不等式专题突破五一元二次方程根的分布问题

1、专题突破五 一元二次方程根的分布问题在处理参数范围问题时，有时会需要限制一元二次方程的根位于指定范围，这就是一元二次方程根的分布问题.设关于x的一元二次方程 ax2 + bx + c= 0(a > 0)对应的二次函数为f(x) = ax2 + bx + c(a > 0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置以及区间端点函数值的正负,可以得到以下几类方程根的分布问题(此时= b2 4ac).A> 0,b、方程f(x) = 0在区间(k,+8)内有两个实根的条件是一2a>k,例1方程8x2 (m 1)x+ m 7= 0的两实根都大于1，求实数m的取值范围.解 方法一 设

2、函数f(x) = 8x2若两实根均大于1，需m> 25或mW 9,= m 1 2 32 m 7 > 0,即 m R, 解得m25.m> 17,m 1育>1,m 1方法二设方程两根分别为X1, X2，则X1+ X2=-,8m 7X1X2=-，因为两根均大于1 ,8所以 Xi 1 > 0 , X2 1 > 0,A= (m 1 2 32(m 7 戸0,故有 X1 1 + X2 1 > 0 ,Xi 1 X2 1 > 0,< (m 1) 32(m 7 尸0, m 1即 T 2> 0，m 78m 18+ 1> 0,m>25或mW 9,

3、解得m> 17,.m R,所以m25.X2> 1导致范围扩大.同1x1 + X2>2 ,?但X1X2>1 ,小X2>2，?(X1>1，例如 X1 = 4, X2= £XX2>1乂>1.2A> 0,所以 X1 + X2> 2,.X1X2> 1不是等价条件.跟踪训练1 若函数f(x) = X2 + (m 2)x+ (5 m)有两个小于2的不同零点, 范围是.答案 (4,+ )则实数 m的取值2A= (m 2) 4(5 m > 0,解析依题意有写v 2,f 2 = m+ 5>0,解得m> 4.二、方程f(X

4、) = 0有一根大于k,另一根小于k的条件是f(k)v 0例2方程8x2 (m 1)x+ m 7= 0两实根一个大于 2，另一个小于2,求实数m的取值范围.解 设f(x)= 8x2 (m 1)x+ m 7,符合题意的f(x)如图.方程一根大于2,另一根小于2，等价于f(2)v 0,即 8 22- (m 1) 2 + m 7= 27-m v 0.解得m的取值范围是m> 27.反思与感悟用于限制一元二次方程根的分布的工具有三个：判别式;对称轴；区间端点函数值的符号，但不一定每次每个工具都用到，同学可以结合图形按需取用.跟踪训练2 已知方程X2 a2x a+ 1= 0的两根xi, x?满足Ov

5、1, X2> 1则实数a的取值范围是.答案 (3 2)解析设 f(x) = x2 a2x a + 1.f 0 = a + 1 > 0,依题意有f(1 尸 1 a2 a+ 1v 0,解得av 2.A> 0,b .、方程f(x) = 0在区间(k1, k2)内有两个实根的条件是k1< 2av k2,f k1 > 0,f k2 > 0例3方程8x2 (m 1)x+ m 7= 0两实根都在区间(1,3)内，求实数 m的取值范围.解设 f(x) = 8x (m 1)x + m 7,符合题意的f(x)图象如图A> 0,m> 25或mW 9,f3 >0,

6、m 1百v 3,m R, 即mv 34,17v m v 49,所以 25< mv34.反思与感悟本例中四个限制条件缺一不可，同学可以思考如果去掉其中一个条件会怎样.如去掉对称轴的限制，则会包含两根均小于1或均大于3的情形其本质是用零点存在定理限制区间m1 I；，m1 3 L各有一个零点.V，16 丿 I 16 ，3.丿跟踪训练3函数g(x)= 2x2 + ax+ 3在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.“ g(尸 a+ 5>0,g(2 尸2a+ 11>0,解依题意有a1 v 4v 2,A= a2 24 > 0,解得5 v a v 2 6.、f(k1 v

7、 0,四、方程f(x) = 0的一根小于&，另一根大于k2且k1v k2的条件是 八f(k20例4 方程x2 (m 1)x+ m 7= 0两根禺，X2满足禺< 1, x2>2，求实数 m的取值范围.解设 f(x)= x2 (m 1)x+ m 7.符合题意的f(x)图象如图.两根 X1, x2 满足 X1< 1 , x2>2 ,f( 1 v 0,( 1(m 1 ( 1 + m 7v 0,则丫即$If 2 v 0,22 2 m 1 + m 7 v 0,解得 m 1, 2 .反思与感悟如果求出两根Xim - 1 寸(m_ 1 2-4(m-7 j,X2xi< 1,

8、iX2>2m 1 +、/fm 1 2 4m 7 ，再解不等式组显然比本例解法要麻烦得多.跟踪训练4 关于x的方程x2 + 2(m 1)x+ 2m + 6= 0两个实根x1, x2满足x1< 2, x2>4，则 实数m的取值范围是.答案 g, 72解析 设 f(x) = x + 2(m 1)x+ 2m+ 6.，亠f2尸4 + 4(m 1 ” 2m+ 6< 0, 依题意有|f(4 尸 16+ 8(m 1 ” 2m+ 6< 0,6m + 6 < 0, 即|10m+ 14< 0, 解得m< 7.达标检测1 .若关于x的方程x2+ (m 1)x+ m2 2

9、 = 0的一个实根小于一1,另一个实根大于1,则实数 m的取值范围是.答案(0,1)解析 令f(x) = x2+ (m 1)x + m2 2，则由题意，f 1 = m2 m< 0,可得解得0< m< 1.f 1 = m2 + m 2< 0,2 .方程(2m + 1)x2 2mx+ (m 1)= 0有一正根和一负根，则实数 m的取值范围是 答案1, 1解析 方法一 因为方程(2m+ 1)x2 2mx + (m 1) = 0有一正根和一负根，所以判别式大于 零，同时两根之积小于零,2m + 1 丰 0,2所以4m 4 2m+ 1 m 1 > 0, m 1v 0,2m

10、+11解得qv mv 1.方法二 令 f(x) = (2m + 1)x2 2mx+ (m 1),若要使方程f(x) = 0有一正根和一负根，则有(2m+ 1)f(0)<0 ,1解得2<m<1.3.已知函数f(x)= x2 + mx 1,若对于任意x m, m + 1，都有f(x) v 0成立，则实数 m的取 值范围是.答案-#o解析 要满足f(x) = x2 + mx 1 v 0对于任意x m, m+ 1恒成立，只需5 v 0，f m+ 1 v 0,2m2 1 v 0,即 m+ 1 2+ mm+ 1 1v 0, 解得v mv 0.4 .在区间(1,2)上，关于x的不等式x2+ mx+ 4 > 0有解，则实数 m的取值范围为 .答案(5,+ )解析 记f(x) = x2 + mx+ 4,则由二次函数的图象知，f(1)>0或f(2)>0时，不等式x2 + mx+ 4>0 一定有解，即 m+ 5>0或2m+ 8>0,解得 m> 5.5.设函数f(x)= (m+ 3)x2 4mx+ 2m 1 , x R.若方程f(x)