文科立体几何知识点方法总结高三复习考试

1、立体几何知识点整理l m直线和平面的三种位置关系:1.线面平行ml /l方法二：用面面平行实现。 l/2.线面相交符号表示:符号表示:二平行关系:1.线线平行:方法一：用线面平行实现。l /方法二：用面面平行实现。7/方法三：用线面垂直实现。若 I ,m ,则 l / m。方法四：用向量方法:l ml m若向量l和向量m共线且I、m不重合，则l/m。2.线面平行：方法一：用线线平行实现。二三 m''7方法二：用面面垂直实现。l /用平面法向量实现。若n为平面的一个法向量,l,则 l / 。3.面面平行：方法一：用线线平行实现。l /l'm/ m'l ,m 且相交

2、 l',m' 且相交线面平行实现。l /m/方法/11 m 且相交三.垂直关系：1.线面垂直：方法一：用线线垂直实现。l ACl ABl AC AB AACl ABl m, l11 / 9方法二：向量法。转化为向量的夹角2.面面垂直：方法一：用线面垂直实现。（计算结果可能是其补角）：AB ACcos AB AC（二）线面角方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。（1）定义：直线l上任取一点P （交点除外）, 作PO 于O,连结AO ,则AO为斜线PA在面 内的 射影， PAO （图中）为直线I与面 所成的角。方法二：三垂线定理及其逆定理。方法三：用向

3、量方法:POl OAll PA若向量l和向量m的数量积为0,则I m。 三夹角问题。（一）异面直线所成的角：（1）范围：（0,90（2）求法：方法一：定义法。步骤1:平移，使它们相交，找到夹角。范围：0 ,90 当 0时，l 或丨当 90时，l（3）求法：方法一：定义法。步骤1:作出线面角，并证明。步骤2:解三角形，求出线面角。（三）二面角及其平面角（1）定义：在棱I上取一点P,两个半平面内分别作I的垂线（射线）m、n,则射线m和n的夹步骤2:解三角形求出角。（常用到余弦定理）余弦定理：2 I 2 2a b CCoS2ab（计算结果可能是其补角）范围：0,180（3）求法：方法一：定义法。步骤

4、1:作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。步骤2:解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步骤1:如图，若平面 PoA同时垂直于平面 和，则 步骤1:过点P作PO 于O,线段PO即为所求。 步骤2:计算线段PO的长度。（直接解三角形；等体积法 和等面积法；换点法）2 .线面距、面面距均可转化为点面距。交线（射线）AP和AO的夹角就是二面角。步骤2:解三角形，求出二面角。3 .异面直线之间的距离方法一：转化为线面距离。步骤一：计算方法三：坐标法）。Ir UDn1n2步骤二：判断与Ir IUn n2的关系，可能相等或者互补。四距离问题。1 .点面距。方法一：几何法。Pm如图，m和n为两条

5、异面直线， n且m则异面直线 m和n之间的距离可转化为直线 m与平面 之间的距离。方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。C如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，mm', 则异面直线m和n之间的距离为：d c2 a2 b2 2abcos高考题典例考点1点到平面的距离例1如图，正三棱柱 ABC AlBlCl的所有棱长都为2 , D为CC1中点.(I)求证： AB1丄平面A1BD ； (U )求二面角 A AD B的大小；(川)求点C到平面ABD的距离 解答过程(I)取BC中点O ,连结AO QA ABC为正三角形，AO丄BC 于F ,连结Q正三棱柱ABC A BC1中，平面ABC

6、丄平面BCC1 B ,AO丄平面BCCIBI 连结B1O ,在正方形BBlCIC中，O, D分的中点，BQ丄BD , AB1丄BD 在正方形 ABBIA中，AB1丄A1B ,AB1丄平面ABD ()设AB1与AB交于点G ,在平面ABD中，作GF丄ADAF ,由(I)得 AB丄平面ABD AF丄AD , AFG为二面角A AD B的平面角.在厶AAD中，由等面积法可求得 AF 4-5 ,5又 QAG 1AB1 . 2 , Sin / AFG AG-2 0 2AF 4“545所以二面角A A1DB的大小为arcsi4（川） ABD 中，BDA1D5, AB25,S ABD6 , Sa BCD 1

7、 在正三棱柱中， A到平面BCC1B1的距离为 3 设点C到平面ABD的距离为d 由 VAl BCDVCAlBD,得 /BCDg 33Sa ABDgd，点C到平面ABD的距离为考点2 异面直线的距离又 EF 卞 6, S SEF 3由于 VC SEFVS CEF1 SSEF h，即 1 3h，解得 h故CD与SE间的距离为.3考点3 直线到平面的距离如图，在棱长为2的正方体ACI中，G是AA的中点，求BD到平面GBIDI的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解解答过程：解析一 BD /平面GB1D1,BD上任意一点到平面GBiDi的距离皆为所求，以下求点O平面GB

8、1D1的距离，Bi Di Ai G , Bi Di Ai A, Bi Di 平面 A ACCi,又Bi Di平面GBi Di平面AACCiGBi Di ,两个平面的交线是OiG ,例2已知三棱锥S ABC ,底面是边长为4.、2的正三角形，棱 SC的长为2,且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.解答过程：如图所示，取 BD的中点F ,连结EF，SF，CF ,EF 为 BCD 的中位线， EF / CD, CD /面 SEF, CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又 线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h,由题意知，BC 4 2,D

9、、E、F分别是AB、BC、BD的中点，CD 2 6, EF 1CD , 6,DF . 2, SC 2 2VS1 1CEFEFDF SC16 2 22.33 2323在RtSCE 中，SESC2CE22 3在RtSCF 中，SFSC2CF24 24 2.30作OH OiG于H ,则有OH 平面GBI Di ,即OH是O点到平面GBQi的距离.在O1OG中,S OiOG-OiO AO -2 .2. 2 .2 2又 S OiOGAA_2 OH OiG -3OH.2, OH d3即BD到平面GBiDi的距离等于解析二 BD /平面GBiDi ,BD上任意一点到平面 GBiDi的距离皆为所求，以下求点

10、B平面GBi Di的距离.设点B到平面GBiDi的距离为h ,将它视为三棱锥 B GBiDi的高，则VB GBiDiVDi GBBi,由于SGB i DiVDi GBBi-i 2 2 2 -i32342、6一 63即BD到平面GBiDi的距离等于 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距考点4异面直线所成的角 例4如图，在RtAAOB中， QAB ,斜边 AB 4 . Rt AQC可以通过Rt AOB以直线 AQ为轴旋转6得到，且二面角BAQC的直二面

11、角.D是AB的中点.(I) 求证：平面CQD 平面AQB ；(II) 求异面直线 AQ与CD所成角的大小.解答过程：(I)由题意，CQ AQ , BQ AQ ,BQC是二面角B AQ C是直二面角，CQ BQ ,又 QAQI BQ Q , CQ 平面 AQB,又CQ 平面CQD . 平面CQD 平面AQB .(II)作DE QB ,垂足为E ,连结CE (如图)，则DE / AQ ,CDE是异面直线 Ao与CD所成的角.在 RtACOE 中，CO BO 2 , OE IBO I , CECO2 OE25 .2又 DE 1AO 3 .在 Rt ACDE 中，tanCDE CB5 岀2DE 33异

12、面直线AO与CD所成角的大小为arctan5 3小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三一般来说,平移法是最常15 / 9用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法同时要特别注意异面直线所成的角的范围:考点5直线和平面所成的角例5.四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD .已知 ABC45o, AB面B故 SA AD ,由 AD BC2.2 , SA .3 ,

13、 AO得 SO 1 , SD .11 . SAB的面积S1连结 DB ,得 DAB 的面积 S21 ABgAD Sin135°22-SOgS2，解得 h 2 .3设D到平面SAB的距离为h ,由于VD SAB VS ABD ,得hgS3设SD与平面SAB所成角为,则 Sinh 2SD 1111所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin-22 小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造一一作出斜线与射影所成的角，证明一一论证作出的角为所求的角,计算一一常用解三角形的方法求角，结论一一点明直线和平面所成

14、的角的值考点6 二面角例6.如图，已知直二面角PQ , APQ , BBAP45o ,直线CA和平面 所成的角为30o. (I)(II)求二面角B ACP的大小.过程指引:(I)在平面内过点C作CO丄PQ于点O因为丄,IPQ ,所以CO丄,又因为CA CB ,所以OA OB .而 BAO45° ,所以ABO 45o, AOB 90°,连结OB .从而BO丄PQ ,又CO丄PQ , 所以PQ丄平面OBC 因为BC 平面OBC ,故PQ丄BC .(II)由(I)知，BO 丄 PQ ,又 丄，I PQ ,BO ,所以BO丄过点0作OH丄AC于点H ,连结BH ,由三垂线定理知，B

15、H丄AC 故BHO是二面角BAC P的平面角.由(I)知，CO丄,所以 CAO是CA和平面 所成的角，则CAO 30o,不妨设AC 2 ,则AO .3, OH AOSin 30。32在 RtAOAB 中，ABO BAO45o ,所以 BO AO.3 ,于是在Rt BOH中，tan BHO -BOOH3 一2 .故二面角 _32BACP的大小为arctan2 .小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，由二面角两个平面内的两条 平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平

16、面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小考点7利用空间向量求空间距离和角垂足为例7 .如图，已知 ABCD AIBICIDI是棱长为3的正方体,(1)求证：E, B, F, Di四点共面;点E在AA上，点F在CC1上，且AE FC11 .2(2)若点G在BC上，BG ,点M在BBi上，GM丄BF ,3H ,求证：EM丄平面BCC1B1 ；(3)用 表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求 tanB1NEMAD H过程指引：(1)如图，在 DD1上取点N ,使DN 1 ,连结EN , CN ,则 AE DN 1 , CF ND12.因为AE / DN , ND1 / CF ,所以四边形 ADNE , CFD1N都为平行四边形从而 EN /AD , FD1 / CN .又因为AD JBC ,所以EN JBC ,故四边形BCNE是平行四边形，由此 推知CN / BE,从而FD1 / BE 因此，E, B, F, D1四点共面.(2)如图，GM 丄 BF ,又 BM 丄