排列组合概率与统计数学基础知识与典型例题复习

1、10排列、组合、概率与统计数学基础知识与典型例题复习11 / 6数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)排 列 与 组 合覇r本原理Jft应用二Xijft弄严通项去式*应二顼式定理一用戌的尊ITLr项式系数的性质厂1.分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法， ，在第 n类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=ni+n2+n3+nM种不同的方法.2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m2种 不同的方法，,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N=n

2、 n2 n3 nM种不同的方法.注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组 合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行 计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能 完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。3. 排列的定义： 从n个不同的元素中任取 m(m n)个元素，按照一定顺序 排成一列，叫做从n个 不同元素中取岀 m个元素的一个排列.排列数的定义：从n个不同元素中

3、取出 m(mn)个元素排成一列，称为从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列数， 用符号AIm表示.其中n,m N ， 并且mn.排列数公式：Am n(n 1)L (n m 1) n(m n,n,m N)(n m)!当m=n时，排列称为全排列，排列数为An=n (n 1) L 2 1记为n!,且规定O!=1.注: n n! (n 1)! n! ; Am nAnr4. 组合的定义：从n个不同的元素中任取 m(m n)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个组合.组合数的定义：从n个不同的元素中取出 m(m n)个元素的所有组合数，叫

4、做从 n个不同元素中 取出m个元素的组合数.用符号 CIm表示.组合数公式：Cm An n(n I)L (n m 1 一n .n Amm!m!( n m)!规定Cn01 ,其中 m，n N+， m n.注:排列是排成一排”，组合是并成一组”，前者有序而后者无序.排 列 与 组 合组合数的两个性质： C m Cn m；从n个不同元素中取出 m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的 Cmn C Cn：根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n

5、个元素中再取 m-1个元素，所以有Cmn ,如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有Cm种，依分类原理有Cmnl Cm Cnm.5.解排列、组合题的基本策略与方法(I )排列、组合问题几大解题方法：直接法；排除法； 捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之 后再考虑它们局部”的排列.它主要用于解决元素相邻问题”； 插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此 法主要解决元素不相邻问题”. 占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先

6、考虑，然后再排其他剩余位置.即采用先特殊后一般”的解题原则. 调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n个元素进行全排列有An种，m(m n)个元素的全排列有 Am种，由于要求 m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中 mAn个元素次序一定，共有 An种排列方法.Am( )排列组合常见解题策略:特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略;排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列)正难则反，等价转化策略; 不相邻问题插空处理策略; 分排问题直排处理的策略;构造模型的策略.相邻问

7、题插空处理策略；定序问题除法处理策略； 小集团”排列问题中先整体后局部的策略;6.二项式定理：对于 n N ，(a b) n COanbO CrIanIb L Cnanrbr L CnlaObn,这个公 式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a b)n的展开式.注:展开式具有以下特点：项数：共有n 1项；系数：依次为组合数c0，c|，c2， ,c, ,c|；且每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.二项展开式的通项：(a b)n的展开式第r+1为T r 1 Cnanrbr(0r n,r Z).二项式系数的性质.二项展开式中的 d(r0,1,2丄，n)叫

8、做二项式系数在二项展开式中与首未两项等距离”的两项的二项式系数相等;即C0CnnCci1,l ,cnCnl二项展开式的中间项二项式系数最大且当k< n 1时，二项系数是逐渐增大，当2k> n 1时，二项式系数是逐渐减小的2n巧(I )当n是偶数时 冲间项是第1项,它的二项式系数 C21最大； 2n 1 n 1( )当n是奇数时，中间项为两项，即第一项和第 一2 2C0 Cn LCn C311系数和：所有二项式系数的和:C2 C4C n C nC mm n项而是系数的和：C 0 Cm Cmm C m：L1项,它们的二项式系数n，C 2nC 2n1最大排 列 与 组 合n 2n;奇数项

9、二项式系数的和=偶数2 n 1例10. 一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆 环分为n(n3, n N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同 颜色的花.如图1 ,圆环分成的3等份为a1, a2, a3,有多少不同的种植方法？如图2,圆环分成的4等份为a1, a2, a3, a4,有多少不同的种植方法？如图3,圆环分成的n等份为a1, a2, a3, ,an,有多少不同的种植方法？l I 机事件的译排 列 与 组 合的系数呢？其中p, q, r 项式，先找出含有Cr的项 cn(a b)n rcr ,另一方面在(a b)n r中含有bq的项为C

10、 的项为 CnCnqarVCn!r !q! p!如何来求(a br n 把(a在(arqCnCnrc)nn!r!(n r)!c)n展开式 b c)n (a中含apbqcrb) cn视为一N,且s中含apbqcr(n r)!q!( n r q)!n qar- qPlqPq rC n C n PC r n r qb q Cn qapbq ,故r.其系数为Ti互斥事杵的祎Ifl对立事件的柢辜Tl相互独立事件发生的薇車Ir阪甦试捡中事件A就生的板甬1.随机事件及其概率必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件.随机事件:在一定的条件

11、下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件排 列 与 组 合二项式定理的应用： 缩法证明与指数有关的不等式。例1.3个班分别从5个景点中选择1处游览，不同的选法种数是 (35(A)5(B)3例2. 5本不同的课外读物分给(A)20 种(B)60 种例3. 6个人排成一排，甲、乙、(A) A6(B) 3AIXA=x I C7 (B) 3 个n解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放33(C)A 5(D)C 55位同学，每人一本,则不同的分配方法有(C)120 种(D)100丙必须站在一起的排列种数为(C)A3A3(D) A；A：()种)随机事件的概率:一般地，在大量重复进行同一试

12、验时，事件A发生的频率总是接近于某个常n数,在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作 P(A).概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小，它的取值范围是0,1 ,必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.例4.如果集合(A)1 个例5如果3x(A)7例 6.设(1+x)(A) C；1 例7.在(1(A)-297(13X2(B)3+(1+x)例8.对于小于(a)a69 n21,则组成集合A的元素个数有(D)7 个(C)6 个的展开式中各项系数之和为128,则展开式中)13的系数是()X74+ 4(B) Cu10)(1 X)的展开式中,B)-252(C)29755的自然数，积15(B)

13、A 69 n(C) 2110 +(1+x)= a0+a1 X+a 2 X3(C) 2C10(D) 212+. +a1010 则4(D) C10a 3=()X5的系数是()(D) 207(55- n)( 56- n)(68- n) (69- n)等于()1514(C)A 55 n(D)A 69 n例 9.若(1-2x)9=a0+a1x+a2X2+ + a8X8+a99，贝U a什a2+ +a8的值为2.等可能事件的概率：基本事件:一次试验连同其中可能岀现的每一个结果称为一个基本事件等可能事件的概率：如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有结果岀现的可能性都相等，那么概，1率 每一个基本事件的概率

14、都是一，如果某个事件A包含的结果有 m个，那么事件A的概率为nP(A)3.互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件 A+B发生(即 A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B),推广：P(A1 A2 L An) P(A1) P(A2) L P(An).对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 对立事件的概率和等于1 : P(A) P(A) P(A A) 1 . 互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件从集合的角度看，由事件 A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集 I中由事 件A所含的结

15、果组成的集合的补集.概 率4.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相 互独立事件.注:独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(A B)=P(A) P(B).证明：设甲试验共有N1种等可能的不同结果，其中属于A发生的结果有 m1种，乙试验共有 N2种等可能的不同结果，其中属于 B发生的结果有 m2种，由于事件A与B相互独立，N1, m1与N2, m2之间 是相互没有影

16、响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N1 N2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件 AB的试验结果，显然，凡属于A的任何一种试验的结果同属于B的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A与B同时发生，即属于事件 AB ,这种结果总共有m1 m2种.因此得：m1 m2m1m2P(AB)= ,/ P(AB) = P(A)P(B)N1 N2N1N2注:当两个事件同时发生的概率P(AB)等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广:如果事件A1,A2,L IAn相互独立，那么P(A1A2L An) P(A1) P(A2)L P(An)独立重复试

17、验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：Pn(k) CrkPk(I P)nk.(注:此式为二项式(1-P)+Pn展开式的第k+1项.) 注：一般地，如果事件 A与B相互独立，那么 A与B, A与B, A与B也都相互独立.对任何两个事件都有 P(A B) P(A) P(B) P(A B)概 率例11. 10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有 1人中奖的概率是()(A) 1(B)丄(C)丄(D)Il10 12 2 12例12. 2006年6月7日，甲

18、地下雨的概率是 0.15,乙地下雨的概率是 0.12.假定在这天两地 是否下雨相互之间没有影响，那么甲、乙都不下雨的概率是()(A) 0.102(B) 0.132(C) 0.748(D) 0.982例13.从1, 2,9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这 3个数的和为偶数的概率是()(A)5(B)上(C)卫(D)匹992121例14.袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事8件中概率是一的是()9(A)颜色全相冋(B)颜色不全相冋(C)颜色全不冋(D)颜色无红色例15.袋中装有白球和黑球各 3个，从中任取2球，在下列事件中：(1)恰有1个白球和 恰有2个白球；

19、(2)至少有1个白球和全是白球；(3)至少有1个白球和至少有1个黑球； (4)至少有1个白球和全是黑球。是对立事件的为 ()(A) (1)(B) (2)( C) ( 3)(D) (4)例16.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1 ,乙解决这个问题的概率是P2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是了()(A)PIP2(B)P1(1P2)P2(1P1)(C)IP1P2(D) 1(1P1)(1P2)例17.某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程从班级中任 选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是(结果用分数表示)ftIS-r*i 抽单一-' a-L-

20、；,芬屋迪宦随 机 变 量 与 统 计X1X2XiPP1P2Pi例18.某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2, 5，3, 7, 1,参加抽奖的每位顾客从09这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同(不计顺序)即可得奖，则中奖的概率是 .(用数字作答)例19.某射手射击1次，击中目标的概率是 0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响.有下列结论：他第 3次击中目标的概率是 0.9;他恰好击中 目标3次的概率是0.93× 0.1;他至少击中目标 1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序 号是 (写出所有正确结

21、论的序号).例20. A有一只放有X个红球，y个白球，Z个黄球的箱子(x、y、z 0 ,且X y Z 6 )， 概B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球概比颜色，规定同色时为 A胜，异色时为B胜.率 (1)用X、y、Z表示B胜的概率；(2)当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？1. 随机试验：试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止 一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次 试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.如果随机试验的结果可以用一个变量来表

22、示，那么这样的变量叫做随机变量，如果随机变量可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.注:若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量2. 离散型随机变量：设离散型随机变量可能取的值为：X1,X2, ,Xi,取每一个值X1(i 1,2,)的概率P( Xi) Pi ,则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.有性质 P 1 0,i1,2丄； p1 p2 L PiL 1 .3.称E X1P1 X2P2 L XnPn L为的数学期望或平均数、均值 数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 . 注：随机变量a b的数学期望：E E(a b)

23、 aE b随 机 变 量 与 统 计4. 方差、标准差：当已知随机变量的分布列为P( Xk) Pk(k 1,2,l )时，则称2 2 2D (Xi E ) Pi (X2 E ) P2 L (Xn E)PnL 为的方差显然D 0,故.：亍.为的根方差或标准差随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度 .D 越小,稳定性越高,波 动越小.注:随机变量 a b的方差D( ) D(a b) a2D . (a、b均为常数)2 2期望与方差的转化：D E 2 (E )25. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率

24、是：P( k) CkPkqn k其中k 0,1,L I n,q 1 p于是得到随机变量 的概率分布如下：8.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，样本容量越大估计越准确.将总体与随机变量沟通后，就可以用概率的知识研究统计问题.当总体中的个体取不同值很少时，其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图 .当总体中的个体取不同值较多时，对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识列出分组区间和各区间内取值的频数和频率，其几何表示就是相应的频率分布直方图.累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情况，因此在频率分布表中常增设一列累积频

25、率，而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时，则频率分布直方图趋近于总体密度曲线时，相应的累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线，即累积分布曲线.生产过程中的质量控制图：通过生产过程中的质量控制图，了解统计中假设检验的基本思想，明确正态总体及其概率密度函数的概率，掌握正态曲线的性质及其应用，并了解小概率事件”的概念和它在一次试验中不可能发生的思想.01knPnqI InICnPqCk k n kCnP qnP我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B (n,p),其中n, P为参数，并9.正态分布.(基本不

26、列入考试范围)(I )密度曲线与密度函数： 对于连续型随机变量，如图位于X轴上方的曲线叫的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做 的密度函数，记 CnkPkqnk b(k; n, p).注:对二项分布 B(n, P)有 En!k!(n k)!np,Dnp(1 P)6.几何分布：在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是 试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量P ,该事件第一次发生时所做 k "表示在第k次独立重复i23-L-Lk-LPPqp2q PLk iq PL试验时事件第一次发生.于是得到随机变量的概率分布如下：(q 1 P)则称这样的随机变量 服从几何分布，并记g

27、(k, P) qk 1 P ,其中q 1 p ,k = 1,2,3, L .注：如果随机变量服从几何分布即P( k) g(k, P),则E ,D-q2 .PP类另U共同点不同点联系适用范围简单随 机抽样抽样过程中 每个个体被 抽取的概率 相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基 础总体个数较少系统 抽样将总体均分成几部 分，按事先确定的规 则在各部分抽取在超始部分抽样时 用简单随机抽样总体个数较多分层 抽样将总体分成几层，分 层进行抽取各层抽样时米用简 单随机抽样或系统 抽样总体由差异明 显的几部分组 成7.常用的抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种随 机 变 量 与 统 计则 落在任

28、一区间a,b)内的概率等于它与 X轴和直线X a 与直线X b所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分) .由 于“(，)”是必然事件，故密度曲线与 X轴所夹部分 面积等于1.()正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为：f(x)称服从参数为(X )22e 2. (X R,为常数，且的正态分布，用N()表示.0),f (x)的表达式可简记为 N( ,2),它的密度曲线简称为正态曲线 .正态分布的期望与方差：若 N( , 2),则 的期望与方差分别为：,D正态曲线的性质 曲线在X轴上方，与X轴不相交. 曲线关于直线X 对称.当X时曲线处于最高点，当 X向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出 中

29、间高、两边低”的钟形曲线. 当X V 时，曲线上升；当X > 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延 伸时，以X轴为渐近线，向X轴无限的靠近. 当 一定时，曲线的形状由确定， 越大，曲线越 矮胖”表示总体的分布越分散;越小，曲线越瘦高”表示总体的分布越集中.(In ).标准正态分布：如果随机变量的概率函数为(X)则称 服从标准正态分布.即 N(0,1)有(X) P( X),(X)1而 P ( av b)的计算则是 P(a b) (b)(a).X ),(X)求出，注意：当标准正态分布的(X)的X取0时,有(X)0.5当(X)的X取大于0的数时，有(X) 0.5 .比如(05)0.07

30、93 0.5 则05必然小于0,如图.正态分布与标准正态分布间的关系：若 N( ,2)则的分布函数常用 F(X)表示，且有 P( X) F(X) ().例21.对于一组数据Xi(i=1 ,2,3,n),如果将它们改变为Xi+ c(i=1,2,3,n), 其中 C 0 , 则下面结论中正确的是(A)平均数与方差均不变(B)平均数变了，而方差保持不变(C)平均数不变，而方差变了(D)平均数与方差均发生了变化的分布列为(如表所示)，且设129一(C)1(D)-636例22.2(A)3例23.已知(B)随 机 变 量 与 统 计注:一般正态分布N( ,2),均可化为标准正态总体若：N( , 2),只需

31、作变换若：N( , j,则 P(a标祗正态弁布曲线j-0.5 S-Q,5SN(0,1)来进行研究就可使 ：N(0,1), 有公式 F(X) ).ba b)=()()(W)“3 ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N( , 2).确定一次试验中的取值a是否落入范围(3 ,3 ).做出判断：如果a (3 ,3 ),接受统计假设.如果a ( 3 ,3 ),由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.随 机 变 量 与 统 计设随机变量的概率分布列为2 iP( =i)=a( ) ,i31,2,3,则a的值是(-101P111721 ,贝U

32、的期望值是(A)1738例24.已知(A)10 和 0.8(B)2738 B(n, P) , E =8 , D(B)20 和 0.4=1.6,(C)1719则n与P的值分别为(C)10例25.从含有6个个体的总体中抽取一个容量为 体a被抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体111(A)均为(B)均为(C)第一个为，第二个为363(D)2719)和 0.2(D)100 和 0.82的样本，“每次抽取一个个体时任一个a被抽到的概率”为()111(D)第一个为一，第二个为663例26.某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；某车间主任

33、从100件产品中抽取10件样本进行 产品质量检验.I 随机抽样法；.分层抽样法.上述两问题和两方法配对正确的是()(A)配I ,配(B)配,配(C)配I ,配I (D)配,配(D)15, 10, 20 从中同时取出2个，则其中含“3 ”原则的应用：若随机变量服从正态分布 N( , 2)则落在(3 ,3 )内的概率为99.7%亦即落在(3 ,3 )之外的概率为 0.3%,此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格(即不服从正态分布).10.线性回归：(基本不列入 考试范围)回归分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法。严格说来，相关关系分为两种，对两个自变量来说，如果它

34、们都是随机的，称它们 为相关关系；如果其中一个是可以控制的，非随机的，另一个是随机的，称这种关系为 回归关系。由一个非随机的变量来估计或预测另一个随机变量的观测值，所建立的数学模型及 进行的统计分析，称为一元回归分析，如果这个数学模型是线性的则称为一元线性回归 分析。尽管具有相关性的变量间的关系不确定，但可以通过大量试验来找出它们之间的统 计规律性，然后用一个函数关系近似地描述它们，而且这个函数是线性的，则称它为线 性回归函数。实际上在用相关系数判定出变量之间线性相关后，一般能用很多条直线来 近似地表示X与y这两个变量间的线性关系，因此存在一条最合适的直线，这条直线用 著名的“最小二乘法”可以

35、求解，课本的阅读材料就是“最小二乘法”的运用。散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图例27.某校高中生有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人, 现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()(A)15, 5, 25(B)15 , 15, 15(C)10, 5, 30例28. 一个袋子里装有大小相同的 3个红球和2个黄球, 红球个数的数学期望是.(用数字作答)例29.右图是一个容量为 200的样本的频率分布直方图， 请根据图形中的数据填空：样本数据落在范围5,9的频率为样本数据落在范围9,13的频数为 ;例30.抛掷两个骰子，当至少有一个2