微分的概念性质及应用

1、第 二 章 第 6 节：函数的微分教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算教学重点：微分的计算教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算教学内容：1.微分的定义计算函数增量00 xfxxfy是我们非常关心的。 一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们希望寻求计算函数增量的近似计算方法。先分析一个具体问题， 一块正方形金属薄片受温2-1 ） ，度变化的影响，其边长由0 x变到xx0（图问此薄片的面积改变了多少？设此薄片的边长为x， 面积为a， 则a是x的函数：2xa。薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成是当自变量x自0 x取得增量x时，函数a相

2、应的增量a，即2020202xxxxxxa。从上式可以看出，a分成两部分，第一部分ax02是a的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分2x在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积，当0 x时，第二部分2x是比x高阶的无穷小，即xx02。由此可见，如果边长改变很微小，即x很小时，面积的改变量a可近似地用第一部分来代替。一般地，如果函数xfy满足一定条件，则函数的增量y可表示为xxay0，图 2-1 其中a是不依赖于x的常数，因此xa是x的线性函数，且它与y之差xxay0，是比x高阶的无穷小。所以，当0a，且x很小时，我们就可近似地用xa来代替y。定义设函数xfy在某区间内有定义，xx

3、0及 x0在这区间内， 如果函数的增量可 表 示 为xxay0，其中a是不依赖于x的常数，而x0是比x高阶的无穷小，那么称函数xfy在点0 x是可微的，而xa叫做函数xfy在点0 x相应于自变量增量x的微分，记作dy，即xady。定理 1 函数xf在点0 x可微的充分必要条件是函数xf在点0 x可导，且当xf在点0 x可微时，其微分一定是xxfdy0。设函数xfy在点0 x可微，则按定义有式成立。式两边除以x，得xxaxy0。于是，当0 x时，由上式就得到00limxfxyax。因此，如果函数xf在点0 x可微，则xf在点0 x也一定可导（即0 xf存在） ，且0 xfa。反之，如果xfy在点

4、0 x可导，即存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成0 xfxy，其中0（当0 x） 。由此又有xxxfy0。因xx0，且不依赖于x，故上式相当于式，所以xf在点0 x也是可微的。由此可见， 函数xf在点0 x可微的充分必要条件是函数xf在点0 x可导，且当xf在点0 x可微时，其微分一定是xxfdy0。例 1 设xeyxcos ，求 dy解：xexedxdyxxsincos微分在近似计算中的应用：在00 xf的条件下， 以微分xxfdy0近似代替增量00 xfxxfy时，相对误差当0 x时趋于零。因此，在x很小时，有精确度较好的近似等式dyy。即xxfxfxxf000或xxfxfxf)()

5、()(00特别地，当xx, 00很小时，有xffxf)()()(00（3）（3）式是计算零点附近的函数值当x很小时，有下列近似计算公式：例 证明：xnxn111。 （当x很小时）令nxxf1)(因为nxnffxn111010011|)()()(由xffxf)()()(00故，当x很小时，xnxn111例 2 一个充好气的气体，4rm ，升空后，因外面气压降低，气球半径r增大了 10cm ，求体积增加了多少？解：因为334rv所以xrxrdvv23434)(例 3 求24.的近似值解设xxf)(, 取2040.,xx，则所以0524244424.).)()(.ff或者：2. 微分的几何意义为了对

6、微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义。在直角坐标系中，函数xfy的图形是一条曲线。对于某一固定的0 x值，曲增量线上有一个确定点00yxm，当自变量x有微小从图x时，就得到曲线上另一点yyxxn00，.2-2 可知：xmq，yqn。过 m点作曲线的切线 , 它的倾角为，则0tanxfxmqqp，即qpdy。图 2-2 由此可见， 当y是曲线xfy上的 m点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上 m点的纵坐标的相应增量。当x很小时，dyy比x小得多。因此在点m的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。3. 微分运算法则及微分公式表由dxxfdy，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当

7、vu、都可导）：dvduvud，cducud，udvvduvud，2vudvvduvud。微分公式表：dxxxd1，xdxxdcossin，xdxxdsincos，xdxxd2sectan，xdxxd2csccot，xdxxxdtansecsec，xdxxxdcotcsccsc，adxaadxxln，dxeedxx，dxaxxdaln1log，dxxxd1ln，dxxxd211arcsin，dxxxd211arccos，dxxxd211arctan，dxxxarcd211cot。注：上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处，而且上述公式要从右向左背。例如：xddxx21，xddxx112，baxdadx1，xxdaadxaln1。4. 复合函数微分法则与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下：设ufy及xu都可导，则复合函数xfy的微分为dxxufdxydyx。由于dudxx，所以，复合函数xfy的微分公式也可以写成duufdy或duydyu。由此可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式duufdy保持不变。这一性质称为微分形式不变性。这性质表示，当变换自变量时（即设u为另一变量的任一可微函数时），微分形式duufdy并不改变。例 4 求yexsin的微分解xdxexdeeddyxxxcossin)(sinsin