上升时间与带宽的对应关系及其应用教学内容

1、精品文档上升时间与带宽的对应关系及其应用2010-5-21 11:48:00【文章字体：大中 小推荐收藏打印简单、实用的数学模型使我们把信号的上升时间与测量仪器可达到的带宽联系了起来。MEKONEN BUZUAYENEAnritsu CorporationMorga n Hills, California, USA测量仪器中，如示波器和频谱分析仪，可以用适当的幅值去度量最大的上升时间，其精确度直接与仪器的- 3dB带宽（B）相关。上升时间通常定义为信号幅值从最大稳态值的10%化到90%寸应的时间（见图1）,但是，带宽描述的频率范围也覆盖了一个信号所含能量的大部分，假定一个单极高通频率响应表示为

2、图2的情况，带宽亦定义为信号的频率响应衰减3dB以内所对应的频率范围。图1.脉冲输入下的时域响应图2.脉冲输入下的频域响应工程环境中，常听到人们根据他们使用的仪器，而交替地使用这两种定义术语（上升时间和带宽）。二者的关系通常包含在大多数示波器目录1和技术讨论手册2中，它们基于如下方程去描述：.： (MHz) (1)最频繁的问题是：准确地说，方程式中的时域(上升时间)和频域(带宽)部分是 什么？或者，就方程而论，常数 0.35的根据是什么？或精确地分析，这个表达式是如何推 导出来的？这个关系式是如何提出来的？以一个电气无源滤波器为例进行讨论， 是理解方程(1)来源的最佳途径，它提供了准 确的解析

3、值。其他分析方法可用来替代这一分析， 如高斯分布或傅立叶级数展开式， 但它们 分别引起了 2.9%和8.6%的分析误差。为了检查这个关系式，我们使用一个简单的一阶系统，它可以是一个低通的、高通的，或者带通的滤波器。其拓扑不需要任何特别的结构， 它可以是并联的或串联的， 其网络结构可以 是任何形式的，如 R-C, R-L，或R-L-C形式。为证明关于' 的方程式(1)的正确性，考虑 一个简单的R-C电路原理图，如图 3所示，并在时间和频率两个不同的域中考虑。电路分析使用线性电路分析基本法则和基氏定律的概念，我们要用网孔和节点程序来观察图 3和图4的时域和频域的特性。时域分析为了着手这一分

4、析，现在分别写出上述拓扑的输出方程:_： (2) 通过解这个一阶微分方程，我们获得:t求解来确定响应的假定输入电压具有单位阶跃函数形式，我们可以容易地通过对 速度。对t求解，并将RC以电路时间常数 丁替换，我们得到:? (4)精品文档精品文档In 1 一-Tin1-鉴于(7)式在使用上的无约束性，我们现在可以计算时间响应曲线的特定瞬时点。广泛使用的测量点是振荡曲线自10%至90%的幅值：£(10%)牛=_Tln(a9)以及i (90%)=-fin 1-0.9T= -rlnC0.1)(9)? ? (15)精品文档下一步是将(9)减去(8)来解出上升时间(tr)= 90%)(10%) =

5、 rln(0.9>rln(0.1) = Tin(10)建立了由 决定的上升时间表达式后(其中也具有频率成分)，我们来尝试从频域的视 角做一种分析。频域分析应用电压分压方法，方程变为:这里我们再考虑输出的功率:(11)严*何匚(12)然后，我们来考虑“半功率”频率，它通常指(-3分贝)带宽处的频率。正如这个术语的含义所指,输入信号的一半功率被滤波器的无功电抗元件所吸收,其中'(13)另一半则传递到输出。(14)将(12)式的-三代入，我们得到:精品文档精品文档另一方面，当我们用(11)替代时，结果是:U -。然而我们知道匚.T在所有同类项都消去后，这个方程简化成较简单的式子且e =

6、 2 莎=对二求解，得到-注意到由于相位与这一分析中没有关联，取绝对值后，上式与虚部(j)无关。这里f是带宽的-3分贝处剪切频率或称 B (Hz)，而RC是时间常数。 进一步推导又得到：-fT，或(17)回到最终的时域方程式(10)，将(17)式替代，我们就获得了最终寻求的：公式：(1 心 0.5456950.35ln(9)=I.亦丿艮B (18)另一可选择的求证途径是，上述分析可容易地通过直觉观察得到：使用半功率带宽(BW)或剪切频率(f -3分贝)，作为前面提及的一个具有阻抗*-的滤波器，在输出功率为输入功率的50%寸的工作频率。由于，我们可以说在f-3分贝下，所以R = 1/2 nf -

7、3分贝C。这一结果就使我们直接导 出了 2nf-3 分贝=1/RC。因此，鉴于書 定义为RC时间常数，它又让我们直接推导出了2nf-3分贝=1/ t,(以及2n BW = 1/ t),这就是方程(17)。这个结果依次地使我们直接从方程(10)得到了方程(18)。Time D omai n图3. R-C时域电路原理图 衣1Freqa&ncy Domain|图4. R-C频域电路原理图示例我们说一个要分析的信号具有10纳秒的上升时间。问题为：一个示波器的最小带宽，或一个频谱分析仪的最低清晰度带宽（RBW）是多少？代入数据到方程（18），得到：B = 1035.0 纳秒=35 MHz这个结果

8、意味着：如果示波器的带宽，或者频谱分析仪的RBWI 35 MHz则仪器屏幕上能显示的最快信号上升时间（显示的幅值上无显著的衰减），将不低于10纳秒。同样，如果希望相当准确地测量一个具有1纳秒上升时间的信号，示波器或频谱分析仪则需要具有至少 350 MHz的-3-分贝带宽（或RBW）。结论提出了系统的分析方法， 来理解将信号上升时间与系统 -3-分贝带宽相联系的基本 方程式，这一方法中，采用时域和频域两种方法，以一个简单的集总元件滤波器电路进行分 析。这个简单但实用的数学模型，让我们将信号上升时间与测量仪器可达到的带宽联系 了起来。由于两个变量的互惠性，可知测量仪器的带宽越宽，其响应时间就越快。这一结果的进一步含义是，测量系统要以一个相当准确的图形显示脉冲信号时，其 -3-分贝带宽（B）或RBW应设置成方程（1）的最小值。参考文献 1. Hewlett Packard Company. Test & Measurement Catalog 1999, printed in the U.S.A. December, 1998, pp. 111.2. Fluke Corporation., ABC ' s of Oscilloscopes, printed in the Netherlands 94-36,pp.