磁性物理中的LLG方程的求解与讨论

1、山西师范大学本科毕业论文磁性物理中的llg方程的求解与讨论姓 名院 系专 业班 级学 号指导教师答辩日期成 绩郭勤皇物理与信息工程学院物理学135201041354010443白宇浩磁性物理中的llg方程的求解与讨论内容摘要磁性物质是材料科学研究中的重点课题，研究磁性物质中磁矩随时间的演化行为不 仅在基础物理上具有较强的理论意义，而且也是实际磁性器件设计和使用中的一个重要 问题。landeiu-lifshitz-gibert (llg)方程是描述铁磁物质的磁矩在交变磁场屮随时间 变化的基本方程，也是磁学领域中最重要的一个数理方程。本文叙述了 llg方程的理论 背景与发展状况，并以磁隧道结传感器

2、为例，介绍了 llg方程的具体求解过程；另外, 我们对理论计算结果也进行了较为详细的讨论。木论文的研究结果有利于我们对llg方 程的进一步理解和认识，也有利于我们讨论磁性物质的磁化反转过程。【关键词】landau-l i fsh itz-g i bert方程 磁性传感器 磁矩反转 垂直磁各向异性 磁阻设备solution and discussion of the llg equation in the field of themagnetic physicsabstractthe research of the magnetic material is the basic issue in

3、the field of the materials science. the magnetization reversal process in the ferromagnetic materials is very meaningful in the investigation of the theoretical physics. in addition, it can also be useful for the desig n of the related magn etic devices. the landau-lifshitz-gibert(llg) equation is a

4、n basic equation in the field of the magnetism which is used to describe the time evolution of the magnetization under the condition of the alternating electromagnetic field. in this paper, we have introduced the background and the development of the llg equation. furthermore, taking the magnetic tu

5、nnel junction for example, we introduce the method of solving the llg equation, at the same time, we also make a detailed discussion about the calculated results our investigations are useful to understand the llg equation. additionally, it will also be useful to discuss the magnetization reversal p

6、rocess in the ferromagnetic materials.key words landau-lifshitz-gibert equation magnetic sensors spin valves,magnetoresistive devices perpendicularmagneticanisotro一、弓i言1二、llg方程的具体求解过程4（一）、单轴铁磁晶体处于交变磁场中的llg方程4（二）、llg方程的求解5三、对llg方程进彳亍讨论错误!未定义书签。四、总结15参考文献15致谢17学生姓名：郭勤皇磁性物理中的llg方程的求解与讨论指导教师：白宇浩、引言我们知道量

7、子力学屮最基本的方程是薛定铐方程，这个方程描述的是微观粒子的运 动状态。而磁学中最基本的方程便是landau-lifshitzgibert方程olandau和lifshitz 通过对铁磁体磁导率的色散理论的研究，提出了 landau-lifshitz方程。landau和 lifshitz通过研究铁磁共振，第一次提出了阻尼力矩项，随后gibert假设阻尼的作用 很微弱时，将其进行了近似处理。将经过近似处理的阻尼力矩项与landau-ijfshitz方 程整合到一起，最终得到了 landau-lifshitzgibert方程。llg方程很好的描述了铁磁 物质在交变磁场中磁矩随时间的演化行为。物理学

8、中，许多物理问题都可以利用数学工具转化成数学问题，便于对其更深入细 致的研究，尽管将物理问题转换成数学问题的研究结果并不是令人很满意，但是数学物 理方法对于物理学的发展起着推动性的作用，我们知道物质的基本属性包括磁性，口磁 性作为材料科学研究领域里不能缺少的部分，因此定性理解铁磁物质在交变电场屮随时 间变化的磁化过程，用数学物理方法求解在交变磁场中的1±g方程，并对该方程所描述 的过程进行详细讨论，对研究物质磁性起到了至关重要的作用。1907年wiss为了说明 铁磁性物质的磁性,经过坚持不懈的努力，最终提出了分子场的假说。1928年heisenberg 提出了自发磁化产生的原因是自旋

9、旋转角动量之间的相互耦合这一观点。1953年，lan- dao和lifshitz通过对文献19的知识研读，并将有用的知识应用到铁磁体磁导率的色 散理论的研究中，在此过程中提出了磁学中最基础的磁化运动方程 即¥ = aru x he a2u x (u x he),v(1-1)“x”式中表示了两个三维向量的外积,u = (u1(x,”3® £)，均，i二(1,2,3)代表空间变量x和时间变量t的一个三维向量函数，u表示磁化强度，是作用于 磁矩的有效磁场强度：h* = _舟£机昭伍)，其中emagw为整个磁场能量密度。假设有界多、连通的区域q中充满磁铁磁体，q

10、 ur。，在此情况下忽略了力学效应并且设温度为低于居里温度的一个常数，那么emap(u)可以表示成:emag(u)= eex(ll) + ean(ll) + ef 血 d (”)其屮eg尢包)代表的是交换能，可以写成eexm =ean(u)代表的是磁晶各项异向能，口j以写成ean (u) = j,eueld(u)代表的是磁场能2,可以写成e问 d(u)=命 j 3/de式中h和u耦合并且满足maxwcl 1方程，因为h在q外依然存在，所以可以在整个“中进行积分。整个磁场处于定常平衡态情况下，它的能量emag(u)为局部最小值，在整个"中 磁静态maxwe 11方程可以写成：v-(h

11、+ 4ttu), vx h = 0,其中v表示散度，vx表示旋度，“”表示数量积，并且在有界，多连通的区域q中u满足非线性约束关系:|u(x)| = uqo在landau-lifshitz方程当中，将屮=-emag(u)定义成:3(1-2)q x(0, t)he 三-顾 h吨(u) = h-(/)(")+ 2m = 17由上时可以得出landau-lifshitz动力系统模型警=右“ xhe - a2u x (ux he otqduh° 三-帀emag(u) = h -巩0) + > 呵治.治.'qx(0 t)ii,j=li 7式中的右，久2为实常数且久2&g

12、t;0,并且是一个正定张量，上述模型中的第一个方程等 式右边的第一项是通过u绕着具有常数角度向量h。运动而形成的，它不属于耗散项，第 二项表示u趋近于沿着有效磁场的有序排列，粘性导致了这一项的的形成，所以属于 耗散项。在静态的时候或者在阻尼很强的情况下，可得出右u xhe - a2u x(uxwe) = o,(1-3)当不存在外加磁场的条件时，方程可写成：du= /li u x au 久2 x (u x au) f(1 4)ot方程(1)是一个铁磁介质磁化运动模型，该模型处外磁场中。在方程(3)描述的是存 在阻尼项非常强的情况下，铁磁介质磁化运动的最终结果，方程(4)描述的是在没有 外加磁场的

13、铁磁介质磁化运动模型。人们通过定性的分析到定量的分析，研究了铁磁体 的磁化运动得到这三个方程。如果我们将方程(4)考虑成只在单位球面上(即|u|=l) 的情况，令久1 = 1,久2 = q，时,我们能够得出landau-lifshitz-gilbert方程的表达式: dudu/”+ au x = (1 + az)u x bu,otdt朗道-栗弗席兹方程在铁磁物质的动态磁化理论中所起到的重要作用与纳维叶-栗弗 席兹方程在流体动力学中中所起到的作用是极其相类似的。landau-lifshitz方程的作 用可以从数学和物理这两个角度加以分析。从数学角度分析，朗道-栗弗席兹方程简单的说，它是一个微分方

14、程，具体的讲，该 方程是一个拟线性抛物线方程并口属于强耦合、强退化类型。其次，朗道-栗弗席兹方 程在一些确定的情况下，与某些具有重要意义的方程(如西内-高登方程、调和映照热 流、纳维叶-斯托克斯方程和薛定谭映照)有着极其密切的联系。例如朗道-栗弗席兹- 麦斯威尔方程是由朗道-栗弗席兹方程与麦斯威尔方程作用形成的，这两个方程之间存 在相互耦合，朗道-栗弗席兹-麦斯威尔方程的表达式为(u x (au + h),(du/、=aru x (au + h) a2u x dtdev x h = + aev x h + /?v u = 0/dt(1 5)其中“x”表示两个三维向量的外积，也，a2, o, b

15、表示常数，&2上0,。20, u二 (ui(x, t), u2(x, t), u3(x, t)代表微观磁化场强度,h=(hi(x, t), h2(x, t), h3(xf 0)表磁 场强度，eg (%, t), e2 (x, t), e3 (x, t)表示电场强度o /、* d2u ( d dd 肝三一臥旳m +时忑瓦)1=1landau-li f shi tz-maxwe 11方程有着非常广泛的应用，所以有很多的人对 landau-l i f sh i t z-maxwe 11 进行了 大量的研究。从物理角度分析，朗道和栗弗席兹提出这个方程，在此同时，指岀了铁磁共振现象 必然发牛的这

16、一论断。但是，在超高频技术发展的越来越成熟后，才能真正意义上观察 到铁磁共振吸收现象。随着科技的发展，对硬盘储存性能的要求提高，通过研究磁矩翻 转的基本方程一一朗道一栗弗席兹一吉尔伯特(llg)方程及其推导过程，将自旋力矩项考 虑在内，能为硬盘储存性能的提高提供十分重要的理论基础。近年来，通过对反映磁致 伸缩层磁化强度动态特性的朗道-栗弗席兹-吉尔伯特(llg)方程进行详细分析，并对电 容的伏安特性加以参考，研制出了自旋电子器件的一类hspice仿真电路模型。上述的研 究成果为以后应用应变调制型多铁异质结器件设计人规模集成电路奠定了举足轻重的 理论基础。此外，landau-lifshitz-g

17、订bcrt方程在纳米磁性颗粒交流磁化率、纳米磁 性颗粒小点阵的动力学响应以及纳米颗粒的磁化强度快速翻转特性的研究中扮演着至 关重要的角色。二、llg方程的具体求解过程(一)、单轴铁磁晶体处于交变磁场屮的llg方程以单轴铁磁晶体处于交变磁场h二hor叽的情况中的计算过程(z轴为界磁化轴)为例。当单轴铁磁品体达到磁化平衡状态时，晶体中的各种相互作用能(交换能、磁场能 和磁晶各向异性能全部都取到了极小值，即6 j £(vao2 + (va2)3 + (va3)2 + 伦坯-h-idt = of(2 - 1.1)这里的(口一叽，«3)属于厶的方向余弦，a属于交换积分，a属于晶格常

18、数,伦属于磁晶各向异性常数。假设z轴的单位矢量可以写成八，则可将方程(6)中的每一项经过変分可以得到如下的 方程：（2 一 1,2）v2/s + h) 8isdz = 0,由(2 - 1,2)式可以知道，5a 92©（2 一 1.3）肓学飞+ h = h有效, 上式代表在铁磁:本内的有矗磁场(略去退磁场和与内应力相当的场)，其中第一项表示交换场，第二项表示结晶各向异性场，第三项表示外加交变磁场，通过(2 - 1.2)式可以知道= 0,所以在平衡时，人绝对与h彷汙行。在磁化矢量的运动过程中，假若人的方向与h看戒的方向不一致，则可得到的运动方程是:贽=-丫人 x h 有效,(2 - 1.

19、4)这里的y = gl, is的方向改变而不改变它的大小。从(2 - 1.4)式可以得到拉莫尔进动，即厶绕着h有效的旋转。假如铁磁晶体在有效磁场中完全无阻尼作用，那么进动将永不停息，并且仁和h冇屆是存在着一定的的角度。 但是在实际的情况中，阻尼是存在的，并且由于阻尼的作用，能量渐渐的损耗掉，导致"s和h磁两者间的夹角变得越來越小，即仁慢慢的旋进(称为旋磁性)，最终与h弦的方向相互重合。所以，在(2 - 1.4)式中的最后一项后边应该加一项阻尼的力矩项。 朗道和栗弗席兹研究铁磁共振的过程屮第一次提出了众所周知的阻尼力矩，阻尼力这里的入称作阻尼系数，也能写成下面形式= _ * "

20、;s x (fs x h 有d假如阻尼的作用非常微弱，那么阻尼力矩项可以简单的写成矩项td的表达式可以写成(2 - 1.5)(2 - 1.6)(2 一 1.7)这个近似式是由吉尔柏特(匚厶g阳x1995)2t7特提出的。把人x (/s x h有為三(人 h有牧)人一有奴代入(2-1. 5)式，可以得到"s h有效atd = 2有效is = h-is,(2 - 1.8)这里的肮=代。当和円舷间的角度不是很大的时候，人诃磁"sh磁，通过这样 有效的近似可以得出上式。把(2-1.4)和(2-1.5)整合到一起，就可以得出实际存在阻尼的情况时运动方程 的具体表达式dtd-=-yis

21、xh+td,(2 - 1.9)假若没有加交变外场，那么体系中的有效磁场是恒定的，为h冇效，j的运动过程是渐 渐旋进于h有莎向的过程，该过程属于一种弛豫过程，其中入和弛豫常数t两者存在一定 的数学关系，即入=血。t(二)、llg方程的求解下面利用数学物理方法和已经掌握的物理基础知识，在具体的实例中，对llg方程 进行具体的求解。现在我们简单的了解一下实例模型一一磁隧道结传感器上的内外面膜厚度对感应 能力的影响。通过对实现内外面磁自由层线性响应和磁滞自由响应的磁隧道结传感器 的论证，我们可以知道有不同瞬态响应的磁隧道结传感器的两个装置的自由层和参考曾 上有分别有不同的磁化分布，并且它们也有不同的感

22、应能力，即拥有外面磁自由层的感 应器存在内面感应能力；拥有内面磁自由层的感应器存在外面感应能力。目前，通过对 自由层的厚度上磁瞬时相关转动的理论研究，可以知道自由层的敏感性和传感范围呈现 出线性和非线性相关。这些调查结果表明通过精确的控制自由层的膜厚度能得到一个高 敏感性的磁传感器。由于磁隧道结和自旋阀灵敏的高磁感应性1-13,在商业中它们广泛的应用在磁感应器 中，尤其是地球的磁场传感、高感应性、线性反应和在低感应范围内相关磁感应装置的 生产存在磁滞损耗，这些要求可以通过加一个偏移场51'61,利用自由层各向异性、或 者有步骤的诱导磁各向界性，可以让自由层和参考曾的磁化强度方向达到初始

23、相互垂 直。近来，大量的实验通过使用一个内外面磁化自由层组成成分为mgo的磁隧道结感 应器，以得到线性无磁滞隧道磁电阻信号111 m ，10在这些方法中i3l（n,当外面的膜平 面和其它面垂直时，使得自由层和参考层达到初始相互垂直磁化。对于一个测量横磁场的装置來说，内面磁参考层和垂直磁白由层的作用是至关重要 的。然而，对于感应垂直场来说，应该有自由层和参考层的磁场分别与其内而和外而 对齐。满足上述情况的简便方法之一是控制自由层为富铁硼铁化钻（cofeb）材料的 膜协调厚度的易轴方向，在硼铁化钻（cofeb）和氧化镁（mgo）层之间呈现出大界面各 向异性这些材料已经用到磁储存器9li11和微波振

24、荡器中了 在这篇论文中，我们 做出两个在自由层和参考层屮有不同磁场分布的磁隧道结感应装置，如图一所示，理论 上检测，在自由层中，装置基于磁i舜时连贯转动的感应能力。m-piano fiold图一是磁场感应装置的两类图解，左边的感应器在x-z面上有感应能力, 而右边的感应器有外面感应能力。自由层的磁场强度m相对于外加磁场 h*竝来说更强。这能推动磁场强度远离在竖直方向和与竖直方向相反的 易轴模型输出的tmr信号可以由参考层的感应强度的感应器读出。在图一屮给出了我们需要的模型系统。对于内面和外面场的感应强度來说，两个参 考层分别有内而和外面磁各向异性。尤其是内面参考层通常由硼铁化钻（cofeb）材

25、 料组成的一个合成反铁磁性层和外面参考层由钻钳金多分子层结构组成f此外，通 过调节自由层的不同感应值可以调节一个硼铁化钻（cofeb）的磁各向异性，由朗道-栗 弗席兹-吉尔伯特方程决定一个由外磁场hext控制自由层的磁化动力系统。landau-lifshitz-gibcrt 方程:dm,a 了.嵐 dm、-=-y(mxh)+-(mx-)(2 一 2.1)其中(2 一 2.2)h =而kmcmxx + g/d - 2nmmyy + hext,这里的m代表的是自由层中的磁化强度矢量，ms指的是饱和磁化强度，y=176x looe-是旋磁比，a是吉伯尼常数，心。是磁晶各向异性，心是界面垂直各向异性，

26、d是自由层的膜厚度。通过依据球面坐标系(b, (p)可以定量的确定磁化强度矢量参数m,艮卩 m=ms ( sin 0 cos (p / sin 0 sin (p cos 0),那么丝=ms(cos cp cos 00 sin 0 sin 99), cos 0 smcpo + sin0 cos(p(p, sin & 0) d t由公式(2 - 2.2)可以知道：心。是沿着x轴方向的，sin0 cos是m沿x轴的投影，即m 与x轴的夹角；而g/d-27imq是垂直于film的垂面异性，将其定义为y轴，很显然 sin0 sin为与k丄轴两者间的夹角：hext = h ( cos/? i 4-

27、 sin/? / 4- ofc这里的b是h与x 轴的夹角，也就是说竝是在x-y平面内施加的。利用矢量叉乘定义：axb = c即=(力2民一力3b2" + (a3b1 a1b3) + (久匕a2b)kmxh =ms sin 6 coscp2际sin0 coscp + h cos/?ms sin 9 sin cp2k,sin 0 sin cp + h sin b mskms cos 00/2k丄=ms cos 6 f sin 0 sin + h sin/? h(2kmc+ ms cos 0 ( sin 0 cos (p + h cos+ ms sin 8 cos 卩(罟sin 8 sin

28、 + h sin 0-sin 9 sin (psin 0 cos (p + h cos /?) k=(-2k丄 sin 6 cos 6 sin (p hms cos 0 sin /?)i+ (2k丄 sin 6 cos cp cos cp + hms cos 6 cos /?)/+ (2klsin29 cos cp sin <p + hms cos 9 sin 卩)(2kmcsin20 sin 0 cos (p + hms sin 6 sin (p cos 0)k=(2/<丄 sin 0 cos & sin 卩 + hms cos 6 sin “)i+ (2kmc sin

29、3 cos 6 cos (p + hms cos 3 cos /?)/+ (2k丄2kmc)sin20 sin cp cos cp + hms sin 0 sin/? <p那么(2-2.1)式的第一项可写成/y (2k丄 sin 6 cos 0 sin + hms cos 0 sin /?)y(m x h) = iy - (2kmc sin 0 cos 0 cos cp + hms cos 0 cos 0)y (2k丄2kmc)sin20 sin (p cos (p + hms sin 0 sin/? - <pmxdmdtms sin 0 cos (pms cos 0 cos (p

30、 9 mssm6 sin (p (pms sin q sin (pms cos 0 sin 0 0 + ms sin 9 cos (p (pms cos 0ms sin 0 9msin29 sin(p 0 m?cos 6 sm(p 0 cos 6 sin 9 cos cp (pmjcos29 cos (p 9 sin 9 cos 9 sin cp cp + mssin29 cos <p 6+mssin26cos 6 + m?sin28sin (p(p(2 一 2.3)(2 一 2.4)(mj sin 卩 0 mj cos 6 sin 9 cos <p (p m cos <p

31、9 sin 9 sin cp cos 6 <p mjsin20(p那么(2-21)式的第二项可写成-ams(sin 0 0 + cos 6 sin 0 cos cp 0)ams(cos(p6 smd sin (p cos q <p)amssin20(p将(2-2.3)式和(2-2.4)代入llg方程即(2-2.1)式中： 则有ms cos cp cos 8 & ms sin 8 sin cp cp=y2k丄(sin 0 cos 0 sin 0 + hms cos 0 sin /?) + ams(sin 0 0 + cos 0 sin 0 cos (p(/),对上式进行化解(

32、ms cos (p cos 0 + ams sin(p)6 (ms sin 0 smcp ams cos 0 sin 0 cos(p)(p=y(2k丄 sin 6 cos 0 sin 卩 + hms cos 6 cos /?),(2 2.5)ms cos 0 sincp 0 + ms sin 0 cos (p (p=y(2kmc sin 0 cos q cos (p + hms cos 0 cos /?) + ams(cos(p0 sin 6 cos 0 sin (p 0)， 即(ms cos 0 sm(p ams cos(p)0 + (m$ sin 0 cos (p + ams sin 0

33、cos 0 sin(p)(p=y(2kmc sin 0 cos 0 cos cp + hms cos 9 cos /?),(2 2.5)ms sin 9 0 = y(2k丄2kmc)sin29 sin <p cos (p + hms sin 0 sin(/? <p)+ amssin20(p,(2 2.6)对(2 - 2.6)式进行简单的运算可以得到：9(2k丄一 2心»9asinz6(p + sin 0 0 = y sin29 sin 9 cos cp + h sin 6 sin(/? cp)ms再将上面等式两端分别除sin 0可以得到下面式子asind cp + 0 =

34、 y竺普 sin&s 叱呵-hsing")齐（力0）由上式可以知道(2 一 2.7)/、（2k丄 一 2心0九（0，0）=sin & sin 卩 cos 卩h sin（p 0）,k= ¥_2ttm?由上面的推导可以得到第一个重要的方程a sin 0 (p 4- 0 = y(p),(2 2.8)通过将方程(2-2.5)和(2-2.6)运用数学手段，进行化解整理得到第二个方程。具体 的运算步骤如下：(2 一 2.5) sin - (2 - 2.6)cos爭可以得到两个新的方程： (ms cos (p sin (p cos 0 + amssin2(/)0 一 (m

35、s sin 0 sin2(p ams cos 0 sin 0 cos (p sin(p)(p=y2k丄 sin 6 cos q sin2 cp + hms cos 9 sin (i sin(p,(2 2.9) (ms cos cp sin (p cos 9 + amscos2(p)0 + (ms sin 0 cos2(p ams cos 0 sin 6 cos (p sin(p)(p(2 一 2.10)=y2kmc sin 0 cos 0 cos2 cp + hms cos 6 sin 0 cos cp, ams6 ms sin 6 cp = y(2klsm2(p + 2kmccos2(p)

36、sin 0 cos 6 + hms cos 0 cos(p 0),将（2-2.11）等式左右两边同时除ms之后可以得到 sin 0= y(2 一 11)+ 2眷“c cos2g) sin 6 cos 6 + h cos 6 cos(p /?)(2 2.12)令（2-2. 12）式中的<p)=(普+ 2第"cos?©) sin 0 cos 0 + h cos 6 cos® /?), (2-2. 12)式帚以得到一个材化方程- sin 0 0 =)/ e©，(p),将(2-2.8)和(2-2. 14)两个等式联立起来可以得到(朋sin&0 =

37、y /2(0，p)o + asin00 = y .九©，p)在(2-2.14)等式两端同时乘以ex可以得到a26 asino (p = yo af?©, (p)9 asm 0 (p = y /i(0, cp)解(2-2.15)这一个方程组(即这两个方程相加)可以得到解(l + a2)0 = y(a/2+a)对上式进一步化解可得1 + a2 .- d = fi + afi，解(2-2.15)这个方程组(即这两个方程相减)可以得到解(1 + /) sin & 0 = y(afi(0, <p) 一 血，0)对上式进一步化解可得1 + a2/、/、-sinocp =

38、a/i(0,0)+ fn© 硏,通过上述的具体的公式推导得到了两个重要的方程，即1 + a2y9 =/1(&0)+ 町2(&0)，sin 00 = £(0,0)+ af©(p),(2-2.13)(2 一 2.14)(2 一 2.15)(2 2.16)(2 一 2.17)(2 2.16)(2 一 2.17)三、对llg方程进行讨论上面(2-2.7)和(2-2.13)两式中b角是矢量如和x轴间的夹角。在模型中，对 于处在外磁场的内面和外面来说，b角分别为0°和90°。当自由层的易轴和外磁场两者都 在x-y平面上且0=时，处于磁化均衡

39、状态，因此将0 = 2代入上述方程和九(00)屮, 得到一个空间能量密度函数e(p)1131 :e(q) = (hk/2)sin2(p 一 hext cos 0 cos - 0),这里的hk = 2kmc + itimj - kjd)/ms = 2k/mso 若hext = 0时，将e (p)函数求一 阶导很容易得到(p = 0,勺 兀,乎时能量均衡值，根据稳定性条件篙0,当k0吋<p = 0和71的情况下，处于能量最小值，并且易轴接近于x轴，这反映了外面场的感应能 力；但是当kvo时，申=需和弓的情况下，处于能量的最小值，通常与易轴对齐的膜面 乙乙能显示出内场的感应能力。上述两种情况反

40、映了在图一中的两种磁化强度的排列下的线 性输出和磁滞损耗的输出。k的绝对值实际上是两能量最小值之间的的能量位垒。然而， 如果|丹討值是外磁场的序列，那么易轴通过外磁场的作用很容易降低自由层的磁化强度。 对于一个弱的磁感应场来说(例如，地磁场)，的值是非常小的。因此通过改变自 由层的厚度可以改变k值的大小和量级，即当自由层有一个有效的外面磁场磁各向异性 层(k<0)吋，值低于一个确定的临界层厚度值；当自由层有一个有效的内面层磁场 的磁各向异性层(k>0)时，d值高于一个确定的临界层厚度值。这些事实表明，可以 通过特殊的工具设计不同的磁性传感器。通过设定k二0的临界厚度心可以得到d二

41、伤c kmc + 2吨'eoap满足(1>心吋k>0； ddc吋k0。d«1.585nm d «1.579 nm () 0乏一2015304560h.(oe)图二是关于场应用平行于参考层准线中各种膜厚度的tmr(/竝) 回线。通过实验，可以得到磁性传感器的特性曲线，它是tmr (wext)迟滞冋线方程，其屮r(hexj rptmr(hext)='-=0.5m/?(l 一 cos 0),(3 - 1)rp这里的0角是介于磁场m和mp之间的夹角，mr是tmr比率的简写“：(/?仲- rp)/rp中 的禺p和心分别是反平行电阻和平行电阻。在我们模拟的模

42、型事例里，mgo/cofeb系统 中 的限定 因子是ms = 1000emu/cm3 , kmc = 19900erg/cm3 ,= 1.0erg/cm2 和mr = 55%tmr (hext)的图像如图二所示，图中描述了处于外磁场中的具有内面磁感应能力传感器的线性和磁滞损耗变化。若d的值菲常接近临界厚度d二1. 586nm,例如, （图二中的绿虚线）存在一个值为2. 12%tmr/0e,在线性感应范围内的±130e可以观察 到。参考磁化方向那与仏竝轴平行；但是如果减小厚度，例如当d=l. 579nm时（图二的 红线）灵敏度降低到0. 55%tmr/oe时磁感应范围增加到±

43、50oe。40*45 oo ,5015 m 4560«-（oe）图三是关于场应用垂直于层面中各种膜厚度的tmr（he回线。easy axis (k<0)4mj0图四是磁感应器中临界场的轨迹。h丄是外面饱和磁场，时|是 内面饱和场。磁传感器在外面感应能力的结果如图三所示tmr(h吸)回线与传感器内面感应能力 有相似的线性和磁滞损耗特征，对于层厚度接近临界值d=1.587nm (如图三中的橙色虚 线)来说，传感器有很小的感应范围，即±60e,但是有高的灵敏度，为4. 58%tmb/0eo 层厚度为d二1. 592nm(图三中的蓝线)有高的感应范围±450e而灵敏

44、度却低至1. 2%tmr/0eo 上文得到的内面和外面的灵敏度和感应范围和我们的计算结果一致。根据stoner-wolhfarht模型中的磁化连贯的旋转叫于方程瓷=0和等=0,其中de hkv(3-2)而=sin 2(p + % sin <p - % cos cp ,d2ed(p2=hk cos 2(p + hxt cos (p + h書乂上 sin (p ,(3 3)将(3 - 2)祠(3 - 3)两式分别代入护=0和轧=0两个方程中，可得到临界磁场的两个 o(po(p表达式：(3 4)(3-5)hext = hkcos3(pf琅xt = hksin3(p,这里的h茲和h你分别是h说沿

45、x轴和y轴的分量，图四展示了出临界场的轨迹，将一 个能量最小值区域分成两个能量最小值的区域。当k0吋，易轴靠近x轴，当k0吋易 轴靠近y轴。因此夹角为90°的偏磁场和参考层形成一个磁滞损耗回线，内面饱和场厲|和 外面饱和场h丄都等于旧討。更进一步说，当k>0并且外磁场垂直于膜时，方程(3-2)可以写改成hext =縣 sin cp ,将(3-1)式代入(3-6)式可得到hext = hk1 一 2 tmr(h/mr ,对tmr (hext)求导可以得出垂直磁滞回线的斜率dtmr(h二 dhextmr(3-6)(3-刀(3-8)因此,tmr (hext)的函数线性的依赖于乖直外磁

46、场，在感应范围为±円討内，垂直磁滞 回线的斜率为mr/2hk同理，当k0时且外磁场平行于x轴时，在相同的磁感应范围 内，横向磁滞冋线的斜率为mr/2hk，在线性感应范围内两种情况下灵敏度smr可以写 成stmr = 0.25 (tmr ms)/kmc + 2ttm( - kjd,(3-9)等式(3-9)展现了关于右面和外面两者的膜厚度感应的对称反应，但是随着传感器内/外而膜厚度的增加灵敏度却有所不同。其中随着感应器内面膜厚度的增加，灵敏度增强; 而随着传感器外面膜厚度增加，灵敏度降低，在感应范围内类似的情况也会发生。若膜 厚度增加，那么内面场传感器感应范围减小，但是外面场传感黠感应范

47、围增加。film thickness (nm)图五场灵敏度与自由层膜厚度的关系。图中的虚线表示临 界值dc=. 586nm 且 k二0。250film thickness (nm)图六是自由层的厚度与场感应范围的关系。图中的虚线表示 临界值.586nm 且 k二0。图五和图六描述了自由层膜厚度分别于灵嫩度和感应范圉的关系。很显然当k二0 (d=dc)时，stmr函数是奇异的，且感应范围接近零，我们只能展示出感应范围内的正 值部分。临界厚度可以算出,即d=l. 586nm0当d>l. 586nm时，cofeb自由层存在面内 磁化，并且传感器可以感应面外场；当d<l. 586nni时，

48、cofeb自由层存在面外磁化，并 且传感器可以感应面内场。当d值的改变远离临界厚度吋，灵敏度在这两种情况下迅速 降低，而感应范圉却成线性的增加，这些现彖与先前的实验结果大致相同。从(3 - 6)式 中可以得到一个重要的关系，即增加tmr比例能提高场的灵敏度。上述内容理论性的研究了拥有不同感应能力的磁隧道结传感器上膜厚度产生的影 响，主要依靠自由层膜厚度，我们评估出了与感应场相符合的灵敏度和感应范围。不同 外磁场的tmr冋线，显示出了线性可逆反应。对灵敏度超低的磁场来说，(例如地磁场)， 表示磁各向异性的k值非常小。k的值可通过调整层厚度得以测量。四、总结landau-lifshitz-gibe

49、rt (llg)方程属于磁学中的最基木方程，该方程很好的描述 了磁矩随时间的演化行为，是凝聚态磁性物理中研究磁化反转动力学的基本方程。本文 首先介绍了 llg方程的理论背景与发展现状。其次，我们以单轴铁磁晶体在交变磁场作 用下，磁矩随时间的演化情形为例，对mg方程进行详细的描述，并且对llg方程的阻 尼项也做了一个简单的介绍。然后，我们具体讨论了一个应用实例模型一一分析磁隧道 结传感器中的磁矩运动。运用矩阵运算的基木规则，我们对无阻尼项的llg方程进行了 具体的求解并对其结论进行了较为详细的讨论。本文的研究结果有助于我们加深对llg 方程的认识和理解。参考文献1 d.mazum(lar,wsh

50、cn,xliu,bdschrag,mcartcr,arkl g.xiao, "field sensing characteristics of magn- etic tunnel junctions with (001) mgo tunnel barrier," j.appl.phys.,vol. 103,p. 113911,2008.2 h.x.wei,q.h.qin,乙c. wcn,xfhan,andxgzhang,"magiiehc tunnel junction sensor with co/pt perpendicular anisotropy ferr

51、omagnetic layer/' appl.phys.lett.,vol.94,p. 172902,20093 z. zeng, p. khalili amiri, j. a. katine, j. langer, k. l. wang, and h. w. jiang, "nanoscale magnetictunnel junction sensors with perpendicular anisotropy sensing laycrappl.phys.lett.,vol. 101 ,p. 062412, 2012.4 j. m. teixeira, j. vent

52、ura, m p. fernandez-garcia, j p. araujo, j b. sousa9p.wisniowski9d.c.leitao,andp.rfreitas/exchange biased cofeb-mgo tunnel junctions at the onset of perpendicular anisotropy with planc/out-ofplanc sensing capabilities/9 j. appl. phys., vol. lll,p. 053930, 2012.5 m. tondra，j. m. daughton, d. wang, r.

53、 s. beech, a. fink, and j. a. taylor, "picotesla field sensordesign using spin-dependent tunneling devices," j.appl.phys., vol. 83, pp. 6688-6690, 1998.6 x.liu, c. ren, and g xiao, "magnetic tunnel junction fieldsensorswithhard-axisbiasfield/j.appl.phys.,vol.92,pp.4722-4725,2002.7 y.

54、lu, r. a. altman, a. marley, s. a. rishton, p. l. trouilloud, g. xiao, w. j. gallagher, and s. s. p.parkin, "shape-anisotropy-controlled magnetoresistive response in magnetic tunnel junctionsappl.phys. lett., vol. 70, p. 2610, 1997.8 d. lacour, h. jaflyes, f. nguyen van dau, f. petroff, a. vaur

55、es, and j. humbert, “field sensing usingthe magnetoresistance of irmn exchange-biased tunnel junctions/ j appl. phys., vol. 91， pp. 4655- 465& 2002.9 s.ikeda,k.miura.h. yamamoto,k.mizunuma.h.d.gan,m.endo,s.kanai ,j.hayakawa9f.matsukura,andh.ohno/'a perpendicularanisotropy cofeb-mgo magnetic

56、tunnel junction/9 nat. mater., vol. 9, pp. 721-724, 2010.10 z. hou, z. zhang, j. zhang, and y. liu, "modeling of spin-torque driven magnetization dynamics ina spin-valve with combined in-plane and out-ofplane polarizers/ appl. phys lett., vol. 99, p. 222509, 2011.11 w. skowronski, t. stobiecki, j wrona, g reiss, and s. van dijken, "zero-field spin torque oscillator based on magnetic tunnel junctions with a tilted cofeb fre