2020考研数学一真题参考1991答案解析

1、2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 ( 本题满分15 分, 每小题 3 分.) (1) 设21,cos ,xtyt则22d ydx=_. (2) 由方程2222xyzxyz所确定的函数( , )zz x y在点(1,0, 1)处的全微分dz=_. (3) 已知两条直线的方程是1123:101xyzl；221:211xyzl, 则过1l且平行于2l的平面方程是_. (4) 已知当0 x时,123(1)1ax与cos1x是等价无穷小 , 则常数a=_. (5) 设 4 阶方阵5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1a, 则a的逆阵1a=_. 二、选择题 (

2、本题满分15 分, 每小题 3 分.) (1) 曲线2211xxeye ( ) (a) 没有渐近线 (b) 仅有水平渐近线(c) 仅有铅直渐近线 (d) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(2) 若连续函数( )f x满足关系式20( )ln 22xtfxfdt, 则( )fx等于 ( ) (a) ln 2xe (b) 2ln 2xe(c) ln 2xe (d) 2ln 2xe(3) 已知级数11( 1)2nnna,2115nna, 则级数1nna等于 ( ) (a) 3 (b) 7 (c) 8 (d) 9 (4) 设d是xoy平面上以 (1,1) 、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,

3、1d是d在第一象限的部分 , 则(cos sin )dxyxy dxdy等于 ( ) (a) 12cos sindxydxdy (b) 12dxydxdy(c) 14(cossin)dxyxy dxdy (d) 0 (5) 设n阶方阵a、b、c满足关系式abce, 其中e是n阶单位阵 ,则必有 ( ) (a) acbe (b) cbae(c) bace (d) bcae三、 ( 本题满分15 分, 每小题 5 分.) (1) 求0lim(cos)xxx. (2) 设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)p处的指向外侧的法向量, 求函数2268xyuz在点p处沿方向n的方向导数 . (3)

4、 22()xyz dv, 其中是由曲线22 ,0yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围成的立体. 四、 ( 本题满分6 分) 在过点(0,0)o和(,0)a的曲线族sin(0)yax a中 , 求一条曲线l, 使沿该曲线从o到a的积分3(1)(2)lydxxy dy的值最小 . 五、 ( 本题满分8 分.) 将函数( )2| ( 11)f xxx展开成以2 为周期的傅立叶级数,并由此求级数211nn的和 . 六、 ( 本题满分7 分.) 设函数( )f x在0,1上连续 ,(0,1)内可导 , 且1233( )(0)f x dxf, 证明在 (0,1)内存在一点c,使( )0fc. 七、

5、 ( 本题满分8 分.) 已知1(1,0,2,3),2(1,1,3,5),3(1, 1,2,1)a,4(1,2,4,8)a, 及(1,1,3,5)b. (1) a、b为何值时 ,不能表示成1234、的线性组合？(2) a、b为何值时 ,有1234、的唯一的线性表示式？并写出该表示式. 八、 ( 本题满分6 分) 设a为n阶正定阵 ,e是n阶单位阵 , 证明ae的行列式大于1. 九、 ( 本题满分8 分) 在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点( ,)p x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段pq长度的倒数 (q是法线与x轴的交点 ), 且曲线在点 (1,1) 处的切线与x轴平行 . 十、填

6、空题 ( 本题满分6 分 ,每小题 3 分.)(1) 若随机变量x服从均值为2, 方差为2的正态分布 , 且240.3px, 则0p x=_. (2) 随机地向半圆202yaxx(a为正常数 ) 内掷一点 , 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于4的概率为 _. 十一、 ( 本题满分6 分)设二维随机变量(,)x y的概率密度为(2 )2,0,0( , )0,xyexyf x y其他, 求随机变量2zxy的分布函数 . 1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 ( 本题满分15 分, 每小题 3 分.) (1) 【答案】3si

7、ncos4tttt【解析】这是个函数的参数方程, 满足参数方程所确定函数的微分法, 即如果( )( )xtyt, 则( )( )dytdxt. 所以sin2dydytdtdxdxtdt, 再对x求导 , 由复合函数求导法则得22sin1()()22d yddydtdtdxdtdxdxdttt232 cos2sin1sincos424ttttttttt. (2) 【答案】2dxdy【解析】这是求隐函数在某点的全微分, 这里点(1,0, 1)的含义是(1,0)1zz. 将方程两边求全微分, 由一阶全微分形式不变性得222222()()02d xyzd xyzxyz, 再由全微分四则运算法则得222

8、()()xdxydyzdzxy dzydxxdy zxyz, 令1,0,1xyz, 得2dxdzdy, 即2dzdxdy. (3) 【答案】320 xyz【解析】所求平面过直线1l, 因而过1l上的点(1,2,3)；因为过1l平行于2l, 于是平行于1l和2l的方向向量, 即平行于向量1(1,0, 1)l和向量2(2,1,1)l, 且两向量不共线, 于是平面的方程1231010211xyz, 即320 xyz. (4) 【答案】32【解析】因为当0 x时,11sin,(1)1nxxxxn, 当0 x时20ax, 所以有122223111(1)1,cos1sin,322axaxxxx所以1223

9、0021(1)123limlim1cos132xxaxaxaxx. 因为当0 x时,123(1)1ax与cos1x是等价无穷小, 所以213a, 故32a. (5) 【答案】12002500120033110033. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法, 可用伴随 , 可用初等行变换, 也可用分块求逆. 根据本题的特点 , 若知道分块求逆法, 则可以简单解答. 注意：1110000aabb,1110000abba. 对于 2 阶矩阵的伴随矩阵有规律：abacd, 则求a的伴随矩阵*abdbacdca. 如果0a, 这样111abdbdbcdcacaaadbc. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110

10、000aabb, 易见112002500120033110033a. 二、选择题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分.) (1) 【答案】 (d) 【解析】由于函数的定义域为0 x, 所以函数的间断点为0 x, 222200011limlimlim11xxxxxxxeeyee,所以0 x为铅直渐近线, 222211limlimlim111xxxxxxxeeyee, 所以1y为水平渐近线 . 所以选 (d). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数( )yf x在其间断点0 xx处有0lim( )xxf x, 则0 xx是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim( ),(x

11、f xa a为常数）, 则ya为函数的水平渐近线. (2) 【答案】 (b) 【解析】令2tu, 则2 ,2tu dtdu, 所以200( )ln 22 ( )ln 22xxtf xfdtf u du, 两边对x求导 , 得( )2( )fxf x, 这是一个变量可分离的微分方程, 即( )2( )d f xdxf x. 解之得2( )xf xce, 其中c是常数 . 又因为00(0)2( )ln 2ln 2ff u du, 代入2( )xf xce, 得0(0)ln 2fce, 得ln2c, 即2( )ln 2xf xe. (3) 【答案】 (c) 【解析】因为112342121( 1)nn

12、nnnaaaaaaa1234212()()()nnaaaaaa212212111()nnnnnnnaaaa( 收敛级数的结合律与线性性质), 所以1221111( 1)523nnnnnnnaaa. 而12342121()()()nnnnaaaaaaa212212111()nnnnnnnaaaa538, 故应选 (c). (4) 【答案】 (a) 【解析】如图, 将区域d分为1234,dddd四个子区域 . 显然 ,12,dd关于y轴对称 ,34,dd关于x轴对称 . 令12cos sinddixydxdyixydxdy, 由于xy对x及对y都是奇函数 , 所以12340,0ddddxydxdy

13、xydxdy. 而cos sinxy对x是偶函数 , 对y是奇函数 , 故有34121cos sin0,cos sin2cos sindddddxydxdyxydxdyxydxdy, 所以112(cos sin)2cos sinddxyxy dxdyiixydxdy, 故选 (a). (5) 【答案】 (d) 【解析】矩阵的乘法公式没有交换律, 只有一些特殊情况可以交换. 由于a、b、c均为n阶矩阵 , 且abce, 对等式两边取行列式, 据行列式乘法公式| 1abc, 得到0a、0b、0c, 知a、b、c均可逆 , 那么 , 对于abce,先左乘1a再右乘a有1abcebcabcae,故应选

14、 (d). 其实 ,对于abce先右乘1c再左乘c, 有1abceabccabe. 三、 ( 本题满分15 分, 每小题 5 分.) (1) 【解析】这是1型未定式求极限. 1(cos1)cos100lim (cos)lim (1(cos1)xxxxxxxx令cos1xt, 则0 x时0t, 所以11cos100lim(1(cos1)lim(1)xtxtxte, 所以01(cos1)(cos1)(cos1)limcos100lim (1(cos1)limxxxxxxxxxxxee. 因为当0 x时,sin xx, 所以220002sin222(cos1)limlimlim2xxxxxxxxx,

15、 故0(cos1)lim20lim (cos)xxxxxxee. (2) 【解析】先求方向n的方向余弦 , 再求,uuuxyz, 最后按方向导数的计算公式coscoscosuuuunxyz求出方向导数. 曲面222236xyz在点(1,1,1)p处的法向量为(1,1,1)4 ,6 ,24 ,6 ,22 2,3,1pxyzxyz, 在点(1,1,1)p处指向外侧 , 取正号 , 并单位化得22112,3,12,3,1cos ,cos,cos.14231n又2222(1,1,1)2222(1,1,1)222222(1,1,1)666146868888146868686814ppppppuxxxzx

16、yzxyuyyyzxyzxyxyxyuzzz,所以方向导数coscoscosuuuunxyz62831111471414141414. (3) 【解析】由曲线22 ,0yzx绕z轴旋转一周而围成的旋转面方程是222xyz. 于是 ,是由旋转抛物面221()2zxy与平面4z所围成 . 曲面与平面的交线是228,4xyz. 选用柱坐标变换, 令cos ,sin,xryrzz, 于是:02 ,04,02zrz,因此22()ixyz dv4222000()zdzdrz rdr242400242rzrrr zdz42025643z dz. 四、 ( 本题满分6 分) 【解析】曲线sin, (0,)ya

17、xx, 则cosdyaxdx, 所以3(1)(2)liydxxy dy301 ( sin )(2sin )cos axxaxax dx23301sin2cossin22aaxaxxx dx233000sin2cossin 22aaxdxaxxdxxdx232000(cos1)cos2sinsin 224aaxdxaxdxxdx2330001coscos2sincoscos234aaxxa xxxx3443aa. 对关于a的函数3443iaa两边对a求导数 , 其中0a, 并令0,i得2440ia. 所以1a, 且0,010,1iaia. 故1a为函数344 ,(0)3iaaa的极小值点 , 也

18、是最小值点 . 故所求的曲线为sin, (0,)yxx. 五、 ( 本题满分8 分.) 【解析】按傅式级数公式, 先求( )f x的傅式系数na与nb. 因( )f x为偶函数 , 所以1( )sin0 (1,2,3,)lnlnbf xxdxnll, 012( )cos( )cosllnlnnaf xxdxf xxdxllll11100022(2)cos4cossinxn xdxn xdxxdn xn122022(cos1)sin(1,2,3,)nn xdxnnn, 1002(2)5ax dx. 因为( )2|f xx在区间( 11)x上满足狄利克雷收敛定理的条件, 所以01( )2|coss

19、in2nnnannf xxaxbxll22152(cos1)cos2nnnxn221541cos(21)( 11)2(21)nnxxn. 令0 x, 有221541(0)20cos02(21)nfn, 所以 ,2211(21)8nn. 又222221111111111(21)(2 )(21)4nnnnnnnnn, 所以 , 2213148nn, 即22116nn. 六、 ( 本题满分7 分.) 【解析】由定积分中值定理可知, 对于123( )f x dx, 在区间2(,1)3上存在一点使得12321( )( )(1)( )33f x dxff, 即1233( )( )(0)f x dxff.

20、由罗尔定理可知, 在区间(0,1)内存在一点(01)cc, 使得( )0fc. 七、 ( 本题满分8 分) 【解析】设11223344xxxx, 按分量写出 ,则有123423341234123412123(2)4335(8)5xxxxxxxxxaxxbxxxax. 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 第一行分别乘以有2、3加到第三行和第四行上, 再第二行乘以1、2加到第三行和第四行上 , 有111111111101121011212324301213518502252aababaa1111101121001000010aba, 所以 , 当1,0ab时,()1()r ar a,方程组无解 .

21、即是不存在1234x ,x ,x ,x使得11223344xxxx成立 ,不能表示成1234、的线性组合；当1a时,( )()4.r ar a方程组有唯一解21,0111tbabbaaa, 故有唯一表达式, 且1234210111babbaaa. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设a是mn矩阵 , 线性方程组axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵aa b的秩 , 即是()()r ar a( 或者说 ,b可由a的列向量12,n线表出 ,亦等同于12,n与12,nb是等价向量组 ). 设a是mn矩阵 , 线性方程组axb, 则(1) 有唯一解()().r ar an(2)

22、 有无穷多解()().r ar an(3) 无解()1( ).r ar ab不能由a的列向量12,n线表出 . 八、 ( 本题满分6 分) 【解析】 方法 1：因为a为n阶正定阵 , 故存在正交矩阵q, 使121tnq aqq aq,其中0(1,2,)iin,i是a的特征值 . 因此()tttqae qq aqq qe两端取行列式得| | |()| |(1)ttiaeqaeqqae qe, 从而| 1ae. 方法 2： 设a的n个特征值是12n,.由于a为n阶正定阵 , 故特征值全大于0. 由为a的特征值可知, 存在非零向量使a, 两端同时加上, 得1ae. 按特征值定义知1是ae的特征值 .

23、 因为ae的特征值是12111n,.它们全大于1, 根据ia, 知|(1)1iae. 【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设a是n阶矩阵 , 若存在数及非零的n维列向量x使得axx成立 , 则称是矩阵a的特征值 , 称非零向量x是矩阵a的特征向量. 九、 ( 本题满分8 分) 【解析】曲线( )yy x在点( , )p x y处的法线方程为1()yyxxy (当0y时), 它与x轴的交点是(,0)q xyy, 从而12222|()(1)pqyyyyy. 当0y时, 有( ,0),|q xpqy, 上式仍然成立. 因此 , 根据题意得微分方程3122221(1)(1)yyyy, 即21yyy. 这是可降阶的高阶微分方程, 且当1x时,1,0yy. 令( )yp y, 则dpypdy, 二阶方程降为一阶方程21dpyppdy, 即21pdpdypy. 即21ycp,c为常数 . 因为当1x时,1,0ypy, 所以1c, 即2211ypy, 所以21yy. 分离变量得21dydxy. 令secyt, 并积分 , 则上式左端变为2sec tanln sectantan1dyttdtttcty22ln secsec1ln1ttcyyc. 因曲线在上半平面,所以210yy, 即2ln1yycx. 故21xyyce. 当1x时,1,y当x前取 +时 ,1ce,211xyye, 22