2019-2020年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业二十一用向量方法解决平行与垂直问题新人教B版选修

1、2019-2020 年高中数学第三章空间向量与立体几何课时作业二十一用向量方法解决平行与垂直问题新人教b 版选修1若n(2， 3,1) 是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量的是( ) a(0 ， 3,1) b(2,0,1) c( 2， 3,1) d( 2,3 ， 1) 解析： 问题即求与n共线的一个向量即n(2 ， 3，1) ( 2,3 ， 1) 答案： d 2已知直线l与平面 垂直，直线l的一个方向向量为u(1 ， 3，z) ，向量v(3 ，2,1) 与平面 平行，则z等于 ( ) a3 b6 c 9 d 9 解析： l ，v与平面 平行，uv，即uv 0，1332z1 0

2、，z 9. 答案： c 3已知a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，则平面abc的一个法向量是( ) a(1,1 ， 1) b (1 ， 1,1) c( 1,1,1) d( 1， 1， 1) 解析：ab( 1,1,0) ，ac( 1,0,1)设平面abc的法向量为n (x，y，z) ，则有xy0，xz0，取x 1，则y 1，z 1. 故平面abc的一个法向量是( 1， 1， 1) 答案： d 4在正方体abcda1b1c1d1中，若e为a1c1的中点，则直线ce垂直于 ( ) aac b bdca1d d a1a解析： 建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1. 则a(1

3、,0,0)，b(1,1,0)，c(0,1,0)，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，c1(0,1,1)，e12，12，1 ，ce12，12， 1 ，ac( 1,1,0)，bd( 1， 1,0) ，a1d ( 1,0 ， 1) ，a1a(0,0 ， 1) cebd( 1)12 (1)1201 0，cebd. 答案： b 5若两个不同平面， 的法向量分别为u (1,2 ，1) ，v( 3，6,3) ，则( ) abc， 相交但不垂直 d 以上均不正确解析： v 3u， . 答案： a 6已知ab(1,5 ， 2) ，bc(3,1 ，z)，若abbc，bp(x1，y， 3) ，且bp平面abc，则

4、bp等于 ( ) a.337，157，4 b.337，157， 3c.407，157， 3 d.407，157， 3解析： 由abbc0 得 352z0，z4. 又bp平面abc，bpab0，bpbc0，即x15y6 0，3x3y120，解得x407，y157.答案： c 7 已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点， 如果ab(2 ， 1， 4) ，ad(4,2,0)，ap( 1,2 ， 1) 对于结论：apab；apad；ap是平面abcd的法向量；apbd.其中正确的是_解析： 由于apab12 ( 1)2 (4)( 1) 0，apad4( 1) 220( 1) 0，所以正确答案：

5、8在直角坐标系oxyz中，已知点p(2cosx1,2cos2x2,0) 和点q(cosx， 1,3) ，其中x0 ， ，若直线op与直线oq垂直，则x的值为 _解析： 由opoq，得opoq0. 即(2cosx1)cosx(2cos2x2)( 1) 0. cosx 0 或 cosx12. x0 ， ，x2或x3. 答案：2或39如图所示，在直三棱柱abca1b1c1中，底面是以abc为直角的等腰三角形，ac 2a，bb13a，d是a1c1的中点，点e在棱aa1上，要使ce面b1de，则ae_. 解析： 建立如图所示的坐标系，则b1(0,0,3a) ，d2a2，2a2， 3a，c(0 ，2a,0

6、) 设e(2a,0，z)(0 z3a) ，则ce(2a，2a，z) ，b1e (2a,0，z3a) 由题意得2a2z2 3az0，解得za或 2a. 故aea或 2a. 答案：a或 2a10如图，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，ab2，af1，m是线段ef的中点求证： (1)am平面bde；(2)am平面bdf. 证明： (1) 建立如图所示的空间直角坐标系设acbdn，连接ne，则点n，e的坐标分别是22，22， 0 ，(0,0,1)，ne 22，22， 1 . 又点a，m的坐标分别是 (2，2，0)，22，22，1 ，am 22，22， 1 . neam，且ne与am不

7、共线neam. 又ne? 平面bde，am?平面bde，am平面bde. (2) 由(1) 知am 22，22，1 ，d(2，0,0) ，f(2，2，1) ，df (0 ，2， 1) amdf0. amdf. 同理ambf. 又dfbff，am平面bdf. b组能力提升11直线l的方向向量为a，平面 内两共点向量oa，ob，下列关系中能表示l 的是( ) aaoa b akobcapoaob d 以上均不能解析： a、b、c均能表示l 或l? . 答案： d 12如图，已知矩形abcd，ab 1，bca，pa平面abcd，若在bc上只有一个点q满足pqqd，则a的值等于 _解析： 如图，建立空

8、间直角坐标系axyz，则d(0 ，a,0)设q(1 ，x,0)(0 xa) p(0,0 ，z) 则pq(1 ，x，z) ，qd( 1，ax,0) 由pqqd，得 1x(ax) 0，即x2ax10. 由题意知方程x2ax 10 只一解a2 40，a2，这时x10 ，a 答案： 2 13如图，在底面是菱形的四棱锥pabcd中，abc60，pa平面abcd，paaca，pbpd2a，点e在pd上，且peed21. 在棱pc上是否存在一点f，使bf平面aec？证明你的结论解析： 存在证明如下：当f是棱pc的中点时，bf平面aec. bfbc12cpad12(cddp) ad12(adac) 32(ae

9、ad) 32ae12acbf，ae，ac共面又bf?平面aec，bf平面aec. 14如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd底面abcd，pddc，e为pc的中点，efbp于点f. 求证：(1)pa平面edb；(2)pb平面efd. 证明： 以d为坐标原点，da，dc，dp所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系dxyz，如图， 设dcpd1，则p(0,0,1)，a(1,0,0)，d(0,0,0)，b(1,1,0)，e0，12，12. pb(1,1 ， 1) ，de 0，12，12，eb 1，12，12，设f(x，y，z) ，则pf(x，y，z1) ，efx，y12

10、，z12. efpb，xy12z120，即xyz0. 又pfpb，可设pf pb，x，y，z1 . 由可知，x13，y13，z23，ef13，16，16. (1) 设n1(x1，y1，z1) 为平面edb的一个法向量，则有n1de0?12y112z10，n1eb0?x112y112z10，x1z1，y1z1.取z1 1，则n1( 1,1 ， 1)pa(1,0 ， 1) ，pan10. 又pa?平面edb，pa平面edb. (2) 设n2(x2，y2，z2) 为平面efd的一个法向量，则有n2ef0?13x216y216z20，n2de0?12y212z20，x2z2，y2z2.取z21，则n2

11、( 1， 1,1) pbn2，pb平面efd. 15如图所示，直棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是直角梯形，badadc90，ab2ad2cd2. (1) 求证：ac平面bb1c1c；(2) 在a1b1上是否存在一点p，使得dp与平面bcb1和平面acb1都平行？证明你的结论解： (1) 证明：以a为坐标原点，ad，ab，aa1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，adcd1，ab2，d(1,0,0)，b(0,2,0)设aa1a，则a1(0,0 ，a) ，b1(0,2 ，a) ，c1(1,1 ，a) ，c(1,1,0)ac(1,1,0)，bc(1 ， 1,0) ，bb1(0,0 ，a) ，acbc1100，acbb10000，acbc，acbb1，又bcbb1b，ac平面bb1c1c. (2) 点p存在，证明如下，假设存在一点p(0 ，y，a) ，则dp( 1，y，a) 由(1) 知，平面bcb1的法向量为ac. dpac( 1，y，a) (1,1,0) 1y. 又dp平面bcb1，dpac0