm :【解析】这个正方形的边长为 J32+52 =网.43439.【答案】±9：±： ±.2： ±上；±： 9- 1 2:-；3.5252x+2|；10.【答案】(1) ± (2) 5± 5： 3) 土 x, X ； (4) (±2),【解析】丽=ldl?11?【答案】±2?【解析】T4的立方是64,? .64的立方根是4, 4的平方根是±2,故答案为：±2.12-【答案】乔焉31鳩：解析】解：尼&quo