2006年高考理科数学试题及答案(四川卷)

1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学及参考答案第卷参考公式：如果事件a、b 互斥，那么球是表面积公式)()()(bpapbap24 rs如果事件a、b 相互独立，那么其中 r 表示球的半径)()()(bpapbap球的体积公式如果事件a 在一次试验中发生的概率是p，那么334rvn 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 r 表示球的半径knkknnppckp)1 ()(一选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分；题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案c d d b d b a c a c a b （1）已知集合2560ax xx，

2、集合213bxx，则集合ab（ a）23xx（b）23xx（ c）23xx（ d）13xx（2）复数3(1) i的虚部为（ a） 3 （b） 3（c）2 （ d） 2（3）已知23 , 1( )2 , 1xxf xx，下面结论正确的是（ a）( )f x在1x处连续（b）(1)5f（ c）1lim( )2xf x（d）1lim( )2xfx（4）已知二面角l的大小为060，,m n为异面直线，且,mn，则,m n所成的角为（ a）030（b）060（c）090（d）0120（5）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ a）sin6yx（b）sin26yx（ c）cos 43yx（d）cos

3、26yx(6) 已知两定点2,0 ,1,0ab，如果动点p满足2papb，则点p的轨迹所包围的图形的面积等于（a）（b）4（c）8（d）9（7）如图，已知正六边形123456pp pp pp，下列向量的数量积中最大的是（ a）1213pppp（b）1214pppp（c）1215pppp（d）1216pppp（8）某厂生产甲产品每千克需用原料a 和原料 b 分别为1a、1b千克，生产乙产品每千克需用原料a 和原料 b 分别为2a、2b千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为1d、2d元。月初一次性购进本月用原料a、b 各1c、2c千克。 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大

4、。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zd xd y最大的数学模型中，约束条件为（ a ）12112200a xa ycb xb ycxy（ b ）11122200a xb yca xb ycxy（ c）12112200a xa ycb xb ycxy（ d ）12112200a xa ycb xb ycxy(9) 直线3yx与抛物线24yx交于,a b两点，过,a b两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,p q，则梯形apqb的面积为（ a） 48 （b）56 （c）64 （ d）72 （10）已知球o的半径是1，a、b、c三

5、点都在球面上，a、b两点和a、c两点的球面距离都是4，b、c两点的球面距离是3，则二面角boac的大小是（ a）4（b）3（c）2（d）23（11）设, ,a b c分别是abc的三个内角,a b c所对的边，则2ab bc是2ab的（ a） 充要条件（b）充分而不必要条件（ c）必要而充分条件（d）既不充分又不必要条件（12） 从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为（ a）1954（b）3554（c）3854（d）4160第卷二填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分；把答案填在题中的横线上。（ 13） 在三棱锥oabc中，三条

6、棱oa、ob、oc两两互相垂直， 且oaoboc，m是ab边的中点，则om与平面abc所成的角的大小是arctan 2（用反三角函数表示）；（ 14）设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4。()pkakb（k1，2，3，4）。又的数学期望3e，则ab110; （ 15）如图，把椭圆2212516xy的长轴ab分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,p p p p p p p七个点，f是椭圆的一个焦点，则1234567pfpfpfp fpfp fp f35; （ 16）非空集合g关于运算满足：（ 1）对任意a、bg，都有abg；（ 2）存在cg，使得对一切ag，都

7、有accaa，则称g关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：g 非负整数 ，为整数的加法。g 偶数 ，为整数的乘法。g 平面向量 ，为平面向量的加法。g 二次三项式 ，为多项式的加法。g 虚数 ，为复数的乘法。其中g关于运算为“融洽集”的是、 （写出所有“融洽集”的序号）三解答题：本大题共6 小题，共74 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本大题满分12 分）已知,a b c是三角形abc三内角，向量1, 3 ,cos ,sinmnaa，且1m n（）求角a；（）若221sin 23cossinbbb，求tan b本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与

8、差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12 分。解：（）1m n1, 3cos,sin1aa即3sincos1aa312 sincos122aa1sin62a50,666aa66a3a（）由题知2212sincos3cossinbbbb，整理得22sinsincos2cos0bbbbcos0b2tantan20bbtan2b或tan1b而tan1b使22cossin0bb，舍去tan2b（18）（本大题满分12 分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分

9、别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、 对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力。满分12 分。解：记“甲理论考核合格”为事件1a，“乙理论考核合格”为事件2a，“丙理论考核合格”为事件3a， 记ia为ia的对立事件，1,2,3i；记“甲实验考核合格”为事件1b，“乙实验考核合格”为事件2b，“丙实验考核合格”为事件3b，（）记“理论考核中至少有两人合格”

10、为事件c，记c为c的对立事件解法 1：123123123123p cp a a aa a aa a aa a a123123123123p a a ap a a ap a a ap a a a0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.70.902解法 2：1p cp c1231231231231p a a aa a aa a aa a a1231231231231p a a ap a a ap a a ap a a a10.1 0.2 0.30.9 0.2 0.30.1 0.8 0.30.1 0.2 0.710.0980.902所以，理论考核中至少有两人合格的概率为

11、0.902（）记“三人该课程考核都合格”为事件d112233p dpababab112233p a bp abp ab112233p ap bp ap bp ap b0.90.80.80.80.70.90.2540160.254所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254（19）（本大题满分12 分）如 图 ， 在 长 方 体1111abcda bc d中 ，,e p分 别 是11,bc a d的 中 点 ，,m n分 别 是1,a ec d的 中 点 ，1,2adaaa aba（）求证：/mn面11add a；（）求二面角paed的大小；（）求三棱锥pden的体积。本小题主要考察长方体的概

12、念、直线和平面、 平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。满分12 分解法一：（）证明：取cd的中点k，连结,mk nk,mn k分别为1,ak cd cd的中点1/,/mkad nkdd/mk面11add a，/nk面11add a面/mnk面11add a/mn面11add a（）设f为ad的中点p为11ad的中点1/pfddpf面abcd作fhae，交ae于h，连结ph，则由三垂线定理得aeph从而phf为二面角paed的平面角。在rt aef中，17,2 ,22aafefa aea，从而22217172aaaf efafhaea。在rt pfh中，117tan2ddpf

13、pfhfhfh故：二面角paed的大小为17arctan2（）12221111542444nepecd pssbc cdaaaa矩形。作1dqcd， 交1cd于q， 由111a dc d d c面， 得11addq， 11dqbcd a面。在1rt cdd中，112255cd dda adqacda，32115233465pdendnepnepavvsdqaa。方法二：以d为原点，1,da dc dd所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立直角坐标系，则11,0,0 ,2 ,0 ,0,2 ,0 ,0,0,0,a ab aacaa aada,e p m n分别是111,bc ad ae cd的中点3

14、,2 ,0,0, ,0 ,0, ,2242aaaaeapamana（）3,0,42amna取0,1,0n，显然n面11add a0mn n，mnn又mn面11add a/mn面11add a过p作phae，交ae于h，取ad的中点f，则,0,02af设, ,0hx y，则,022aahpxy ahfxy又,2 ,02aaea由0ap ae，及h在直线ae上，可得 :2204244aaxayxya解得332,3417xa ya8282,017171717aaaahpahp0hfae即hfaehp与hf所夹的角等于二面角paed的大小2cos,21hp hfhp hfhphf故：二面角paed的大

15、小为2 21arccos21（）设1111( , , )nxyz为平面den的法向量，则1nde，1ndn。又( , 2 , )2adea a，(0 , , )2adna，( , 0 , )2adpa。111120202axayaayz，即111142xyzy，可取1(4 , 1 , 2)np点到平面den的距离为11|22 |4|161 421dp naaadn。8cos,| |85de dnde dndedn，21sin,85de dn。2121| | sin,28densdednde dna，3211214338621p dendenaavsda。（20）（本大题满分12 分）已知数列n

16、a，其中11a，23a，112nnnaaa（2n），记数列na的前n项和为ns，数列lnns的前n项和为nu。（）求nu；（）设22( )2 ( !)nunnefxxn n（x），1( )( )nnkktxfx（其中( )kfx为( )kfx的导数），计算1( )lim( )nnntxtx。本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同考查分类讨论的思想方法。满分12 分。解：（）由题意，na是首项为1、公差为2的等差数列，前n项和21 12(1)2nnsnn，2lnln2lnnsnn，2(ln1ln 2ln)2ln(!)nunn。（）22( )2 (

17、!)nunnefxxn n2222( !)2 ( !)2nnnxxn nn，( )kfx21nx，1( )( )nnkktxfx2221122(1) (0)1 (1)(1) (1nnkknxxxxxnxxxxx，1( )lim( )nnntxtx22222221lim1 (0)1lim1 ()11()11lim ()1()nnnnnnnxxxnxnxxxxx。（21）（本大题满分12 分）已知两定点122,0 ,2,0ff，满足条件212pfpf的点p的轨迹是曲线e，直线1ykx与曲线e交于,a b两点。如果6 3ab，且曲线e上存在点c，使oaobmoc，求m的值和abc的面积s。本小题主要

18、考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12 分。解：由双曲线的定义可知，曲线e是以122,0 ,2,0ff为焦点的双曲线的左支，且2,1ca，易知1b故曲线e的方程为2210 xyx设1122,a x yb xy，由题意建立方程组2211ykxxy消去y，得221220kxkx又已知直线与双曲线左支交于两点,a b，有2221221221028 10201201kkkkxxkx xk解得21k又2121abkxx22121214kxxx x2222221411kkkk22221221kkk依题意得22221226 3

19、1kkk整理后得422855250kk257k或254k但21k52k故直线ab的方程为5102xy设00,c x y，由已知oaobmoc，得112200,x yxymx my121200,xxyyxymm，0m又12224 51xxk，21212222222811kyyk xxkk点4 58,cmm将点c的坐标代入曲线e的方程，得2280641mm得4m，但当4m时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意4m，点c的坐标为5, 2c到ab的距离为225521213512abc的面积116 3323s（22）（本小题满分14 分）已知函数22( )ln ()f xxaxxx，( )f x的导数是

20、( )fx。对任意两个不等的正数1x、2x，证明：（）当0a时，1212()()()22f xf xxxf；（）当4a时，1212|()() | |fxfxxx。本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力。满分14 分。证明：（）由22( )lnf xxaxx，得2212121212()()111()()(lnln)222f xf xaxxxxxx22121212121()ln2xxxxax xx x2121212124()()ln222xxxxxxfaxx。而2222212121212()1()()222xxxxxxx x，又22212121212()()2xxxxx xx x，121212xxx xxx。12122xxx x，1212lnln2xxx x。0a，1212lnln2xxax xa。由、，得2221212121212121214()ln()ln222xxxxxxxxax xax xxx，即1212()()()22f xf xxxf。（）证法一：由22( )lnf xxaxx，得22( )2afxxxx，121222112222|()() | |