趋势面分析 趋势面分析方法

1、1 趋势面分析方法趋势面分析方法 第1节 趋势面分析的一般原理 第2节 趋势面模型的适度检验 第3节 趋势面分析应用实例2u趋势面分析趋势面分析是利用是利用数学曲面数学曲面模拟地理系统要素在空模拟地理系统要素在空间上的分布及变化趋势的一种数学方法。间上的分布及变化趋势的一种数学方法。第第1 1节节 趋势面分析的一般原理趋势面分析的一般原理 u趋势面分析的实质趋势面分析的实质：通过回归分析原理，运用最小：通过回归分析原理，运用最小二乘法拟合一个二乘法拟合一个二维非线性函数二维非线性函数，模拟地理要素在空，模拟地理要素在空间上的分布规律，展示地理要素在地域空间上的变化间上的分布规律，展示地理要素在

2、地域空间上的变化趋势。趋势。3u趋势面分析方法趋势面分析方法常被用来模拟常被用来模拟资源、环境、人口及资源、环境、人口及经济要素经济要素在空间上的分布规律，它在空间分析方面具在空间上的分布规律，它在空间分析方面具有重要的应用价值。有重要的应用价值。 举例举例: : 粮食产量与气温和降雨量等自然因素的关系是粮食产量与气温和降雨量等自然因素的关系是非线性关系，可以利用趋势分析来拟合回归模型从非线性关系，可以利用趋势分析来拟合回归模型从而预测粮食产量。而预测粮食产量。4u趋势面趋势面是一种是一种抽象的数学曲面抽象的数学曲面，它抽象并过滤掉，它抽象并过滤掉一些局域随机因素的影响，使地理要素的空间分一些

3、局域随机因素的影响，使地理要素的空间分布规律布规律明显化明显化。 所谓的空间趋势面并不是地理要素的实际分布面，所谓的空间趋势面并不是地理要素的实际分布面，而是一个模拟地理要素空间分布的近似曲面。而是一个模拟地理要素空间分布的近似曲面。5 变量的实测数据变量的实测数据m mi i ( (x xi i , , y yi i , , z zi i) ) 分布在趋势面上或分布在趋势面上或趋势面上下，如图所示。趋势面上下，如图所示。xyz实测点在趋势面上的投影实测点在趋势面上的投影实测点实测点),(iiiizyxm),(iiiizyxm趋势面趋势面趋势面示意图趋势面示意图6u实际曲面实际曲面= =趋势面

4、趋势面+ +剩余曲面剩余曲面: :趋势面趋势面反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性反映地理要素的宏观分布规律，属于确定性因素作用的结果；因素作用的结果；剩余面剩余面反映局部性变化特点，它受局部因素和随机反映局部性变化特点，它受局部因素和随机因素的影响因素的影响（局部异常、随机干扰和模型本身的误（局部异常、随机干扰和模型本身的误差）。差）。7观测值观测值= =确定性函数值确定性函数值+ +随机性函数值随机性函数值= =趋势值趋势值+ +剩余值剩余值 我们通常用回归分析的方法来求趋势值和剩余值。我们通常用回归分析的方法来求趋势值和剩余值。 趋势面分析的趋势面分析的基本要求：基本要求：使剩余值最小

5、、趋势值最大，使剩余值最小、趋势值最大，这样这样拟合度精度拟合度精度才能达到足够的准确性。才能达到足够的准确性。空间趋势面分空间趋势面分析，正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和析，正是从地理要素分布的实际数据中分解出趋势值和剩余值，从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。剩余值，从而揭示地理要素空间分布的趋势与规律。81.1 1.1 建立趋势面模型建立趋势面模型 设某地理要素的实际观测数据为设某地理要素的实际观测数据为 趋势面拟合值为趋势面拟合值为 则有则有 （3.6.13.6.1） 式中：式中：i i即为剩余值（残差值）。即为剩余值（残差值）。 显然，当（显然，当（x xi i，y y

6、i i）在空间上变动时，（）在空间上变动时，（3.6.13.6.1）式就刻画了）式就刻画了地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系。地理要素的实际分布曲面、趋势面和剩余面之间的互动关系。 ,n)1,2,)(i,y(xziii),y(xziiiiiiiiiiyxzyxz),(),(9u趋势面分析的趋势面分析的核心核心：从实际观测值出发推算趋势面，：从实际观测值出发推算趋势面，采用回归分析方法，使得残差平方和趋于最小，即：采用回归分析方法，使得残差平方和趋于最小，即： min),(),(1212niiiiiiiniyxzyxzq以此来估计趋势面参数。这就是在以此来估计趋势面参数。这就是

7、在最小二乘法意义下最小二乘法意义下的趋势曲面拟合的趋势曲面拟合。 10u用来计算趋势面的数学方程式有用来计算趋势面的数学方程式有多项式函数多项式函数和和傅立傅立叶级数叶级数，其中最为常用的是多项式函数形式。，其中最为常用的是多项式函数形式。u因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多因为任何一个函数都可以在一个适当的范围内用多项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回项式来逼近，而且调整多项式的次数，可使所求的回归方程适合实际问题的需要。归方程适合实际问题的需要。 11u多项式趋势面的形式：多项式趋势面的形式： 一次趋势面模型：一次趋势面模型： 二次趋势面模型：二次趋势面模型： 三次趋势

8、面模型：三次趋势面模型： yaxaaz21025423210yaxyaxayaxaaz25423210yaxyaxayaxaaz39282736yaxyayxaxa（3.6.2） （3.6.3） （3.6.4） 12u在实际的空间趋势面模拟中，按照对事物认识由易在实际的空间趋势面模拟中，按照对事物认识由易到难的规律，应首先考虑用公式（到难的规律，应首先考虑用公式（3.6.23.6.2）表达的）表达的倾斜平面去拟合，然后再用公式（倾斜平面去拟合，然后再用公式（3.6.33.6.3）描述的）描述的二次抛物趋势面去模拟，如果还不能满足研究需求，二次抛物趋势面去模拟，如果还不能满足研究需求，则需选用三

9、次趋势面、四次趋势面甚至更高次趋势则需选用三次趋势面、四次趋势面甚至更高次趋势面进行拟合。面进行拟合。13u实质实质：根据观测值：根据观测值z zi i，x xi i，y yi i（i=1,2,ni=1,2,n）确定多）确定多项式的系数项式的系数a a0 0，a a1 1，a ap p，使残差平方和最小。，使残差平方和最小。 u过程过程： 将多项式回归（非线性模型）模型转化为将多项式回归（非线性模型）模型转化为多元线多元线性回归模型性回归模型。 令令 则则ppxaxaxaaz22110,2542321yxxyxxxyxxx1.2 1.2 估计趋势面模型的参数估计趋势面模型的参数14求求q对对a

10、0，a1，ap的偏导数，并令其等于的偏导数，并令其等于0 0，得正，得正规方程组：规方程组：( (式中式中a0，a1，ap为为p+1p+1个未知量）个未知量）其残差平方和为其残差平方和为 nipipiiiniiixaxaxaazzzq122211012)(niipininipipippiinipiniiininiipipiiniiniininipipizxxxaxxaxazxxxaxxaxazxaxana111111011111111110111110（3.6.5） （3.6.6） 15用矩阵形式表示用矩阵形式表示pnnnppxxxxxxxxxx212221212111111paaaa10nz

11、zzz10则（则（3.6.63.6.6）式变为）式变为zxxaxtt（3.6.7） 对于二元二次多项式有对于二元二次多项式有 其正规方程组为：其正规方程组为： 16u由式由式（3.6.7）求解，可得：求解，可得：543210222222222221112111222212211222212121111111aaaaaayyxxyxyyxxyxyyxxyxyyyyxyxyxxxxyyyxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnzzzyyyyxyxyxxxxyyyxxx10222212211222212121111zxxxatt1)(（3.6.8） 17u2.12.1趋势面拟合适度的趋势面拟合适

12、度的r r2 2检验检验u2.22.2趋势面拟合适度的显著性趋势面拟合适度的显著性f f检验检验u2.32.3趋势面适度的逐次检验趋势面适度的逐次检验第第2 2节节 趋势面模型的适度检验趋势面模型的适度检验 18u趋势面与实际面的趋势面与实际面的拟合度系数拟合度系数r r2 2是测定回归模型拟合是测定回归模型拟合优度的重要指标。优度的重要指标。u一般用变量一般用变量z z的总离差平方和中的总离差平方和中回归平方和回归平方和所占的比所占的比重表示回归模型的拟合优度。重表示回归模型的拟合优度。u总离差平方和等于总离差平方和等于回归平方和回归平方和与与剩余平方和剩余平方和之和。之和。即即rdniin

13、iiitsssszzzzss1212)()(2.1 2.1 趋势面拟合适度的趋势面拟合适度的r2r2检验检验19 为为剩余平方和剩余平方和，它表示随机因素对，它表示随机因素对z z的的离差的影响，离差的影响， 为为回归平方和回归平方和，它表示，它表示p p个自变量对因变量个自变量对因变量z z的离差的总影响。的离差的总影响。 u 越大（或越大（或 越小）就表示因变量与自变量的关越小）就表示因变量与自变量的关系越密切，回归的规律性越强、效果越好。系越密切，回归的规律性越强、效果越好。u记记 越大，趋势面的拟合度就越高。越大，趋势面的拟合度就越高。 niiidzzss12)(niirzzss12)

14、(rssdsstdtrssssssssr122r （3.6.9） 20u趋势面适度的趋势面适度的f f检验是对趋势面回归模型检验是对趋势面回归模型整体的显著整体的显著性检验。性检验。 u方法方法：利用变量：利用变量z z的总离差平方和中剩余平方和与回的总离差平方和中剩余平方和与回归平方和的比值，确定变量归平方和的比值，确定变量z z与自变量与自变量x x、y y之间的回之间的回归关系是否显著。即归关系是否显著。即 u结果分析结果分析：在显著性水平：在显著性水平下，查下，查f f分布表得分布表得f f，若，若计算的计算的f f值大于临界值值大于临界值f f，则认为趋势面方程显著；，则认为趋势面方

15、程显著；反之则不显著。反之则不显著。 1/pnsspssfdr （3.6.10） 2.2 2.2 趋势面拟合适度的显著性趋势面拟合适度的显著性f f检验趋势检验趋势21u步骤：步骤：(1)(1)求出较高次多项式方程的求出较高次多项式方程的回归平方和回归平方和与较低次多项式方程的与较低次多项式方程的回归平方和之差回归平方和之差；(2)(2)将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于多项式次数将此差除以回归平方和的自由度之差，得出由于多项式次数增高所产生的增高所产生的回归均方差回归均方差；(3)(3)将此均方差除以较高次多项式的将此均方差除以较高次多项式的剩余均方差剩余均方差，得出相继两个，得出相

16、继两个阶次趋势面模型的阶次趋势面模型的适度性比较检验值适度性比较检验值f f。u若所得的若所得的f f值是显著的，则较高次多项式对回归作出了新贡献，值是显著的，则较高次多项式对回归作出了新贡献，若若f f值不显著，则较高次多项式对于回归并无新贡献。相应的值不显著，则较高次多项式对于回归并无新贡献。相应的方差分析表见表方差分析表见表9.19.1。 2.3 2.3 趋势面适度的逐次检验趋势面适度的逐次检验22表表9.19.1多项式趋势面由多项式趋势面由k k次增高至（次增高至（k+1k+1）次的回归显著性检验）次的回归显著性检验 离差来源离差来源平方和平方和自由自由度度均方差均方差f f检验检验（

17、k+1k+1）次）次回归回归 p p （k+1k+1）次）次剩余剩余 n np p1 1 k k次回归次回归 q q k k次剩余次剩余 n nq q1 1 由由k k次增高次增高至至（k+1k+1）次）次的回归的回归p pq q总离差总离差sssst t) 1(krss) 1(kdsspssmskrkr/) !()1() 1/() !()1(pnssmskdkd)1()1(/kdkrmsms)(krss)(kdssqssmskrkr/)()()1/()()(qnssmskdkd)()(/kdkrmsms)1()(/kdirmsms)/()()(qpssmsirirkrkrirssssss )

18、1()(23 注意：注意： 在实际应用中，往往用次数低的趋势面逼近在实际应用中，往往用次数低的趋势面逼近变化比较小的地理要素数据，用次数高的趋势面变化比较小的地理要素数据，用次数高的趋势面逼近起伏变化比较复杂的地理要素数据。逼近起伏变化比较复杂的地理要素数据。 次数低的趋势面使用起来比较方便，但具体到次数低的趋势面使用起来比较方便，但具体到某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附某点拟合较差；次数较高的趋势面只在观测点附近效果较好，而在外推和内插时效果较差。近效果较好，而在外推和内插时效果较差。24u实例实例1 1：某流域：某流域1 1月份降水量与各观测点的坐标位月份降水量与各观测点的坐标位

19、置数据如表置数据如表3.6.23.6.2所示。下面，我们以所示。下面，我们以降水量为因降水量为因变量变量z z，地理位置的横坐标和纵坐标分别为自变量，地理位置的横坐标和纵坐标分别为自变量x x、y y进行趋势面分析，并对趋势面方程进行适度进行趋势面分析，并对趋势面方程进行适度f f检验。检验。第第3 3节节 趋势面分析应用实例趋势面分析应用实例25表表9.2 9.2 流域降水量及观测点的地理位置数据流域降水量及观测点的地理位置数据 序号降水量z(mm)横坐标x（104m）纵坐标y（104m）26（1 1）建立趋势面模型）建立趋势面模型 22070. 8357. 0558. 3787.29438

20、.17998. 5yxyxyxz236. 6,839. 02fr 解题步骤：解题步骤： 二次趋势面模型。采用二次趋势面模型。采用二次多项式二次多项式进行趋势面拟进行趋势面拟合，用合，用最小二乘法最小二乘法求得拟合方程为：求得拟合方程为： 27求取拟合方程的具体过程求取拟合方程的具体过程：将相关数据输入将相关数据输入excelexcel软件中；软件中；令令x1x1x x， x2x2y y， x3x3x x2 2， x4x4xyxy， x5x5y y2 2，并根，并根据原始数据进行运算，结果如下：据原始数据进行运算，结果如下：28将前述准备好的数据复制到将前述准备好的数据复制到spssspss软件

21、中，如下图：软件中，如下图：29按图示进行操作，利用按图示进行操作，利用spssspss软件求取方程系数。软件求取方程系数。31运算结果运算结果variables entered/removedbx5, x1,x4, x3, x2a.entermodel1variablesenteredvariablesremovedmethodall requested variables entered.a. dependent variable: zb. 33图图3.6.1 3.6.1 某流域降水量的二次多项式趋势面某流域降水量的二次多项式趋势面 34 三次趋势面模型。按照同样方法采用三次趋势面模型。按

22、照同样方法采用三次趋势面三次趋势面进行拟合，用最小二乘法求得拟合方程为进行拟合，用最小二乘法求得拟合方程为 xyxyxz166.33389. 8130.130557.37810.482054. 6,965. 02fr32232785. 9566. 2138. 6133. 35基于基于spssspss的运算结果的运算结果variables entered/removedbx9, x3,x7, x2,x1, x8,x4, x6, x5a.entermodel1variablesenteredvariablesremovedmethodall requested variables entered.

23、a. dependent variable: zb. model summary.982a.965.8054.5538model1rr squareadjustedr squarestd. error ofthe estimatepredictors: (constant), x9, x3, x7, x2, x1, x8, x4,x6, x5a. 36anovab1129.7899125.5326.054.150a41.474220.7371171.26311regressionresidualtotalmodel1sum ofsquaresdfmean squarefsig.predicto

24、rs: (constant), x9, x3, x7, x2, x1, x8, x4, x6, x5a. dependent variable: zb. coefficientsa-48.81026.922-1.813.21237.55722.6334.4431.659.239130.13043.03615.8213.024.0948.38910.7523.790.780.517-33.16617.636-10.570-1.881.201-62.74022.299-26.018-2.814.107-4.1332.230-6.738-1.853.2056.1382.7676.3732.218.1

25、572.5662.9912.405.858.4819.7853.90513.4242.506.129(constant)x1x2x3x4x5x6x7x8x9model1bstd. errorunstandardizedcoefficientsbetastandardizedcoefficientstsig.dependent variable: za. 37图图3.6.2 3.6.2 某流域降水量的三次多项式趋势面某流域降水量的三次多项式趋势面 38 趋势面拟合适度的趋势面拟合适度的r r2 2检验检验 根据根据r r2 2检验方法计算，结果表明，检验方法计算，结果表明，二次趋势面二次趋势面的

26、判定的判定系数系数r r2 22 2=0.839=0.839，三次趋势面的判定系数，三次趋势面的判定系数r r3 32 2=0.965=0.965，可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型的显可见二次趋势面回归模型和三次趋势面回归模型的显著性都较高，而且三次趋势面较二次趋势面具有更高著性都较高，而且三次趋势面较二次趋势面具有更高的拟合程度。的拟合程度。 （2 2）模型检验）模型检验 39 趋势面适度的显著性趋势面适度的显著性f f检验检验 根据根据f f检验方法计算，结果表明，二次趋势面和三检验方法计算，结果表明，二次趋势面和三次趋势面的次趋势面的f f值分别为值分别为f f2 2=6.23

27、6=6.236和和f f3 3=6.054=6.054。在置信水。在置信水平平=0.05=0.05下，查下，查f f分布表得分布表得f f22=f=f0.050.05(5,6)= 4.39(5,6)= 4.39，f f33=f=f0.050.05(9,2)= 19.38 (9,2)= 19.38 。显然，。显然，f f2 2ff22，而，而f f3 3ff33，故故二次趋势面的回归方程显著而三次趋势面不显著二次趋势面的回归方程显著而三次趋势面不显著。因此，因此，f f检验的结果表明，用二次趋势面进行拟合比较检验的结果表明，用二次趋势面进行拟合比较合理。合理。 40u趋势面比较趋势面比较：在二次

28、和三次趋势面检验中，对两个：在二次和三次趋势面检验中，对两个阶次趋势面模型的适度进行比较，相应的方差分析阶次趋势面模型的适度进行比较，相应的方差分析计算结果见表计算结果见表3.6.33.6.3。 趋势面适度的逐次检验趋势面适度的逐次检验 离差来源平方和自由度均方差f检验三次回归三次剩余二次回归二次剩余由二次增高至三次的回归 1129.78941.474982.244189.018147.545912-9-1=2512-5-1=64125.53220.737196.44931.50336.8866.0546.2361.779表表3.6.3 3.6.3 二次和三次趋势面回归模型的逐次检验方差分析表二次和三次趋势面回归模型的逐次检验方差分析表 41anovab982.2445196.4496.236.023a189.018631.5031171.26311regressionresidualtotalmodel1sum ofsquaresdfmean squarefsig.predictors: (constant), x5, x1, x4, x3, x2a. dependent variable: zb. anovab1129.7899125.5326.054.150a41.474220.7371171.26311reg