2016年高考新课标乙卷全国Ⅰ理科数学试题(附答案)

1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试乙卷(全国卷 ) 理科数学本试卷分第卷(选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合2|430ax xx，|230bxx，则=ab（ a）3( 3,)2（b）3( 3,)2（c）3(1,)2（d）3(,3)2（2）设(1)1i xyi，其中,x y是实数，则i =xy（ a） 1 （b）2（c）3（d）2 （3）已知等差数列na前 9 项的和为27，108a，则100a（ a） 100 （b）99 （c）98 （d）97 （4）某公司的班车在7:

2、30，8:00，8:30 发车， 小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（ a）13（b）12（c）23（d）34（5）已知方程222213xymnmn表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则 n 的取值范围是（a）( 1,3) （b）( 1,3) （c）(0,3) （ d）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283，则它的表面积是（a）17 （b）18 （c）20 （d）28 （7）函数2| |2xyxe在 2,2的图像大致为（a）（ b

3、）（c）（d）（8）若1ab，01c，则（a）ccab（b）ccabba（c）loglogbaacbc（d）loglogabcc（9）执行右面的程序框图，如果输入的011xyn，则输出x，y 的值满足（a）2yx（b）3yx（c）4yx（d）5yx（10）以抛物线c 的顶点为圆心的圆交c 于 a，b 两点，交c 的准线于d，e 两点已知|ab|=4 2，|de|=2 5，则 c 的焦点到准线的距离为（a）2 （b）4 （c）6 （d） 8 （11） 平面过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点 a，平面 cb1d1，mabcda平面，naabba11平面，则 m，n所成角的正弦值为（ a）32

4、（b）22（c）33（d）13（12）已知函数( )sin()(0),24f xx+x， 为( )f x的零点，4x为( )yf x图像的对称轴，且( )f x在 5()18 36，单调，则的最大值为（ a） 11 （b）9 （c）7 （d）5 第 ii 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分. （13）设向量 a=(m,1)，b=(1,2)，且 |a+b|2=|a|2+|b|2，则 m= . （14）5(2)xx的展开式中， x3的系数是.（用数字填写答案

5、）（15）设等比数列na满足1310aa，245aa，则12na aa的最大值为. （16）某高科技企业生产产品a 和产品 b 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品a 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品b 需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg， 用 3 个工时，生产一件产品a 的利润为 2100元，生产一件产品b 的利润为 900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 a、产品 b 的利润之和的最大值为元. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分12 分）a

6、bc的内角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，已知2cos( coscos ).c ab+bac（ i）求 c；（ ii）若7,cabc的面积为3 32，求abc的周长（18） （本小题满分12 分）如图，在以a，b，c，d，e，f 为顶点的五面体中，面abef 为正方形， af=2fd ，90afd，且二面角d - af - e 与二面角c- be- f 都是60（ i）证明：平面abef平面 efdc ；（ ii）求二面角e- bc- a 的余弦值（19） （本小题满分12 分）某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备

7、件，每个200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率， 记x表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数. （ i）求x的分布列；（ ii）若要求()0.5p xn，确定n的最小值；（ iii ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？（20） （本小题满分12 分）设圆222150 xyx

8、的圆心为a，直线 l 过点(1,0)b且与 x 轴不重合， l 交圆 a 于 c，d 两点，过b 作 ac 的平行线交ad 于点 e. （ i）证明eaeb为定值，并写出点e 的轨迹方程；（ ii）设点 e 的轨迹为曲线c1，直线 l 交 c1于 m，n 两点，过 b 且与 l 垂直的直线与圆 a 交于 p，q 两点，求四边形mpnq 面积的取值范围（21） （本小题满分12 分）已知函数2( )(2)(1)xf xxea x错误！未找到引用源。有两个零点（ i）求 a的取值范围；（ ii）设1x，2x是 错误！未找到引用源。的两个零点，证明：122xx请考生在第（22） 、 （23） 、 （

9、24）题中任选一题作答,如果多做 ,则按所做的第一题计分。（22） （本小题满分10 分）选修4- 1：几何证明选讲如图， oab 是等腰三角形，aob=120 以 o 为圆心，12oa为半径作圆（ i）证明：直线ab 与 o 相切；（ ii）点 c，d 在 o 上，且 a，b，c，d 四点共圆，证明：ab cd（23） （本小题满分10 分）选修4- 4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，曲线1c的参数方程为cos1sinxatyat错误！未找到引用源。（t为参数，a 0） 在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2c：4cos（i）说明1c是哪种曲线，并将1c的方程化为极

10、坐标方程；（ii ）直线3c的极坐标方程为0=a，其中0a满足0tan=2a，若曲线1c与2c的公共点都在3c上，求 a（24） （本小题满分10 分）选修4- 5：不等式选讲已知函数( )|1| 23|fxxx（ i）在图中画出( )yfx的图像；（ ii）求不等式|( )| 1f x的解集2016 年普通高等学校招生全国统一考试乙卷（全国卷）理科数学答案(1)d【解析】由题意得，|13axx，3|2bx x，则3(,3)2ab选 d(2)b【解析】因为(1)1i xxxiyi,所以1xy,22| |1|122xyii,选 b(3)c【解析】设等差数列na的公差为d，因为na为等差数列，且9

11、5927sa，所以53a又108a，解得10555daa，所以1d，所以10059598aad，选 c(4)b【解析】由题意得图：由图得等车时间不超过10 分钟的概率为12(5)a【解析】由题意得22()(3)0mnmn，解得223mnm，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得 m2234mnmn，即21m，所以13n(6)a【解析】由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故37428833r，所以2r，表面积227341784srr，选 a(7)d【解析】当0 x时，令函数2( )2xf xxe，则( )4xfxxe，易知( )fx在0，ln 4）上单调递增， 在l

12、n 4，2上单调递减， 又(0)10f，1()202fe，(1)40fe，2(2)80fe， 所以存在01(0,)2x是函数( )f x的极小值点，即函数( )f x在0(0,)x上单调递减，在0(,2)x上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为d(8)c【解析】 选项 a，考虑幂函数cyx，因为0c，所以cyx为增函数， 又1ab，所以ccab，a 错对于选项b，ccabba()cbbaa，又()xbya是减函数，所以 b 错对于选项d，由对数函数的性质可知d 错，故选c。(9)c 【解析】运行程序， 第 1 次循环得0,1,2xyn， 第 2 次循环得1,2,32xyn，第 3 次循

13、环得3,62xy，此时3622yx，输出, x y，满足 c 选项(10)b【解析】由题意，不妨设抛物线方程为22(0)ypx p，由|ab4 2，|de2 5，可取4(,22)ap，(,5)2pd，设o为坐标原点，由| |oaod，得2216854pp，得4p，所以选b(11)a 【解析】因为过点a的平面与平面11cb d平行，平面abcd平面1111abc d，所以m11b dbd，又1ab平面11cb d，所以n1ab，则bd与1ab所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为32，选 a(12)b 【解析】因为4x为函数( )f x的零点，4x为( )yf x图像的对称轴，所以224k

14、tt（kz，t为周期），得221tk（kz） 又( )f x在5(,)18 36单调，所以211,6kt，又当5k时，11,4，( )f x在5(,)18 36不单调；当4k时，9,4，( )f x在5(,)18 36单调，满足题意，故9，即的最大值为 9(13)2【解析】由222|abab得ab，则20m，所以2m(14)10【解析】 由5(2)xx得5552155c (2 )()2crrrrrrrtxxx，令532r得4r，此时系数为10(15)64 【解析】 设na的公比为q，由1310aa，245aa得118,2aq，则24a，32a，41a，512a，所以12123464na aaa

15、 a a a,(16)216 000【解析】由题意，设产品 a 生产x件，产品 b 生产y件，利润2100900zxy，线性约束条件为0,060035903 .01505.05 .1yxyxyxxx，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由xn，yn，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以max2100 60900 100216000z（元） (17)【解析】： （）由已知及正弦定理得，2cosc sincossincossinc，即2coscsinsinc故2sin ccoscsin c可得1cosc2，所以c3（）由已知，13 3sin c22ab又c3，所以6ab由已

16、知及余弦定理得，222cosc7abab故2213ab，从而225ab所以c的周长为57（18） 【解析】： （）由已知可得fdf，ff，所以f平面fdc又f平面f，故平面f平面fdc（）过d作dgf，垂足为g，由（）知dg平面f以g为坐标原点，gf的方向为x轴正方向，gf为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系gxyz由（）知df为二面角df的平面角，故df60，则2df，3dg，可得1,4,0，3,4,0，3,0,0，d 0,0,3由已知，/ f，所以/平面fdc又平面cd平面fdcdc，故/cd，cd/f由/f，可得平面fdc，所以c f为二面角cf的平面角，c f60从而可得c2,0

17、,3所以c1,0,3，0,4,0，c3, 4,3，4,0,0设, ,nx y z是平面c的法向量，则c00nn，即3040 xzy，所以可取3,0,3n设m是平面cd的法向量，则c00mm，同理可取0,3,4m则2 19cos,19n mn mn m故二面角c的余弦值为2 1919（19） 【解析】： （）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为0.2，0.4，0.2， 0.2，从而04.02.02.0)16(xp；16.04 .02.02)17(xp；24.04.04.02.02 .02)18(xp；24.02.04 .022.02

18、 .02)19(xp；2 .02.02.04 .02.02)20(xp；08.02.02 .02)21(xp；04.02.02.0)22(xp. 所以x的分布列为x16 17 18 19 20 21 22 p04.016.024.024.02 .008.004.0（）由（）知44.0)18(xp，68.0)19(xp，故n的最小值为19. （）记y表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19n时，08.0)500220019(2 .0)50020019(68.020019ey404004.0)500320019(. 当20n时，04.0)500220020(08.0)500

19、20020(88.020020ey4080. 可知当19n时所需费用的期望值小于20n时所需费用的期望值，故应选19n. （20） 【解析】： （）因为|acad，aceb/，故adcacdebd，所以|edeb，故|adedeaebea. 又圆a的标准方程为16)1(22yx，从而4| ad，所以4|ebea. 由题设得)0, 1(a，)0 , 1(b，2| ab，由椭圆定义可得点e的轨迹方程为：13422yx（0y）. （）当l与x轴不垂直时， 设l的方程为)0)(1(kxky，),(11yxm，),(22yxn. 由134)1(22yxxky得01248) 34(2222kxkxk. 则

20、3482221kkxx，341242221kkxx. 所以34)1(12|1|22212kkxxkmn. 过点)0, 1(b且与l垂直的直线m：)1(1xky，a到m的距离为122k，所以1344)12(42|22222kkkpq.故四边形mpnq的面积341112|212kpqmns. 可得当l与x轴不垂直时，四边形mpnq面积的取值范围为)38 ,12. 当l与x轴垂直时，其方程为1x，3| mn，8| pq，四边形mpnq的面积为12. 综上，四边形mpnq面积的取值范围为)38,12. （21） 【解析】： （）( )(1)2 (1)(1)(2 )xxfxxea xxea（ i）设0a

21、，则( )(2)xf xxe，( )f x只有一个零点（ ii）设0a，则当(,1)x时，( )0fx；当(1,)x时，( )0fx所以( )f x在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增又(1)fe，(2)fa，取b满足0b且ln2ab，则223( )(2)(1)()022af bba ba bb，故( )f x存在两个零点（ iii ）设0a，由( )0fx得1x或ln( 2 )xa若2ea，则ln( 2 )1a，故当(1,)x时，( )0fx，因此( )f x在(1,)上单调递增又当1x时，( )0f x，所以( )f x不存在两个零点若2ea，则ln( 2 )1a，故当(1,ln( 2 )xa时，( )0fx；当(ln( 2 ),)xa时，( )0fx因此( )f x在(1,ln( 2 )a上单调递减，在(ln( 2 ),)a上单调递增又当1x时，( )0f x，所以( )f x不存在两个零点综上，a的取值范围为(0,)（）不妨设12xx，由（）知12(,1),(1,)xx，22(,1)x，又( )f x在(,1)上单调递减，所以122xx等价于12()(2)f xfx，即2(2)0fx由于222222(