2011年全国高考文科数学试题及答案-四川

1、绝密启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试( 四川卷 ) 数 学(文史类 ) 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分第1 部分 1 至 2 页，第二部分 3 至 4 页，共 4 页考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150 分，考试时间120 分钟考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回参考公式：如果事件a、b 互斥，那么球是表面积公式()()()p abp ap b24sr如果事件a、b 相互独立，那么其中 r 表示球的半径()()()p abp ap b球的体积公式如果事件a 在一次试验中发生的概率是p，那么343vrn 次独立重复试

2、验中恰好发生k 次的概率其中 r 表示球的半径()(1)kknknnpkc pp第一部分（选择题共 60 分）1选择题必须使用2b 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上2本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的1若全集1, 2, 3, 4, 5m，2, 4n，则mne（a）（b）1, 3, 5（c）2, 4（d）1, 2, 3, 4, 5答案： b 解析： 1, 2, 3, 4, 5m，则mne1, 3, 5，选 b2有一个容量为66 的样本，数据的分组及各组的频数

3、如下：11.5，15.5) 2 15.5，19.5) 4 19.5， 23.5) 9 23.5，27.5) 18 27.5，31.5) 1l 31.5，35.5) 12 35.5， 39.5) 7 39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5 的数据约占（a）211（b）13（c）12（ d）23答案： b 解析： 大于或等于31.5 的数据共有12+7+3=22 个，约占221663，选 b3圆22460 xyxy的圆心坐标是（a） (2，3) （b）( 2，3) （c）(2， 3) （d）(2， 3) 答案： d 解析： 圆方程化为22(2)(3)13xy，圆心 (

4、2， 3)，选 d4函数1()12xy的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是答案： a 解析：1()12xy图象过点(0, 2)， 且单调递减， 故它关于直线y=x 对称的图象过点(2, 0)且单调递减，选a5 “ x3”是“ x29”的（a） 充分而不必要的条件（b）必要而不充分的条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要的条件答案： a 解析： 若 x3，则 x 2 9，反之，若x 29，则3x，选 a61l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（a）12ll，23ll13/ll（b）12ll，23/ll13ll（c）233/lll1l，2l，3l共面（d）1l，2l，3l共

5、点1l，2l，3l共面答案： b 解析： 由12ll，23/ll，根据异面直线所成角知1l与3l所成角为90，选 b7如图，正六边形abcdef 中，bacdef（a） 0（b）be（c）ad（d）cf答案： d 解析：bacdefcddeefcf，选 d8在 abc 中，222sinsinsinsinsinabcbc，则 a 的取值范围是（a）(0,6（b）,)6（c）(0,3（d）,)3答案： c 解析： 由222sinsinsinsinsinabcbc得222abcbc，即222122bcabc，1cos2a，0a，故03a，选 c9数列 an的前 n 项和为 sn，若 a1=1，an+

6、1 =3sn（n 1 ） ，则 a6= （a） 3 44（b）3 44+1 （c）44（d）44+1 答案： a 解析：由 an+1 =3sn， 得 an =3sn1（n 2） ，相减得 an+1an =3(snsn1)= 3an，则 an+1=4an（n 2） ，a1=1，a2=3，则 a6= a244=3 44，选 a10某运输公司有12 名驾驶员和19 名工人，有8 辆载重量为10 吨的甲型卡车和7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车 某天需运往a地至 少 72 吨的货物， 派用的每辆车需满载且只运送一次 派用的每辆甲型卡车需配2 名工人， 运送一次可得利润450 元；派用的每辆乙型卡车需配1

7、 名工人， 运送一次可得利润350 元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（a） 4650 元（b）4700 元（c）4900 元（d）5000 元答案： c 解析：设派用甲型卡车x （辆） ， 乙型卡车y （辆） ， 获得的利润为u （元），4 5 03 5 0uxy，由 题 意 ， x 、 y满 足 关 系 式12,219,10672,08,07,xyxyxyxy作 出 相 应 的 平 面 区 域 ，4 5 03 5 05 0 ( 9uxyxy在由12,219xyxy确定的交点(7, 5)处取得最大值4900 元，选 c11在抛物线25(0)yxaxa上取横坐标为14x

8、，22x的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536xy相切，则抛物线顶点的坐标为（a）(2,9)（b）(0,5)（c）(2,9)（d）(1,6)答案： a 解析： 令抛物线上横坐标为14x、22x的点为(4,1 14)aa、(2, 21)ba，则2abka， 由22yxaa， 故切点为(1,4)a， 切线方程为(2)60axy，该直线又和圆相切，则2665(2)1da，解得4a或0a（舍去），则抛物线为2245(2)9yxxx，定点坐标为(2,9)，选 a12在集合1, 2, 3,4, 5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量( ,)a b

9、，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积等于2 的平行四边形的个数为m，则mn（a）215（b）15（ c）415（d）13答案： b 解析： 以原点为起点的向量(, )a b有(2,1)、(2, 3)、(2, 5)、(4,1)、(4, 3)、(4, 5)共 6 个，可作平行四边形的个数2615nc个，结合图形进行计算，其中由(2,1) (4,1)、(2,1)(4, 3)、(2, 3) (4, 5)确定的平行四边形面积为2，共有 3 个，则31155mn，选 b第二部分（非选择题共 90 分）注意事项：1必须使用0.5 毫米黑

10、色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效2本部分共10 小题，共90 分二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分. 139(1)x的展开式中3x的系数是 _ （用数字作答）答案： 84 解析： 9(1)x的展开式中3x的系数是639984cc14 双曲线2216436xy上一点 p 到双曲线右焦点的距离是4， 那么 p 到左准线的距离是_答案： 16 答案： 16 解析： 离心率54e，设 p 到右准线的距离是d，则454d，则165d，则p 到左准线的距离等于264161610515如

11、图，半径为4 的球 o 中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_答案： 32解 析 ： 如 图 ， 设 球 一 条 半 径 与 圆 柱 相 应 的 母 线 夹 角 为 ， 圆 柱 侧 面 积24 s i n24 c os32sin 2，当4时， s取最大值32，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为3216函数()fx的定义域为a，若12,xxa且12()()fxfx时总有12xx，则称()fx为单函数例如，函数( )fx=2x+1(xr)是单函数下列命题：函数2( )fxx（xr）是单函数；指数函数()2xfx（xr）是单函数；若()fx为单函数，12,xxa且1

12、2xx，则12()()fxfx；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是_ （写出所有真命题的编号）答案： 解析： 对于，若12()()fxfx，则12xx，不满足；是单函数；命题实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题满足条件三、解答题：本大题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题共l2 分）本着健康、 低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2 元(不足 1小时的部分按1 小时计算 )有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）

13、设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时（）分别 求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元的概率本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力解： （）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件a、b，则111()1424p a，111()1244p a答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、14（）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元为事件c，则1111111111113()

14、()()()4244222442444p c答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6 元的概率为3418 （本小题共l2 分）已知函数73()sin()cos()44fxxx，xr（）求()fx的最小正周期和最小值；（）已知4cos()5，4cos()5，02求证：2()20f本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想（）解析 ：7733()sincoscossincoscossinsin4444fxxxxx2 sin2 cosxx2sin()4x，()fx的最小正周期2t，最小值min( )2fx（）证

15、明 ：由已知得4coscossinsin5，4coscossinsin5两式相加得2 coscos0，02，cos0，则222()24 sin204f19 （本小题共l2 分）如图，在直三棱柱abc a1b1c1中，bac=90 ，ab=ac=aa1=1，延长a1c1至点 p，使 c1pa1c1，连接 ap 交棱 cc1于 d（）求证： pb1平面 bda1；（）求二面角a a1db 的平面角的余弦值；本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力解法一：（）连结 ab1与 ba1交于点 o，连结 od，c1d平面 a

16、a1，a1c1ap， ad=pd，又 ao=b1o，odpb1，又 od面 bda1，pb1面 bda1，pb1平面 bda1（）过 a 作 aeda1于点 e，连结 be ba ca，baaa1，且 aa1ac=a，ba平面 aa1c1c由三垂线定理可知beda1 bea 为二面角 aa1db 的平面角在 rta1c1d 中，22115()122a d，又111511222aa dsae，255ae在 rtbae 中，222535()155be，2cos3ahahbbh故二面角aa1db 的平面角的余弦值为23解法二 ：如图，以a1为原点， a1b1，a1c1，a1a 所在直线分别为x 轴，

17、 y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 a1b1c1a，则1(0, 0, 0)a，1(1,0, 0)b，1(0,1, 0)c，(1,0,1)b，(0, 2, 0)p（）在 paa1中有1112c daa，即1(0,1,)2d1(1,0,1)a b，1(0,1,)a dx，1(1, 2, 0)b p设平面 ba1d 的一个法向量为1(, , )a b cn，则11110,10.2a baca dbcnn令1c，则11(1,1)2n1111(1)2(1)002b pn，pb1平面 ba1d，（）由（ ）知，平面ba1d 的一个法向量11(1,1)2n又2(1,0, 0)n为平面 aa1d 的一个法向

18、量12121212cos,3| |312nnnnnn故二面角aa1db 的平面角的余弦值为2320 （本小题共12 分）已知na是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，ns为它的前n 项和（）当1s、3s、4s成等差数列时，求q 的值；（）当ms、ns、ls成等差数列时，求证：对任意自然数k，mka、nka、lka也成等差数列本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力解： （）由已知，1nnaaq，因此1sa，23(1)saqq，234(1)saqqq当1s、3s、4s成等差数列时，1432sss，可得32aqaqaq化简得210qq解得152q（）若1

19、q，则na的每项naa，此时mka、nka、lka显然成等差数列若1q，由ms、ns、ls成等差数列可得2mlnsss，即(1)(1)2(1)111mlna qa qa qqqq整理得2mlnqqq因此，11()22kmlnkmklknkaaaqqqaqa所以，mka、nka、lka也成等差数列21 （本小题共l2 分）过点 c(0， 1)的椭圆22221 (0)xyabab的离心率为32， 椭圆与 x 轴交于两点(, 0)a a、(,0)aa，过点 c 的直线 l 与椭圆交于另一点d，并与 x 轴交于点 p，直线 ac 与直线 bd 交于点 q（i）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段cd 的长

20、；（）当点 p 异于点 b 时，求证：o p oq为定值本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力解： （）由已知得31,2cba，解得2a，所以椭圆方程为2214xy椭圆的右焦点为(3 ,0)，此时直线l的方程为313yx，代入椭圆方程得27830 xx， 解 得12830,7xx， 代 入直 线l的 方 程得1211,7yy， 所 以831(,)77d，故2283116|(0)(1)777cd（）当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为11(0)2ykxkk且代入椭圆方程得22(41)80kxkx解得12280,41kxxk，代入

21、直线l的方程得2122141,41kyyk，所以 d 点的坐标为222814(,)4141kkkk又直线 ac 的方程为12xy， 又直线 bd 的方程为12(2)24kyxk， 联立得4,21.xkyk因此(4 , 21)qkk，又1(,0)pk所以1(, 0)(4 ,21)4opoqkkk故op o q为定值22 （本小题共l4 分）已知 函数21()32fxx，()h xx（）设函数f(x)18f(x) x2h(x)2，求 f(x)的单调区间与极值；（）设ar，解关于x 的方程33lg(1)2 lg()2 lg(4)24fxh axhx；（）设*nn，证明：1() ()(1)(2)()6fn h nhhh n本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解： （）223( )18()()129(0)fxfxxh xxxx，2()312fxx令()0fx，得2x（2x舍去）当(0, 2)x时()0