毕业设计与论文（基于内点法的电力系统最优潮流算法研究）

1、本科毕业设计基于内点法的电力系统最优潮流算法研究南通大学毕业设计（论文）题目：基于内点法的电力系统最优潮流算法研究南通大学电气工程学院201年5月20日摘 要随着屯力系统规模的不断扩大，找到系统功率最优的运行状态也越发显得重要，电力 系统最优潮流计算的研究的重要性便也日益凸显。最优潮流实际上就是通过改变系统中的 控制变量，在达到一些相对的约束的条件的情况下，使得系统中的某一项指标运行在一个 最好的工作状态上。在各种最优潮流计算方法中，内点法，收敛快速，迭代的次数和系统 的规模没有什么关系，还不易岀错，这让内点法成为求解大规模电力系统最优潮流最为实 用的方法z。本文对原对偶内点法进行了详细的介绍

2、，给岀了其具体的数学推导公式，建立了电力 系统最优潮流的计算模型，合理的处理了各个等式、不等式约束条件。利用ieee-14标准 测试系统作为算例，使用matlab数学软件进行编程计算，验证本文提供的计算方法的止 确性。关键i司：电力系统，最优潮流，原对偶内点法，约束条件abstractwith the enlargement of power system scale, finding the most advantages of power system operation is also becoming increasingly important, so the importance

3、of studying on optimal power flow calculation of power system is becoming increasingly prominent. optimal power flow is actually under the condition of reaching some relative constraints, to make an index in the system operate in the best working state through changing the control variables of the s

4、ystem. in various methods of optimal power flow calculation, the interior point method, fast convergence and the number of iterations has nothing to do with the scale of the system and is not easy to make a mistake, which let the interior point method become one of the most practical method for solv

5、ing the optimal power flow in large scale power system. this paper introduces the primal-dual interior method in detail, then given the specific mathematical derivation formula and established optimal power flow calculation model, handling the various equality constraints and inequality constraints.

6、 then use ieee-14 standard test system as an example, using matlab programming mathematical computing software, verify the reasonableness of the calculation method the paper provide.key words： power systems, opf, primal-dual interior method, constraint conditions目 录摘 要iabstract ii目 录ii i1绪论11.1引言11.

7、2电力系统最优潮流计算的发展历史及现状11.3本文所做工作22、电力系统最优潮流算法介绍42.1最优潮流计算的基本数学模型42.1.1目标函数42.1.2等式约束条件52.1.3不等式约束条件52.2电力系统最优潮流的算法简介62.2.1线性规划法62.2.2二次规划法62.2.3牛顿法72.2.4内点法72.2.5电力系统最优潮流计算的新兴算法83、原对偶内点法93.1原对偶内点法的数学原理93.2目标函数的收敛条件123.3初值的选取123.4利用原对偶内点法进行潮流计算的方法134 基于原对偶内点法的电力系统最优潮流计算 154.1电力系统最优潮流计算中的各项数学模型154.1.1最优潮

8、流计算的冃标函数154.1.2最优潮流计算的等式约束条件154.1.3最优潮流计算的不等式约束条件164.2各项数学模型的具体表达164.2.1目标函数的各偏导数及相应矩阵164.2.2等式约束的各偏导数及相应矩阵174.2.3不等式约束的各偏导数及相应矩阵214.2.4对模型中各节点的不等式约束条件的处理244.3算例分析254.3.1 matlab 简介254.3.2具体的计算流程254.3.3 ieee-14标准测试系统运算结果265总结与展望295本文总结295.2今后展望29参考文献30附录ieee-14标准测试系统数据32致 谢错误!未定义书签。1绪论1.1引言在这个世界上，人们的

9、生活已经无法离开电能，电能也毫无争议地成为世界上最为重 要的能源。而作为负担电能产生、输送、分配以及消费的电力系统更是当今世界上最重要 也是最复杂的系统之一。如何合理的控制电力系统，使得电力系统运行在一个最佳的状态 （即电力系统的最优潮流计算）自然也就受到了国内外学者的广泛关注。所谓最优潮流，指的是在系统的结构参数以及各种负荷情况都给定的同时，通过调整 给定各种控制变量，在满足电力系统中所有约束条件的前提下使系统的某一项性能指标运 行在最佳状态时电力系统功率流的分布山。对电力系统的最优潮流的研究是研究电力系统运 行的重要组成部分之一，研究此类问题对在电力系统中如何在保证安全和电能质量的前提 下

10、达到电力系统最优的运行状态具有十分重要的意义。1.2电力系统最优潮流计算的发展历史及现状对于电力系统最优潮流计算的历史最早可以追回到第二i世纪。在当时，经典的经济 调度法因为具有计算简单，收敛速度快，适合实时性应用等优点，在当时被广泛应用于最 优潮流计算当中。而随着电力系统规模的不断扩大，经典的经济调度法已经很难完成当时 电力系统最优潮流计算的各项要求，这就促使研究人员不断寻求更加高效可靠的最优潮流 计算理论来代替经济调度法。随着计算机的高速发展，电力系最优统潮流计算进入了一个新的殿堂，计算速度十分 迅速的计算机使得大规模的最优潮流计算成为了可能。在初始阶段，人们普遍采用对计算 机内存要求较小

11、的导纳法（高斯塞德尔迭代法）来计算最优潮流。到了 20世纪60年代， 计算机的内存容量以及计算速度有了很大的提升，这使得对内存要求较高却具有比导纳法 更好的收敛性的阻抗法得到了广泛的应用。但是，随着电力系统规模的不断扩大，阻抗法 计算量大、对内存要求高的缺点乂再一次显现出来。为了克服这个困难，到了 70年代，人们又提岀了新的潮流计算方法牛顿拉夫逊法 （以下简称牛顿法）。在最优潮流计算理论当中，牛顿法是以节点导纳矩阵为基础的，利用 了稀疏矩阵的稀疏性直接对拉格朗口的kkt条件（karush-kuhn-tucker conditions,这是在 非线性规划中是否有最优解的一个充分必要条件）进行牛顿

12、法迭代求解。尤其是在采用了 最佳顺序消去法后，牛顿法在收敛性、对计算内存的要求甚至在整个计算速度方面都远远超过了阻抗法。直到今天，牛顿法仍然在被广泛的使用，广大学者还在牛顿法的基础上提 出了许多优秀的最优潮流计算方法。、到了 80年代，人们又提出了具有多项式的计算复杂性的内点法，成为了潮流计算历史 上的一次重大突破。近年来，基于内点理论的非线性规划法在最优潮流计算研究当中已经 得到了成功的应用®叫如基于l1范数模型和内点理论的潮流算法、基于taylor级数法的 最优潮流计算以及基于内点理论的半定规划法(sdp)等方法。以上理论都只是考虑到了电力系统处于稳定运彳亍的状态下的静态安全的约

13、束，但是电 力系统实际上是一个动态的系统，以上常规的方法很难对动态运行的电网的动态安全性做 出保证。因此在近几年，研究者己经开始把最优潮流中的暂态稳定的约束考虑到他们的研 究范围之中，并建立了与之对应的新的最优潮流模型。随着现代科学技术的发展，一些智能化的科学理论也被运用到了电力系统最优潮流计 算中来，这些算法一般被称为现代智能算法i，主要有具有全局收敛性的遗传算法、基于 群体智能演化计算技术的粒子群算法、以及模拟固体退火物理过程的模拟退火法等等i。虽然目前已经拥有了众多的计算理论与先进的计算工具，但是目前最优潮流在实时性 应用方面仍然面临着巨大挑战。这主要有两方面的原因：首先，随着社会的飞速

14、发展，电 力系统的规模也在相应地不断扩大，这直接导致了电力系统最优潮流模型里而所包含的各 种约束条件的数量也在不断地增加，计算量自然也会相应的不断增加，这使得最优潮流的 计算速度相对变得缓慢，无法在短吋间内完成优化，即无法满足实时性要求。其次，目前 绝大多数最优潮流理论的数学模型只是考虑了系统处于正常状态下的约束条件i，如果考 虑到故障状态下的约束条件的话，最优潮流计算的计算量毫无疑问将变得更加巨大，其收 敛时间也会变得更加漫长。因此，对电力系统最优潮流计算的研究仍将是一个漫长的道路。 1.3本文所做工作本文主要对电力系统最优潮流的计算方法进行了简要的分析，并做了以下工作：(1) 简要的介绍了

15、电力系统最优潮流计算的意义及其发展历程。(2) 介绍了目前电力系统最优潮流计算的几种常见的计算方法。(3) 详细的介绍了原对偶内点法，给岀内点法的具体数学推导公式，确认其障碍参数、 迭代步长以及计算初始值，判断其收敛条件，简化修正方程以减少计算步骤，提高整体计 算速度。(4) 基于原对偶内点法建立电力系统最优潮流的计算模型，确定系统的目标函数、各 等式、不等式约束条件，然后进行电力系统最优潮流计算，最后利用数学计算软件计算最 优潮流验证该算法的正确性。2、电力系统最优潮流算法介绍电力系统最优潮流计算最早是在上个世纪60年代被提出，后来经过各国学者几十年的 不断研究完善，目前己经出现了许多优秀的

16、最优潮流计算方法，主要有：线性规划法、二 次规划法、牛顿法、内点法以及新型算法等。下文将简要的介绍这些方法。2.1最优潮流计算的基本数学模型目前电力系统最优潮流的数学模型主要是基于以下儿个条件而建立的：（1）投入运行的火电（核电）机组已知（不解决机组停开问题）；（2）各个水电机组的出力已经确定（由水库经济调度决定）；（3）电力系统网络的结构已经确定（不考虑接线方式以及网络变化问题）l，3jo在数学表达上，最优潮流的问题就是一个带着约束条件的优化问题，其主要的构成主 要有：目标函数、等式约束条件和不等式约束条件这三部分。2.1.1冃标函数在电力系统最优潮流计算之中，有着很多的目标函数，最常见的有

17、系统运行成本最小 和系统有功传输功率的损耗最小两种。电力系统最优潮流模型中目标函数的一般数学表达 式为：min ./（x）（2-1）在上面的表达式中，兀二兀.兀,£为控制变量，主要是各机组的有功/无功出力、变 压器抽头的位置、并联屯抗器/电容器的容量等等；兀为状态变量，主要是各个节点的电压、 各条支路的功率等。在电力系统中，对于有功优化的目标函数一-般是求得发电机发电成本达到最小，其目 标函数的表达式为：min /，（x） = min+z?几+cj（2-2）/=i上式中，q, bi9 c,分别是发电机成本函数的二次项系数、一次项系数以及常数，g 为发电机个数。对于电力系统无功优化的目

18、标函数一般是使得系统中的网损达到最小，相应的目标函数可以为：min/(x)二min 工(坊+ ©)/=|式中，p为各线路损耗。2.1.2等式约束条件(2-3)最优潮流的等式约束条件主要为潮流计算中基木的潮流方程式，可表示为：/z(x) = o(2-4)上式中，兀=兀.兀。在计算模型中，相应的约束条件可以为:qg, - qi、= qi(2-5)式屮，pg, 2：为发电机对节点i发出的功率；0,为节点i的负荷吸收的功率；pq为节点i的净注入功率。2.1.3不等式约束条件电力系统最优潮流计算中的不等式约束主要有：(1) 各发电机以及无功补偿装置出力的上下限。(2) 各变压器变比的上下限。(

19、3) 各节点电压幅值的上下限。(4) 各节点之间电压相角的上下限(5) 各条支路功率的上下限。上述不等式约束可以用以下的数学表达式概括：g<g(,v)<g(2-6)上式中，x = xc xs, g > g分别为g(x)的上下限。因此，电力系统最优潮流的基木数学模型可以用下面的表达式表示:(2-7)min./(x)/?(%) = 0g<g(x)<g2.2电力系统最优潮流的算法简介电力系统最优潮流的计算是一个复杂的非线性计算问题，目前经过国内外学者多年的 研究，提出了许多计算方法，下文将介绍几种常见的最优潮流计算方法。2.2.1线性规划法在数学上，电力系统最优潮流问题

20、是一个经典的非线性问题，而线性规划法就是将这 个非线性问题转化成线性问题进而求解出最优潮流的计算方法。该方法通常将一个非线性 问题分成若干小段，并在该小段内利用线性化的方法求得近似解。每段分得越小，那么每 段之内的非线性问题也就越接近线性问题，从而利用线性规划方法求得的近似解也就越接 近于该非线性问题的真实解。因此，只要每小段分得足够小，利用线性化的方法求得的结 果就能够满足计算精度的要求。线性规划法在1968年由威尔斯首次提出并用这个方法来求 解安全约束的经济调度问题l，4jo 1970年，shen和laughton提出利用对偶线性规划技术，采 用修正单纯形法求解最优潮流“铁此方法原理简单，

21、能够快速地处理各种计算，但是精度 差，并且计算规模变大以后收敛性也变的很差，无法适用于大规模电力系统计算当中。2.2.2二次规划法从木质上来说，二次规划法是非线性规划法中的一种特殊情况，只有当目标函数的表 达形式接近二次函数的时候，这种计算方法才可以适用于最优潮流的计算。1973年，reid 以及hasdorf z1人最早提出用二次规划法来求解最优潮流的经济调度问题，这个方法引用了 人工变量把目标函数近似成二次函数，然后用泰勒展开式把约束条件线性化，最后用线性 规划方法中的弗兰克沃尔夫算法解得最优解，该算法的收敛性不受步长和惩罚因子的影响, 但计算时间会随着系统规模的增大而明显延长，并不适合求

22、解大规模电网的最优潮流。 直到1982年，利用二次规划法进行最优潮流计算的研究才得到了突破性的进展，burchett 等人将原来的非线性模型分解成为一系列二次规划的子问题，然后运用增广拉格朗日法从 不可行点寻找原问题的最优解，最后他们用2000节点的系统测试证明了算法的运算速度和 鲁棒性都有了很大的提高"i2.2.3牛顿法david sun等人在1984年提出了利用牛顿法求解最优潮流以用來优化电力系统的无功 功率，此方法的提出使得最优潮流算法应用于实际成为了可能，是最优潮流实用化的一次 巨大的飞跃i。这种方法使用了拉格朗日法处理潮流计算模型中的等式约朿，利用惩罚函 数处理不等式约束，

23、还把牛顿法与电力系统节点导纳矩阵的稀疏性结合起来，减小了最优 潮流计算的计算量。牛顿法的优点是收敛速度快，利用了稀疏技术节约内存，适用于大规 模电力系统的最优潮流计算。但牛顿法也存在着一些缺点，首先就是难以确定“起作用的不 等式约束集，所谓起“作用的不等式约束集=是指最优解正好处于由某个约束集所定义的 可行域的边界上，则这个约束集就称为起作用的不等式约束集。其次，在每次迭代的过程 中，牛顿法都需要计算相关的海森矩阵以及其逆矩阵，计算量颇大。尽管牛顿法有着上述 的缺陷，但是具有稀疏矩阵的特点让牛顿法在最优潮流的计算上仍然有着巨大的优势，至 今仍有不少学者在关注着此类方法。2.2.4内点法内点法最

24、早是在1954年由frish提出呦，但是由于当时科学计算技术的限制，内点法 并不能与当时主流的计算方法相比，在当时没有得到很好的发展。直到1984年karmarkar 提出了一种具有多项式计算复杂性的内点法，对内点法的研究才算真正的得到了突破。该 方法的计算速度超过当时常用的最优潮流计算方法单纯形法50倍以上。目前内点法已经被 广泛的应用于电力系统最优潮流计算当中，成为目前最优潮流计算的主流算法之一。从本质上讲，内点法就是牛顿法、对数障碍函数法以及拉格朗h函数法这三种方法的 结合，其基本的思想是从可行域内的一个内点岀发，接着沿着可行域的方向找到使目标函 数下降最快的新的内点，然后从这个新内点继

25、续沿着可行域的方向找到使目标函数下降最 快的新内点，如此周而复始，直到目标函数达到最优值呦。内点法具有计算速度快、迭代 次数与系统规模不大、对初值要求不高、数值鲁棒性强等优点，因而受到了广大学者的密 切关注。经过国内外学者多年不断的研究，目前主要形成了三大类的内点算法：（1）、投影尺度法；（2）、仿射尺度法；（3）、路径跟踪法（原对偶内点法）创。当然，内点法也存在着许多不足之处，如对于原对偶内点法，其对偶变量的初值以及 修正变量的参数的选取尚无统一的选取方法，这些参数都需要使用者根据经验给出，没有 规律可循。此外，在迭代时步长的选取、各个离散变量的处理等方面，内点法仍然无法给 出具体明确的方法

26、。内点法仍然需要广大学者的进一步探索研究。2.2.5电力系统最优潮流计算的新兴算法最优潮流的新兴算法起源于20世纪80年代，这类计算方法主要是基于一定的自然现 彖或者原理而建立的，因此，此类算法一般被称作智能优化算法却。与传统的潮流计算方法相比，新型的智能优化算法在数学方面与导数无关，求解的效 率高，对于复杂优化问题的求解，与传统的计算方法相比更是具有无可比拟的优势。目前, 此类算法已经引起了国内外学者的广泛关注与研究。目前，智能算法已经成功应用在了电 力系统最优潮流的求解上也取得了不错的效果2役在智能优化算法中比较具有代表性的算 法有：遗传算法、拟退火算法、粒子群算法、人工免疫算法等ml。3

27、、原对偶内点法在内点法理论之中，原对偶内点法已经在理论上被证明其具有收敛快、精度高，稳定 性好等优点，冃前己经被广泛运用于最优潮流计算当屮，并逐步取代了其他传统的算法， 成为最优潮流算法中的主流算法之一。3.1原对偶内点法的数学原理最优潮流问题是一个典型的非线性规划的问题，其数学模型可用前文描述的表达式 (2-7)表示，即：min./(x)/z(x) = og<g(x)<g用原对偶内点法求解上面的方程时，可以先对上面的数学模型进行一些处理。(1) 引入松弛变量将约束条件屮的不等式约束变成等式约束；(2) 引入对数障碍函数把对松弛变量非负的要求给消去。则(2-4)式可以化为如下形式：

28、/ rr、min / (兀)- 工 in+ 工 in s2i /=1/=1丿s.t h(x) = q(3-1)g(x)-si-g=o上式中，si > 0 , s2i > 0 , s =didg(s|,s|2，.sr) , s2 = diag(s2,s22,.s2r),为松弛 变量；“表示障碍参数。对(31)这样的表达式可用拉格朗日法求解，对(31)构造拉格朗日函数可得：£ = /(x)-/sh. + lns2i -加(兀) /=iz=i )(3-2)一兀 g(x)_s_g -v g(兀)+ s2g一式中，2工0、兀>0、v<0,是拉格朗日乘子，也被称为对偶变量

29、，兀、&、s?被称 为为原变量。要求得(3-2)式的最优值，则(3-2)式应满足以下的kkt条件：厶悄"丿-化吃)-*(兀)(龙+沪06 =务=力(对=°(3-3)0=| = g(x)_s|_g = ol、, =| = g(x) + s2_ = 03lls = = 7t = 0=> ls = s7ve jlie = 0ds |ls2 二 = v += 0 => ls2 =s2ve + pe = o上式中,s =diagsn,s2 slr, s2 = diags2i,s22 s2r, 7t = diag叭兀龙v = diagvl,v2,匕,w = l,ll

30、7 (共 r 个 1)。显然，(33)这个kkt条件是一非线性方程组，我们可以用牛顿法处理上面的方程组。首先将(33)线性化，可以得到：vy(x)-v>(x)2-v(x)( + v)a,(3-4)一 vt7? (x)aa-vvg (x) (% + w) = -lx v/(x)ar = _® vxg(x)-as=- vxgg + g =-厶 zas| + sj att = l、 pas： + s-)a v = l*可将上面的方程组表达成矩阵的形式，稍加整理后可以得到: 57t0000 龙- ls、0-100w)0s|%00v00avls20001w)0as.sd0s)0h%(兀)

31、40000v/(x)0_a2_la _(3-5)在上式屮：h 二一v；/(x)+v；/z(x)2+v；g(x)(;r+i/) o通过消元法将(3-5)的系数矩阵化成行阶梯形，则可以得到修正方程:$710000 _-如0-1005)0s|0052v00av-厶200015)0a52s0000h'v/（兀）ax0000v/(x)0_aa_l(3-6)在上式屮：=（兀）（s s；v）；厶:=厶+ j 屏（ls +仏）+ s：（仏-仏）要求解上述的矩阵方程，我们可以先求解其中的一个子矩阵：v/（兀）_ar_v/（x）0_aa_.la_求得山与zu,然后带入（3-6）求得其他解。求得结果为:ar

32、 = vv/2(x)_1(-ljaa = l： - wz(x)-1 (la ) (x)-1s| 乂+*(x)心“ = (-sf)a+sjas2=-lv-vxg(x)ax 一 (-sj(%+s2)如此便可以求出修正变量的值，将初始值加上修正量便构成了新一次迭代的初始值。 为使方程能够正确快速的收敛，还应确定每次迭代的修正量的步长，即修正量前乘以的系 数。由此可知第k+1次迭代的初值可以由下列表达式确定：(3-8)ak+l =才 + 0a2 屮=郃+衣迢 严=+阻兀 s/+, = s/ + ons,0忙+1二忙+阻九在上式中，仅是原变量的迭代步长；0是对偶变量的迭代步长。对于这两个值，可以 按照以

33、下方式选取步长勿：a = 0.9995 min< min (-s. ) / as. ; minu 丿 *« a52.<0阴<0 0 = 0.9995 min f吧(一厲)/ 眄;min (匕)/匕;1.0岭 <0、7根据（3-8）与（3-9）的算式不断更新下一次迭代的初值并带入（36）正量，如此反复迭代，直到求得最优解。3.2目标函数的收敛条件由（25）式可以知道，求解最优潮流就是要求目标函数/（兀）的最优值,对偶内点法求得的是下面函数的最优值。/-“ £lns“+£lns2i(3-9)中求得新的修而我们通过原(3-10)根据fiacco以

34、及mccormick的理论绚，在迭代的过程中，如果/递减到0,那么（3-10）的最优解就是/（无）的最优解。因而当我们求解（310）的时候希望能够在迭代的过程屮将 障碍参数给消去，即在迭代过程屮“的取值可以收敛为0。要确定“的取值，我们可以将 表达式（3-3）中的第五、第六项联立起来，得到：3l一汹 一応= =1 2 71 = 0 二> 厶= s严-jue = o=v + “sj = 0 => ls = s2ve + “w = 0(3-11)可以解得：» = 如,其中gap二sd，称为互补间隙。迭代过程中，厂的值为方2r程的个数，是确定的。故迭代中只要确定gap为收敛为0

35、,那么就可以确定/（*的最优解to在本文中，将采用以下计算方法确定障碍参数使得目标函数快速收敛，即: gap在上式中，为中心参数，在本文中a = 0.09 o(3-12)3.3初值的选取在原对偶内点法潮流计算理论中约，初值的选取只要满足两个非负的条件即可，即要求：s > 0; s? > 0v7r>0;v + 7r>0对于其他方面则没有什么严格的要求。3.4利用原对偶内点法进行潮流计算的方法利用原对偶内点法进行潮流计算的步骤如下：(1) 设置原变量、对偶变量的初值，迭代次数k=0,最大迭代次数，精度等数据；(2) 确定最优潮流计算的目标函数，等式约束条件以及不等式约束条件

36、；(3) 引入松弛变量和对数障碍函数，将不等式约束条件化为等式约束条件；(4) 利用拉格朗日函数，消去最优潮流计算模型中的等式约束条件；(5) 写出(3-2)式最优解的kkt条件，并将其线性化得到(3-6)式；(6) 计算互补间隙、障碍参数，如果障碍参数小于给定精度，则停止循环，输出潮流 计算的最优解，否则进行下面一步；(7) 求解修正方程(3-6)得到各个修正变量；(8) 利用(3-8)式解得新一次迭代的原变量与对偶变量；(9) 使k二k+1,然后回到第六步进行新一次的迭代计算。就这样反复的迭代，直到计算结果满足精度的要求，从而解得潮流计算的最优解。 计算流程图为：结束图31原对偶内点法计算

37、流程图4. 基于原对偶内点法的电力系统最优潮流计算在电力系统最优潮流的计算中，原对偶内点法由于那收敛速度快、对初值要求不高、 鲁棒性强、迭代次数与系统规模无关的优点，而被广泛的应用于电力系统最优潮流计算当 中j下文将对其在电力系统最优潮流计算中的应用作简单的介绍。4.1电力系统最优潮流计算中的各项数学模型4.1.1最优潮流计算的目标函数在实际应用中，一般会把发电成本最小或者有功功率的损耗最小这二者之一作为目标 函数，在本文屮，以求得电力系统中最小的发电成本为最优潮流计算的fi标函数，即本文 所要求解的目标函数的数学模型为：min /(x)minf 用+切佗+cj /=!(4-1)上式中，y,勺

38、，q分别是发电机成本函数的二次项系数、一次项系数以及常数，g为 发电机个数。除以上两种目标函数之外，也还有一些其他的目标函数，在此就不一一叙述。4.1.2最优潮流计算的等式约束条件最优潮流模型中的等式约束的条件主要为电力系统中的功率平衡，用极坐标可以表示 为：pgi -（g<7 cos. + b. sin<.） = 0：（4-2）q© 一 qu -vi£vjg sin 爲 一 b. cos爲）=0戶i式中，pgi，qg,分别为对应发电机的有功、无功输出；pu，qu分别为对应节点的有功、 无功负载；匕，匕分别为相应节点的电压幅值；g., d分别为节点i与节点j之间

39、的电导 与电纳；爲为节点i与节点j之间的相位差。4.1.3最优潮流计算的不等式约束条件最优潮流计算的不等式约束有很多，如发电机的出力限制、变压器分接头限制及其负 载限制、各个节点的电压限制，各条线路的电流以及功率限制等等。拥有这么多的不等式 约束，如果全部考虑进潮流的最优计算当中，那么最优潮流问题将变得无比的复杂，甚至 无法完成最优计算。在本文中为了简化计算，故只考虑几个比较常见的约束作为不等式约 束的条件。本文打算将以下的不等式约束考虑到计算当中：(1) 、发电机的有功、无功出力的最大最小值；(2) 、节点电压幅值的最大最小值；(3) 、线路传输电流的最大最小值(即线路功率的限制)。对于其他

40、的不等式约束条件，为了计算方便暂时不考虑进本文的潮流计算当中。上述 不等式约束条件用数学表达式可以表示为：maxgmin gi gmax(4-3)limin<1li max4.2各项数学模型的具体表达利用原对偶内点法进行潮流计算中的各个修正变量可以通过(3-6)来求得，下面介绍 原对偶内点法中各项数学表达式的具体表达。假设整个系统中有n个节点，g台发电机，1 条支路，p台无功补偿设备，那么，状态变量的个数尸(2nl+g+p)，等式约束条件的个数 b二2n,不等式约束条件的个数c=(n-1 +g+l+p)。4.2.1目标函数的各偏导数及相应矩阵目标函数的一阶偏导数和雅可比矩阵为j(4-4)

41、讥df相应的二阶偏导数和海森矩阵为i:d2f37d2f97dpqgdpgdvdpgdd2fa2/dfa2/qcdpgbq：qgdvdqcdd2fa2/9797dvdpgdv23v36d2fa2/d2f97ds)pgd(sqgds)v站2刃/（兀）=0其中，m4.2.2等式约束的各偏导数及相应矩阵等式约束条件的一阶偏导数和雅可比矩阵为:oqg如°q(;bhp av 弘q av叫、%0eq(x)'2m000000000000、000丿敗1叫）%0心2%bqg2%dhp2°hp2弘q2"q2%q2 d巴2 ，eq (兀)=oqgi3qg2 % %d"(

42、?n% 观2dp(.gg丿hxg%'ahp、dhpldhpi、(dhpdhpl dv2d匕dhp2dhp2dhp2dhp2dhp2dhp2 dv2 ,j = dhpn ahpn bhpn 1 3dv2%(“-if辺丿丿bxa其中,ep(x) =h =（/】一1）(4-5)(4-6)qi 弘qi ' 丽t"弘qi 妬 弘qi ' %,l =%q2 % % 兀(1)2% <w %(“-1)2n_ dhpi ij=wdhoiy dv.j-匕 ( gq cos % + bg sin 巧)-匕5 - e % g cos + bjk sin 4) "1-v

43、,vj(g” sin 3tj 一 b. cos 爲)0 场+ %£%(gn 厶-$cos 瓦) 一匕匕(g” cos q + bq sin 爲)vibnsin 8ik - bik cos 8ik).a：=lvy.(g,. cos 8tj + b. sin 爲)v：g“-v±v,(q cos8ik + bik sin心)k=(d(i)当n从1到n时,等式约束的二阶偏导数和其海森矩阵为:a%»i®d2hpihpjdpgdpgvdpgd3%d2hpi%pgqgdqgd3d2hpi%d2hpj巩dpgdvoqgmdv2dvgd6d2hpiigd2hpibp,dp

44、gdsd6gdvdj2000.0000000ft0、 0 c d/ ax.a/axa(4-7)其屮：f、 c、 t、(ih j,k = i) j，k = j)(2 h j h £) (i= j,ihk)'bhpi込、(dhpjdhpi引5 )州2dvdv2dvqqdv（d2dhpjdhpi%bigdhpidv2dvd冷 ,c =dv2ddv2d62 dhpjdhpi dhpjdhpj bhpi此0训q叱）("-1)2此“2也辺丿("pibig3hpi(dhpidhpidig )ddv23弼oh pidhpi°hpidhpids2dvl362dv2

45、 ,d =d32d3 ohpiohpi dhpidhpibhpi dhpil辺训("1)2l辺阿遞丿d的具体数学表达式为:一 (gtj cos d + bq sin 爲)(i# j,k = i)d2h 0(&j，k = j)0 <0(ih jwk)dv.dvkjk-(qcos“ + esinj(i = j,i $ k)2gtju = j = k)匕(g» sin % - bg cos %)(iw j,k = i)d2h .vi (-g/7 sin £ + bq cos %)(i * j，k = j) =< dvd a0（z工丿h “）j k%(

46、-qsin4+$cosj(i = j,ihk)v凤 + 工 (g,. sin 6 - b. cos 戈)(i = j = k)c/=!一匕 (gjj sin 3i 一 bq cos 爲) 一岭(g“sin 爲一 b"cos%) 0匕(q sin益-乞 cos%)也,+ £匕g si吃-场cos %)1=1-匕(g：j cos % + bq sin 爲) v；匕(g"cos 爲+ sin 爲) 0-叫 g cos%. + $sin 厲)j,k = i)(i 工 j $ k)(i = j,ihk)-匕乜 + 匕工匕(g,cos® + bu sin®

47、)(i = j = k)f=l当n从n到2n时，等式约束的二阶偏导数和海森矩阵为:叽）j s 蒔"qidpgdvdpgd&qqpgbq：辺m辺g”d%d%dvdpcdvdqcav23v360九，b&qgds)v2ddpg其中：dv2dvqi，丽%弘a%ddv a%ddv2“qid2dvds2dv2%t =d戈3%丽dv2d（小0000000000ft00cdaxa0%3%d%训辺dv2d2 % %3w旳“2axa弘a厂%，(4-8)d/zw 丿(,1)2f、c、t、d的具体数学表达式为:-gfj sin 6 + bjj cos 爲j,k = i)0(&j，k = j)0(i h j h £ )-sin 厶+ b cos 心(i = j,ih k)2q(i = j =町一匕(g“ cos 爲 + b.j sin 爲)(i# j,k = i)匕 (gtj cos 爲 - by sin 爲)(i 主 j,k = j)0ghk)% g cos 心+ e si吃)(i = j,i 工 k)也j-£%gcos