2020北师大版九年级数学上《一元二次方程》知识点及同步练习

1、【文库独家】一元二次方程【学习目标】1了解一元二次方程的含义2初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如(xa)2b(b0) 的方程3初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程4掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程【主体知识归纳】1整式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程2一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程3一元二次方程的一般形式为ax2bxc0(a0) ，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项4直接开平

2、方法形如x2a(a0)的方程，因为x是a的平方根，所以xa，即x1a，x2a这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法5配方法将一元二次方程ax2bxc0(a0) 化成 (xab2)22244aacb的形式后，当b2 4ac0 时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1) 将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1；(2) 将常数项移到方程右边；(3) 方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4) 当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根6公式法用一元二次方程ax2bxc0(a0) 的求根公式xaacb

3、b242(b24ac0) ，这种解一元二次方程的方法叫做公式法【基础知识讲解】1一元二次方程的概念包涵三个条件：(1) 整式方程； (2) 方程中只含有一个未知数；(3) 未知数的最高次数是2” 一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的例如，判断方程2x22x 12x2是否是一元二次方程？应先整理方程，得2x10，所以此方程不是一元二次方程2在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2bxc0，再确定所求方程ax2bxc 0 只有当a0 时，才是一元二次方程，例如a0，b0 时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指

4、出ax2bxc0 是一元二次方程，那么就一定包括a0 这个条件3直接开平方法适用于解化为x2a形式的方程，当a 0 时，方程有实数解；当a0 时，方程没有实数解4配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解；如果右边是负数时，方程无实数解5求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2 4ac的值，当b24ac0 时，代入公式求出方程的根；当b24ac0 时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了【例题精讲】例 1：指出下

5、列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x263x(2x1) ；(2)8x2x；(3)y3y10；(4)4x23y 0；(5) x20；(6)x(5x1) x(x3) 4x2剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式， 然后再根据条件：整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为2只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程解： (1) 去括号，得5x2 66x23x，移项、合并同类项，得x23x60，此方程是一元二次方程(2) 移项，得8x2x0，此方程是一元二次方程(3) 因为未知数的最高次数是3，此方程不是一元二次方程(4) 方程中含有两个未知数，它不是

6、一元二次方程(5) a 10，它是一元二次方程(6) 整理，得4x0 它不是一元二次方程例 2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)2x23x 5；(2)(x1)(x1) 1；(3)(x2)240剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程解： (1) 整理，得2x23x50二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是 5(2) 整理，得x220二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是2(3) 整理，得x24x0二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0例 3

7、: 关于x的整式方程 (m1)x2(2m1)x4 0 是一元二次方程吗? 剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1) 整式方程； (2) 方程中只含有一个未知数；(3) 未知数的最高次数是2原方程显然满足(1) 、(2) 由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足 (3) 因此，需分类探讨解：当m10，即m1 时，原方程是一元二次方程当m10，即m1 时，原方程是x40 是一元一次方程说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号例 4: 用直接开平方法解下列方

8、程：(1)3x227 0；(2)(3x5)270解： (1)3x2 270， 3x227，x29，x9，即x3 或x 3x13，x2 3(2)(3x 5)270， (3x5)27，3x57，即 3x 57或 3x57x1357，x2357例 5：用配方法解方程2x27x40剖析：此题考查对配方法的掌握情况配方法最关键的步骤是：(1) 将二次项系数化为1；(2) 将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；(3) 方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(xa)2k的形式，然后用开平方法求解解：把方程的各项都除以2，得x227x20移项，得x227x2配方，得x227x(47)22(47)216

9、81，即 (x47)21681解这个方程，得x471681，x4749即x121，x2 4说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x24x3 的值恒大于零，可以做如下的变形：2x24x 32x24x21 2(x1)21例 6：用公式法解下列方程：(1)2x27x 4；(2)x2123 x解： (1) 方程可变形为2x27x40a2，b7，c 4，b2 4ac7242( 4) 810，x49722)4(24772x121，x2 4(2) 方程可变形为x223 x10a1，b 23，c

10、 1，b24ac( 23)2 41( 1)160 x24321216)32(x132，x232说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式例 7：一元二次方程(m1)x23m2x(m23m4) 0 有一根为零，求m的值及另一根解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m23m 40，解得m11，m2 4，又因为此方程是一元二次方程，所以m1 0，即m1，所以m 4把m 4 代入方程，得5x248x0，解得：x10，x29. 6，所以方程的另一根为9. 6说明：方程有一根为零时，常数项必须为零；求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先

11、决条件【同步达纲练习】1选择题(1) 下列方程中是一元二次方程的是( ) axx422 0 b322xx0 c x2 2xy10 d 5x3x1 (2) 下列方程不是一元二次方程的是( ) a21x21 b0.01x202x0.1 0c2 x23x0 d21x2x21(x21) (3) 方程 3x24 2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) a3， 4， 2 b3，2， 4 c 3， 2， 4 d 2， 2，0 (4) 一元二次方程2x2(a1)xx(x1) 1 的二次项系数为1， 一次项系数为1， 则a的值为 ( ) a 1 b1 c 2 d 2 (5) 若方程 (m21)x2xm

12、0 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ( ) am0 bm1 c m1 且m 1 dm 1或m 1 (6) 方程x(x1)0 的根为 ( ) a0 b 1 c 0， 1 d 0，1 (7) 方程 3x2750 的解是 ( ) ax5 bx 5 c x 5 d 无实数根(8) 方程 (x5)26 的两个根是 ( ) ax1x256b x1x2 56cx1 56，x2 56d x1 56，x256(9) 若代数式x26x5 的值等于12，那么x的值为 ( ) a1或 5 b7 或 1 c 1 或 5 d7 或1 (10) 关于x的方程 3x22(3m1)x2m 15 有一个根为 2，则m的

13、值等于 ( ) a2 b21c 2 d212把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x19x2；(2)(x1)(x3) 2x3；(3)(x3)(x3) 2(x3)2；(4)3 y22 y2 y23 y53当m满足什么条件时，方程(m1)x24mx4m20 是一元二次方程?当x0 时，求m的值4用直接开平方法解下列方程：(1)x249；(2)x2196；(3)3x2480；(4)4x210；(5)(x 1)2144；(6)(6x 7)2905用配方法解下列方程：(1)x212x 0；(2)x212x150 (3)x27x20；(4)9x26x 10

14、； (5)5x22x； (6)3x24x26用公式法解下列方程：(1)x22x10；(2)x(x 8)16； (3)x235x2；(4)0 8x2x 03；(5)4x210；(6)x27x； (7)3x2123 x；(8)12x27x107(1) 当x为何值时，代数式2x27x1 与 4x 1 的值相等 ? (2) 当x为何值时，代数式2x27x1 与x2 19 的值互为相反数? 8已知a，b，c均为实数，且122aab1 (c3)2 0，解方程ax2bxc09已知abc0求证： 1 是关于x的一元二次方程ax2bxc0 的根10用配方法证明：(1)3y26y 11 的值恒大于零；(2) 10

15、 x27x4 的值恒小于零11证明：关于x的方程 (a28a20)x22ax10，不论a为何实数，该方程都是一元二次方程【思路拓展题】怎样付车费才合理节假日里，乘坐出租车出游成为城市市民经济实惠的一种选择，朋友们合乘一辆出租车，aa 制 ( 即平均分摊 ) 方式分摊车资是一种合理且现代的消费方式有一次，甲、乙、丙三位朋友合乘一辆出租车，讲好大家分摊车资，甲在全程的31处下车， 乙在全程的32处下车， 最后丙一人坐到了终点，共付了 90 元钱 请你算一算，甲、乙应该付给丙多少车费? 参考答案【同步达纲练习】1(1)b (2)d (3)b (4)b (5)c (6)c (7) c (8)d (9)

16、b (10)d 2(1)9x24x10，9， 4，1； (2)x24x0，1，4，0； (3)x212x270，1，12，27； (4)(32)y2(32)y50，32，32，53m 1，m214(1)x123，x223；(2)x1 14，x214；(3)x1 4，x24；(4)x121，x221；(5)x113，x2 11；(6)x132，x2355(1)x10，x2 12；(2)x1 621，x2 621；(3)x12417，x22417；(4)x1321，x2321；(5)x110411，x210411；(6)x13102，x231026(1)x1x21；(2)x1 442，x2 442；(3)x16975，x26975；(4)x141，x223；(5)x121，x221；(6)x10，x27；(7)x1x233；(8)x131，x2417(1)x 2 或x21；(2)x4 或x358x12131，x2213