2013年高考文科函数及其导数真题(含答案)

1、1 2013 年数学高考试题汇编 -函数与基本初等函数一. 选择题1.全国新课标 () （文） （9）函数 f(x)=(1 cosx)sinx 在 ， 的图像大致为( c ) o1yxo1yxo1yxo1yxa b c d 2.全国新课标 () （文） （12）已知函数f(x) x22xx0ln(x 1) x 0，若 | f(x)|ax，则 a 的取值范围是 ( d) （a） （ ，0 （b） （ ，1 (c) 2，1 (d) 2，0 3. 新课标卷(文)（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（c ）（a）（b）函数 y=f（x）的图像是中心对称图形（c）若 x

2、0 是 f（x）的极小值点，则f（x）在区间（ - ，x0）单调递减（d）若 x0 是 f(x) 的极值点，则f （ x0）=0 4.北京（文）（3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ )上单调递减的是（c ）（a）y= (b)y=e-x （c）y=-x2+1 (d)y=lg x5.上海（文） 15函数211fxxx的反函数为1fx，则12f的值是（a ）（a）3（b）3（c）12（ d）126.广东（文） 2.函数lg(1)1xyx的定义域是（c ）a.( 1,)b.1,)c.( 1,1)(1,)d. 1,1(1,)7.广西（文）（ 6）函数-121log10=fxxfxx的反函数（a

3、）2 （a）1021xx（b）1021xx（c）21xxr（d）210 xx8.湖北（文） 5小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶 . 与以上事件吻合得最好的图象是（c ）9.湖北（文） 8x 为实数， x 表示不超过x的最大整数，则函数( ) f xxx 在 r 上为（d ）a奇函数b偶函数c增函数d 周期函数10.湖北（文） 9某旅行社租用a、 b两种型号的客车安排900 名客人旅行，a 、 b 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为1600 元/辆和 2400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过21 辆，且 b 型车不多于a

4、型车 7 辆则租金最少为（c ）a31200 元b36000 元c36800 元d38400 元11.湖北（文） 10已知函数( )(ln)f xxxax 有两个极值点，则实数a 的取值范围是（b ）a (, 0)b1(0,)2c (0, 1)d (0,)12.江西（文） 10.如图。已知l1l2，圆心在l1上、半径为1m 的圆 o 在 t=0 时与 l2相切于点a，圆 o 沿l1以 1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令 y=cosx，则 y 与时间 t（0 x1，单位： s）的函数y=f（t）的图像大致为( b ) 距学校的距离距学校的距离距学校的距离a b c

5、 d 时间时间时间时间o o o o 距学校的距离3 13.辽宁（文）（ 7）已知函数21ln1931,.lg 2lg2fxxxff则（d ）a1b0c1d214.辽宁（文）（ 12）已知函数222222,228.fxxaxag xxaxa设12max,min, max,hxfxg xhxfxg xp q表示,p q中的较大值，min,p q表示,p q中的较小值，记1hx得最小值为,a2hx的最大值为b,则ab（c ）（a）2216aa（ b）2216aa（c）16（ d）1615.四川（文） 6、函数( )2sin()(0,)22f xx的部分图象如图所示，则,的值分别是（a ）（a）2,

6、3（b）2,6（c）4,6（d）4,316.四川（文） 10、设函数( )xf xexa（ar，e为自然对数的底数） 。若存在0,1b使( )ff bb成立，则a的取值范围是（a ）（a）1, e（b）1,1e（ c） ,1ee（d）0,117.重庆（文）（3）函数21log (2)yx的定义域为（ c ）（a）(,2)（b）(2,)（c）(2,3)(3,)（d）(2,4)(4,)18.重庆（文）已知函数3( )sin4( ,)f xaxbxa br，2(lg(log 10)5f，则(lg(lg2)f（ c ）（a）5（b）1（c）3（d）419.安徽 （文）(8) 函数( )yf x的图像如

7、图所示， 在区间,a b上可找到(2)n n个不同的数12,nx xx，使得1212()()()nnf xf xf xxxx，则n的取值范围为 ( b ) 4 (a) 2,3(b) 2,3, 4(c) 3,4(d) 3,4,520.安徽（文） （10）已知函数32( )f xxaxbxc有两个极值点12,x x，若112()f xxx，则关于x的方程23 () )2()0fxa fxb的不同实根个数为( a ) （a）3 (b) 4 (c) 5 (d) 6 21.福建（文） 5函数2ln1fxx的图像大致是( a ) 22.湖南 (文） 6.函数 f（ x）= x 的图像与函数g（x）=x2-

8、4x+4 的图像的交点个数为（c ）a.0 b.1 c.2 d.3 二填空题1.北京（文） (13)函数 f（x） =12log,12 ,1xx xx的值域为（ ，2） . 2.四川（文） 11、lg5lg20的值是 _1_。3.四川（文） 13、已知函数( )4(0,0)af xxxax在3x时取得最小值，则a_36_。4.安徽（文）（11） 函数21ln(1)1yxx的定义域为0,1. 5.安徽（文）（14）定义在r上的函数( )f x满足(1)2 ( )fxf x.若当01x时。( )(1)f xxx，5 则当10 x时，( )f x=(1)( )2x xf x. 6.福建（文） 13.

9、已知函数32,0,4tan ,0,2xxfxffxx则-2 . 7.江苏已知)(xf是定义在r上的奇函数 .当0 x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集用区间表示为5,05,. 解析：因为)(xf是定义在r上的奇函数，所以易知0 x时，2( )4f xxx解不等式得到xxf)(的解集用区间表示为5,05,三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1.全国新课标 () （文）（ 20）（本小题满分共12 分）已知函数f(x) ex(axb)x24x，曲线 yf(x) 在点（ 0，f(0) ）处切线方程为y4x+4 （）求a，b 的值（）讨论f(x) 的单调性，并求f(x) 的

10、极大值12120( )()24.(0)4,(0)4,4,8,4;fxe axabxffbabab（）解：（i ）由已知得故从而(ii) 由（ i）知，2)4(1)4 ,xf xexxx（11( )4(2)244(2)().2xxfxexxxe令1( )0=-1n2x=-2.fxx得，或从而11(, 2)( 10;( 22,),1 2)()xnfxxnfx当时， （时，0. 故( )-2-1 2 +-2 -1 2f xnn在（，），（，）单调递增，在（，）单调递减. 当2=-2-2 =4 1-)xf xfe时，函数（）取得极大值，极大值为（）（. 2.北京（文）（18） （本小题共13 分）6

11、已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x. （）若曲线y=f(x) 在点 (a,f(a)处与直线y=b 相切，求a 与 b的值。（）若曲线y=f(x) 与直线 y=b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。解：由2( )sincosf xxxxx，所以( )2cosfxxx. （）因为曲线( )yf x在点( ,( )a f a处与直线yb相切，所以2cos0faaa，2( )sincosf aaaaab，解得0,1ab. （）由0fx，得0 x. fx和fx的情况如下：x,00 0,fx- 0 + fx1 所以函数fx在区间,0上单调递减在区间0,单调递增，01f是函数的最小值. 当1

12、b时，曲线( )yf x与直线yb最多只有一个交点. 当1b时，222421421fbfbbbbbb，01fb，所以，存在122 ,0 ,0,2xbxb，使得12fxfxb. 由于函数fx在区间,0和0,均单调， 所以1b时，曲线( )yf x与直线yb有且仅有两个交点 . 综上可知，如果曲线y=f(x) 与直线 y=b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是（1， +） 。3.广东（文） 21 （本小题满分14 分）设函数xkxxxf23)(rk7 (1) 当1k时,求函数)(xf的单调区间；(2) 当0k时,求函数)(xf在kk,上的最小值m和最大值m.解： （1）当32121( ),( )

13、321.kf xxxxfxxx时，于是80. （2）122( )321,4(3).fxxkxk)ak当0，于是1( )fx=0 有两个根2132kkxk，2233kkx03kkk. 当111212( ,) (,)( )0()( )xk xxkfxxx xfx时， ；当时，0，因此函数( )f x在212,k xxkx x与上增函数，在上为减函数 .21min( ),() ,max(),() .mf kf xmfkf x故1232333111122222230()2(),()()( ).( ),()2.kxxf xxkxxkkkkkfkf xxxkxxkf kmf kk mfkkk由于 -k ，

14、所以因此b) 1233( )3()0,( )- 333kfxxf x当时，在，上为增函数 . 因此(3)3,( 3)7 3.mfmfc) 当30k 时， 0，于是xr,1( )0fx ，( ),.f xkk在上为增函数8 3( ),()2.mf kk mfkkk因此4.广西（文） 21 （本小题满分12 分）已知函数32=331.fxxaxx（i）求2f;ax时，讨论的单调性；（ii）若2,0,.xfxa时，求 的取值范围解：（）当- 2a时，32=-3 231.fxxxx2( )36 23fxxx. 令( )0fx，得，121x，221x. 当(,21)x时，( )0fx，( )f x在(,

15、21)是增函数；当(21,21)x时，( )0fx，( )f x在( 21,21)是减函数；当(21,)x时，( )0fx，( )f x在( 21,)是增函数；（）由(2)0f得，54a. 当54a，(2,)x时，2251( )3(21)3(1)3()(2)022fxxaxxxxx，所以( )f x在(2,)是增函数，于是当2,)x时，( )(2)0fxf. 综上， a 的取值范围是5,)4. 5.湖北（文） 21 （本小题满分13 分）设0a，0b，已知函数( )1axbf xx. （）当 ab时，讨论函数( )f x 的单调性；（）当0 x时，称( )f x 为 a、 b 关于 x 的加权

16、平均数. 9 （i）判断(1)f, ()bfa,()bfa是否成等比数列，并证明()()bbffaa；（ii） a 、 b 的几何平均数记为g. 称2abab为 a、 b 的调和平均数，记为h. 若( )hf xg ，求 x 的取值范围 . 解： （）( )f x 的定义域为(, 1)( 1,) ，22(1)()( )(1)(1)a xaxbabfxxx. 当 ab 时，( )0fx，函数( )f x 在 (, 1)， ( 1,) 上单调递增；当 ab 时，( )0fx，函数( )f x 在 (, 1)， ( 1,) 上单调递减 . （） （i）计算得(1)02abf，2()0babfaab，

17、()0bfaba. 故22(1) ()()2bababbffabfaaba, 即2(1) ()()bbfffaa. 所以(1),(),()bbfffaa成等比数列 . 因2abab ，即(1)()bffa. 由得()()bbffaa. （ii）由（ i）知()bfha，()bfga.故由( )hf xg ，得()( )()bbff xfaa. 当 ab 时，()( )()bbff xfaaa. 这时， x的取值范围为(0,) ；当 ab 时， 01ba，从而bbaa，由( )f x 在 (0,) 上单调递增与式，得bbxaa，即 x的取值范围为,bbaa；当 ab 时，1ba，从而bbaa，由

18、( )f x 在 (0,) 上单调递减与式，得bbxaa，即 x的取值范围为,bbaa. 10 6.江西（文） 21 （本小题满分14 分）设函数常数且 a（ 0， 1）. （1）当12a=时，求 f（ f（ ）；（2）若 x0满足 f（f（ x0） = x0,但 f（x0） x0，则称 x0为 f（x）的二阶有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；（3）对于（ 2）中 x1，x2，设 a（x1,f（f（x1）， b（x2,f（f（ x2） ,c(a2,0)，记 abc 的面积为 s（a），求 s（a）在区间 , 上的最大值和最小值。解： （1）当12a=时，121222( ),(

19、)( )2(1)333333ffff（2222221,01(),(1)2)( )1(),1(1)1(1),11(1)xxaaaxaxaaaff xxaaxaaaxaaxaa当20 xa时，由21xxa解得 x=0,由于 f（0）=0,故 x=0 不是 f（x）的二阶周期点；当2axa时由1()(1)axxaa解得21axaa2(, ),aa因222211()1111aaafaaaaaaaaa故21axaa是 f（x）的二阶周期点；当21axaa时，由21()(1)xaxa解得12xa2( ,1)a aa因1111()(1)2122faaaa故12xa不是 f（x）的二阶周期点；11 当211a

20、ax时，1(1)(1)xxaa解得211xaa2(1,1)aa因22221111()(1)11111afaaaaaaaaa故211xaa是 f（x）的二阶周期点。因此，函数( )f x有且仅有两个二阶周期点，121axaa，2211xaa。（3）由（ 2）得222211(,),(,)1111aaabaaaaaaaa则2322221(1)1(222)( ),( )212(1)aaa aaas as aaaaa因为 a在13,12内，故( )0s a，则1 1( )3 2s a 在区间， 上单调递增，故1 11111( )3 2333220s a 在区间， 上最小值为 s()=，最大值为 s()=

21、7.安徽（文）（20） （本小题满分13 分）设函数22( )(1)fxaxax，其中0a，区间|( )0ixf x. （）求i的长度（注：区间( ,)的长度定义为；（）给定常数0,1k，当11kak时，求i长度的最小值 . 分析：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力。解： （1）因为方程22(1)axax0（0a）有两个实根1220,1axxa，故( )0f x的解集为12|,x xxx因此区间20,1aia，区间长度为21aa（2）设2221( ),( )11aad ad aaa则()，令( )0da，得1a，

22、由于01k，故当11ka时，( )0,( )dad a单调递增；12 当11ak时，( )0,( )d ad a单调递减；因此当11kak，( )d a的最小值必定在1ak或1ak处取得。而232232(1)(1)21(1)1(1)(1)21(1)kdkkkkkdkkkk，故(1)(1)dkdk。因此当1ak时，( )d a在区间1,1kk上取得最小值2122kkk。8.福建（文） 22. （本小题满分14 分）已知函数(x)=x-1+（，e为自然对数的底数） 。（）若曲线y=(x) 在点（ 1，（1） ）处的切线平行于x 轴，求 a 的值；（）求函数(x) 的极值；（）当a-1 时，若直线:

23、1lykx与曲线 y=(x) 没有公共点，求k 的最大值。解：（ i）由又曲线 y=在点（ 1，）处的切线平行于x 轴，得=0，即=0，解得 a=e。（）当 a0 时，(x)0,(x) 为（ -， +）上的增函数，所以函数(x) 无极值。当 a0 时，令(x)=0 ，得=a,x=in a. x(-,in a), (x)0 ；x（ in a，+）上单调递增，13 故(x) 在 x= in a 处取得极小值，且极小值为（in a）= in a，无极大值。综上，当a0 时，函数(x) 在 x= in a 处取得极小值in a，无极大值。（）当a=1 时，=x-1+. 令=-则直线与曲线 y=没有公共

24、点，等加于方程=0 在 r 上没有实数解。假设此时又函数的图像连续不断，由零点存在定理，可知=0 在 r 上至少有一解，与“方程=0 在 r上没有实数解”矛盾，故又 k=1 时，=知方程=0 在 r 上没有实数解。所以 k 的最大值为1. 解法二：（i）（ ii）同解法一 . （）当a=1 时，直线与曲线 y=没有公共点，等价于关于x 的方程在 r 上没有实数解，即关于的方程：（）在 r 上没有实数解。14 当 k=1 时，方程（）可化为=0，在 r 上没有实数解. 当 k1 时，方程（）化为=. 令=，则有=. 令=0 得 x=-1，当变化时，的变化情况如下表：x 当 x=-1 时，同时当趋

25、于时，趋于，从而的取值范围为 ,). 所以当时，方程（）无实数解，解得 k 的取值范围是（1-e，1）. 综上，得k 的最大值为1. 9.江苏20. （本小题满分16 分）设函数ln fxxax，xg xeax，其中a为实数 . (1) 若fx在1,上是单调减函数，且g x在1,上有最小值，求a的范围；15 (2) 若g x在1,上是单调增函数，试求fx的零点个数，并证明你的结论. 解： （1）1( )f xxa( )xg xea由题意：( )0f x对1,x恒成立即1ax对1,x恒成立1ag x在1,上有最小值0a时，( )0g x恒成立，( )g x在1,无最值0a时，由题意ln1aae综上：a的范围是：ae（2）g x在1,上是单调增函数( )0g x对1,x恒成立即xae对1,x恒成立1ae令( )0f x，则ln xax则有( )fx的零点个数即为ya与ln xyx图像交点的个数令ln( )0 xh xxx则21ln( )xh xx易知( )h x在0,e上单调递增，在, e上单调递减在xe时取到最大值1(