2020年高考理科数学《立体几何》题型归纳与训练

1、1 2020 年高考理科数学立体几何题型归纳与训练【题型归纳】题型一线面平行的证明例 1 如图，高为1 的等腰梯形abcd 中， am cd13ab1.现将 amd 沿 md 折起，使平面amd平面 mbcd ，连接 ab，ac. 试判断：在ab 边上是否存在点p，使 ad平面 mpc?并说明理由【答案】 当 ap13ab 时，有 ad平面 mpc. 理由如下：连接 bd 交 mc 于点 n，连接 np. 在梯形 mbcd 中， dcmb，dnnbdcmb12，在 adb 中，appb12， adpn. ad? 平面 mpc，pn? 平面 mpc ，ad平面 mpc. 【解析】 线面平行， 可

2、以线线平行或者面面平行推出。此类题的难点就是如何构造辅助线。构造完辅助线，证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。【易错点】 不能正确地分析dn 与 bn 的比例关系，导致结果错误。【思维点拨】此类题有两大类方法：1.构造线线平行，然后推出线面平行。此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。在此，我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此为前提可以得到线面平行。再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助

3、线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过ad 做了一个平面adb与平面 mpc 相交于线pn。最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。即先证2 ad 平行于 pn，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。2.构造面面平行，然后推出线面平行。此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案。辅助线的构造理论同上。我们只须过已知直线上任意一点做一条与已知平面平行的直线即可。可总结为下图例 2 如图，在几何体abcde 中，四边形 abcd 是矩形， ab平面 bec， be

4、 ec，ab beec2，g，f 分别是线段be，dc 的中点求证： gf平面 ade ；【答案】 解法一：(1)证明：如图，取ae 的中点 h，连接 hg，hd ，又 g 是 be 的中点，所以 ghab ，且 gh12ab. 又 f 是 cd 的中点，方法三方法二方法一pabpabdeabcdde方法一bac3 所以 df12cd. 由四边形abcd 是矩形得，abcd，ab cd，所以 ghdf，且 ghdf，从而四边形hgfd 是平行四边形，所以gfdh. 又 dh ? 平面 ade ，gf? 平面 ade ，所以 gf平面 ade. 解法 2：(1)证明：如下图，取ab 中点 m，连

5、接 mg，mf. 又 g 是 be 的中点，可知gmae. 又 ae? 平面 ade ， gm? 平面 ade ，所以 gm 平面 ade. 在矩形 abcd 中，由 m，f 分别是 ab ，cd 的中点得mfad. 又 ad ? 平面 ade ，mf? 平面 ade ，所以 mf平面 ade. 又因为 gm mf m，gm ? 平面 gmf ，mf? 平面 gmf ，所以平面gmf平面 ade. 因为 gf? 平面 gmf ，所以 gf平面 ade. 【解析】 解法一为构造线线平行，解法二为构造面面平行。【易错点】 线段比例关系【思维点拨】同例一题型二线线垂直、面面垂直的证明例 1 如图，在

6、三棱锥p-abc 中， paab，pabc，abbc，paab=bc =2，d 为线段 ac 的中点，e 为线段 pc 上一点(1)求证： pabd；(2)求证：平面bde平面 pac【答案】 (1)证明：因为p aab，pabc，abbcb，所以 pa平面 abc. 又因为 bd? 平面 abc，所以 pabd. 4 (2)证明：因为ab bc，d 为 ac 的中点，所以 bd ac. 由(1)知， pabd，又 acpaa，所以 bd 平面 p ac. 因为 bd ? 平面 bde，所以平面bde平面 p ac. 【解析】 (一 )找突破口第(1)问：欲证线线垂直，应转化到证线面垂直，再得

7、线线垂直；第(2)问：欲证面面垂直，应转化到证线面垂直，进而转化到先证线线垂直，借助(1)的结论和已知条件可证；(二)寻关键点有什么想到什么注意什么信息： pa ab，pa bc 线面垂直的判定定理，可证pa平面 abc(1)证明线面平行的条件：一直线在平面外， 一直线在平面内(2)证明线面垂直时的条件：直线垂直于平面内两条相交直线(3)求点到面的距离时要想到借助锥体的 “ 等体积性 ”信息： ab bc，d 为 ac的中点等腰三角形中线与高线合一，可得 bdac信息： pabd 证明线线垂直， 可转化到证明一直线垂直于另一直线所在平面，再由线面垂直的定义可得信息：平面 bde平面 p ac

8、面面垂直的判定定理，线线垂直? 线面垂直 ? 面面垂直信息： pa平面 bde 线面平行的性质定理，线面平行，则线线平行，可得pade 【易错点】 规范的符号语言描述，正确的逻辑推理过程。【思维点拨】(1)正确并熟练掌握空间中平行与垂直的判定定理与性质定理，是进行判断和证明的基础；在证明线面关系时，应注意几何体的结构特征的应用，尤其是一些线面平行与垂直关系，这些都可以作为条件直接应用(2)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行(3)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线

9、，将证明面面垂直转化为5 证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决(4)证明的核心是转化，空间向平面的转化，面面? 线面 ? 线线题型三空间向量例 1 如图，四面体abcd 中， abc 是正三角形， acd 是直角三角形，abdcbd，ab=bd . (1)证明：平面acd平面 abc；(2)过 ac 的平面交bd 于点 e，若平面 aec 把四面体abcd 分成体积相等的两部分，求二面角d-ae-c的余弦值【答案】 (1)证明：由题设可得， abd cbd ，从而 addc. 又 acd 是直角三角形，所以adc90 . 取 ac 的中

10、点 o，连接 do，bo，则 doac，doao. 又因为 abc 是正三角形，所以boac. 所以 dob 为二面角d-ac-b 的平面角在 rt aob 中， bo2ao2ab2. 又 ab bd，所以 bo2do2bo2ao2 ab2 bd2，故 dob90 . 所以平面acd平面 abc. (2)由题设及 (1)知， oa，ob， od 两两垂直以o 为坐标原点，oa的方向为x 轴正方向， | oa|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz，则 a(1,0,0)，b(0，3，0)，c(1,0,0)，d(0,0,1)由题设知，四面体 abce 的体积为四面体abcd 的体积的1

11、2， 从而 e 到平面 abc 的距离为d 到平面 abc的距离的12，即 e 为 db 的中点， 得 e0，32，12.故 ad( 1， 0,1)， ac(2,0,0)， ae 1，32，12. 6 设 n(x1，y1，z1)是平面 dae 的法向量，则n ad0，n ae0，即 x1z1 0， x132y112z1 0.可取 n1，33，1 . 设 m(x2，y2， z2)是平面 aec 的法向量，则m ac0，m ae0，即2x20，x232y212z20，可取 m(0， 1，3)则 cosn，mn m|n|m|333213 277. 由图知二面角d-ae-c 为锐角，所以二面角d-ae

12、-c 的余弦值为77. 【解析】 (一 )找突破口第(1)问：欲证面面垂直，应转化去证线面垂直或证其二面角为直角，即找出二面角的平面角，并求其大小为 90 ；第(2)问：欲求二面角的余弦值，应转化去求两平面所对应法向量的夹角的余弦值，即通过建系，求所对应法向量来解决问题(二)寻关键点有什么想到什么注意什么信息： abc 为正三角形， acd 是直角三角形特殊三角形中的特殊的边角：abc 中三边相等， acd 中的直角(1)建系时要证明哪三条线两两垂直，进而可作为坐标轴(2)两平面法向量的夹角不一定是所求的二面角， 也有可能是两法向量夹角的补角，因此必须说明角的范围信息：abd cbd ，ab

13、bd 边角相等关系可证两三角形全等，进而可证ad dc，adc 90信息：证明：平面acd 平面 abc 面面垂直的证明方法：几何法或定义法信息：体积相等由体积的大小关系转化到点到面的距离的大小关系，进而7 知点 e 为 db 的中点【易错点】 正确建立空间直角坐标系，确定点的坐标，平面法向量的计算。【思维点拨】1利用空间向量求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标；(3)结合公式进行论证、计算；(4)转化为几何结论2求空间角应注意的3 个问题(1)两条异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角 ，即 cos |cos |.(2)直线与平面

14、所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，注意函数名称的变化(3)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角【巩固训练】题型一线面平行的证明1.如图，在正方体abcda1b1c1d1中， s 是 b1d1的中点， e、f、g 分别是 bc、dc、sc的中点，求证：(1)直线 eg平面 bdd1b1；(2)平面 efg平面 bdd1b1. 【答案】 详见解析【解析】 (1)如图，连接sb，e、 g 分别是 bc、sc 的中点，eg sb. 又 sb? 平面 bdd1b1，eg? 平面 bdd1b1，直线eg平面 bdd1b1. 8 (2)连接

15、 sd， f、g 分别是 dc、sc 的中点， fgsd. 又 sd? 平面 bdd1b1，fg? 平面 bdd1b1， fg平面 bdd1b1，又 eg? 平面 efg，fg? 平面 efg，eg fg g，平面efg平面 bdd1b1. 2.如图，四棱锥pabcd 的底面是边长为1 的正方形，侧棱pa底面 abcd，且 pa2，e 是侧棱 pa上的中点求证： pc平面 bde；【答案】 详见解析【解析】 证明：连接ac 交 bd 于点 o，连接 oe，如图：四边形 abcd 是正方形，o 是 ac 的中点又 e 是 pa 的中点， pcoe. pc? 平面 bde ，oe? 平面 bde

16、，pc平面 bde. 3.如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd 是等腰梯形，dab60 ，ab2cd2，m 是线段ab 的中点9 求证： c1m平面 a1add1；【答案】 详见解析【解析】 证明：因为四边形abcd 是等腰梯形，且 ab2cd，所以 abdc.又由 m 是 ab 的中点，因此cdma 且 cdma.连接 ad1，在四棱柱abcd a1b1c1d1中，因为 cdc1d1，cdc1d1，可得 c1d1ma， c1d1ma，所以四边形amc1d1为平行四边形因此 c1md1a， 又 c1m? 平面 a1add1， d1a?平面 a1add1，所以 c1m平面 a1

17、add1. 题型二线线垂直、面面垂直的证明1.如图，在四棱锥pabcd 中，pa底面 abcd，abad，accd，abc60 ，paabbc，e 是 pc 的中点(1)证明： cdae；(2)证明： pd平面 abe；【答案】 详见解析【解析】(1)在四棱锥p abcd 中，因为 pa底面 abcd ， cd?平面 abcd， 故 pacd， accd， pa aca，cd平面 pac，而 ae? 平面 p ac，cdae，(2)由 paabbc， abc60 ，可得 acpa，e 是 pc 的中点， aepc，由(1)知， aecd，且 pc cdc，所以 ae平面 pcd，而 pd? 平

18、面 pcd，aepd，p a底面 abcd，pd 在底面 abcd 内的射影是ad，abad， ab pd，又 ab aea，综上可得pd平面 abe. 10 2.如图，在三棱锥pabc 中， papbpcac4，abbc22. 求证：平面abc平面 apc；【答案】 详见解析【解析】 (1)证明：如图所示，取ac 中点 o，连接 op，ob. p apcac4，op ac，且 po4sin60 2 3. babc2 2，ba2bc216ac2，且 boac，boab2ao22. pb4，op2ob212416pb2，op ob. ac obo， op平面 abc. op? 平面 pac，平面

19、 abc平面 apc.3.如图所示， 四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 为平行四边形， ab2ad2， bd3， pd 底面 abcd. 证明：平面pbc平面 pbd；【答案】 详见解析【解析】 (1)证明：1,2,3cbcdbdcd2bc2bd2，bcbd. 又 pd底面 abcd， pdbc. 又 pd bdd， bc平面 pbd. 11 而 bc? 平面 pbc，平面 pbc平面 pbd. 题型三空间向量1.已知直三棱柱abca1b1c1中， acb90 ， acbc 2， aa14，d 是棱 aa1的中点如图所示(1)求证： dc1平面 bcd；(2)求二面角abdc 的大小【答

20、案】 详见解析【解析】 (1)证明：按如图所示建立空间直角坐标系由题意，可得点 c(0,0,0)， a(2,0,0)， b(0,2,0)， d(2,0,2)， a1(2,0,4)， c1(0,0,4)于是，1dc(2,0,2)，dc( 2,0， 2)，db(2，2， 2)可算得1dcdc0，1dcdb0. 因此， dc1dc，dc1db. 又 dc dbd，所以 dc1平面 bdc. (2)设 n(x，y，z)是平面 abd 的法向量，又ab(2,2,0)，ad(0,0,2)，所以 2x2y0，2z 0.取 y1，可得x1，y1，z0，即平面 abd 的一个法向量是n(1,1,0)由(1)知，

21、1dc是平面 dbc 的一个法向量，记 n 与1dc的夹角为 ，则 cos 12， 23. 结合三棱柱可知，二面角abdc 是锐角，故所求二面角abdc 的大小是3. 2.如图 1，在 rtabc 中， acb30 ， abc90 ，d 为 ac 中点， aebd 于点 e，延长 ae 交 bc于点 f，将 abd 沿 bd 折起，使平面abd平面 bcd，如图 2 所示12 (1)求证： ae平面 bcd；(2)求二面角adcb 的余弦值；(3)在线段 af 上是否存在点m 使得 em平面 adc？若存在，请指明点m 的位置；若不存在，请说明理由【答案】 详见解析【解析】(1)证明： 因为平

22、面abd 平面 bcd ， 交线为 bd ，又在 abd 中， ae bd 于点 e，ae? 平面 abd ，所以 ae 平面 bcd. (2)由(1)中 ae平面 bcd 可得 aeef. 由题意可知efbd，又 aebd，如图，以 e 为坐标原点， 分别以 ef，ed，ea 所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系exyz，不妨设abbddcad2，则 beed1. 由图 1 条件计算得ae3，bc2 3，bf2 33，则 e(0,0,0)，d(0,1,0)，b(0，1，0)，a(0,0，3)，f33，0，0 ，c(3，2,0)，dc(3，1,0)，ad (0,1，3)由 ae平面 bcd 可知平面dcb 的法向量为ea，ea(0,0，3)，设平面 adc 的法向量为n(x，y，z)，则3x y0，y3z0.令 z1，则 y3，x 1，所以 n(1，3，1)因为平面dcb 的法向量为ea，所以 cosn，ea55. 所以