代数式的化简求值问题

1、.第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1 “代数式 ”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例 1 若多项式 2mx2x25x 8 7 x23 y 5x 的值与 x 无关，求 m 22m25m 4 m 的值 .分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为 2mx2x25x87x23y

2、5x28x23y8m所以m=4将 m=4 代人， m22m 25m 4 mm 24m 416 16 44利用 “整体思想 ”求代数式的值例 2x=2 时，代数式 ax 5bx3cx6 的值为 8，求当 x=2 时，代数式 ax 5bx 3cx6的值。分析： 因为 ax5bx3cx68当 x=2 时， 25 a23 b2c6 8得到 25 a 23 b 2c68 ，所以 25 a 23 b2c8 614当 x=2 时， ax5bx 3cx6 = 25 a23 b2c6( 14)620例 3 当代数式 x 23x5 的值为7时 求代数式3x29x2的值.,分析：观察两个代数式的系数-0-/5.由x

3、2357得 x23x 2 ，利用方程同解原理，得 3x29x 6x整体代人，3x 29x24代数式的求值问题是中考中的热点问题， 它的运算技巧、 解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。例已知a2a10，求 a32a22007 的值 .4分析：解法一（整体代人）：由a2a1 0 得 a 3a2a 0所以：a32a 22007a3a2a22007解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。2aa 220072由aa110 ，得a1a，2007所以：322007a2008aa2 a2a22007解法三（降次、消元）：a 2a 1（消元、减项）(1a

4、)a2a22007a3a2a22a220072aa22007a3a222007aa2007a(a21200722007a)a2008aa20071 20072008例 5 （实际应用） A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200 元； B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50 元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？分析：分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入（元）第一年：A 公司10000； B 公司5000+5050=10050第二年： A 公司10200； B 公司5100+5150=10

5、250第 n 年： A 公司 10000+200(n1）；B 公司： 5000+100( n1)+5000+100( n1)+50=10050+200( n1)由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多 50 元，如不细心考察很可能选错。-1-/5.例 6 三个数 a、 b、 c 的积为负数，和为正数，且abcabacbcxbcabac，abc则ax 3bx 2cx1 的值是 _ 。解：因为abc<0，所以 a、 b、 c 中只有一个是负数，或三个都是负数又因为 a+b+c>0 ，所以 a、b、 c 中只有一个是负数。不妨设 a<0， b>0， c>0则 ab&

6、lt;0， ac<0，bc>0所以 x=1+1+1 11+1=0 将 x=0 代入要求的代数式，得到结果为1。同理，当b<0， c<0 时， x=0。另：观察代数式a b c ab ac bc，交换 a、b、 c 的位置，我们发现代a b c ab ac bc数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c 再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。规律探索问题：例 7如图，平面内有公共端点的六条射线OA， OB，OC，OD ，OE，OF ，从射线 OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6， 7， B8A（ 1）

7、 “17在”射线_上，721“ 2008在”射线 _上C93F64 O12（ 2）若 n 为正整数，则射线 OA 上数字的排列规律可以用含n 的10511代数式表示为 _ DE分析： OA 上排列的数为：1， 7，13， 19，观察得出，这列数的后一项总比前一项多6，归纳得到，这列数可以表示为56n因为 17=3×61，所以 17 在射线 OE 上。因为 2008=334×6+4=335×62，所以 2008在射线 OD 上例 8 将正奇数按下表排成5 列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119-2-/5.第三行17192123第四行31

8、292725LLL根据上面规律，2007 应在A125 行,3 列B. 125 行,2 列C. 251 行,2 列D.251 行,5列分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找第三列数： 3， 11， 19，27， L规律为 8n 5因为 2007=250 ×8+7=251 ×81所以， 2007 应该出现在第一列或第五列又因为第 251 行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，所以 2007 应该在第 251 行第 5 列例 9（2006 年嘉兴市）定义一种对正整数n 的 “F”运算：当 n 为奇数时，结果为3n 5；nn当 n 为偶数时

9、， 结果为 2 k（其中 k 是使 2 k为奇数的正整数） ，并且运算重复进行 例如，取 n 26，则：F13F44F2611若 n 449，则第449 次 “F 运算 ”的结果是 _ n分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算， 即当 n 为偶数时， 结果为 2 k （其n中 k 是使 2k 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。 449 奇数，经过 “F ”变为 1352；1352 是偶数，经过 “F ”变为 169， 169 是奇数，经过 “F ”变为 512，512 是偶数，经过 “F ”变为 1， 1 是奇数，经过 “F ”变为 8， 8 是偶数，经过 “F ”变为 1，我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、 8 的交替循环。