数学研究性学习的实践与认识

1、    数学研究性学习的实践与认识    姚红圆锥曲线的本质是几何问题代数化，有些习题看起来很平常，实际上反映了相关数学理论的本质属性，蕴含着丰富的数学思维方法和思想精髓，是创新思维的生长点，这就需要教师适时引导学生不断的发展，引申，变迁问题，进行研究性学习，从而培养学生发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的能力.图1习题展示：如图1，在平面直角坐标系中，已知椭圆c：x29+y25=1的左、右顶点分别为a、b，经过点t（1，0）的直线l与椭圆c交于m、n两点，求证：直线am、bn与直线x=9相交于一点.学生很快呈现出本题的代数计算过程.解析：若直线l与

2、x轴重合，命题显然成立.若直线l不与x轴重合，设直线l的方程为my=x-1，联立my=x-1平面中，两条不平行的直线相交于一点是显然的，但是3条直线相交于同一点应该不仅仅是巧合，背后到底“隐藏”着什么样的数学原理呢？我们能不能从问题出发，试着对问题进行一般化研究，变式研究，推广研究，类比研究，甚至可以研究这一类问题的本质.一个星期后的数学课上，学生互相交流探讨所研究的问题与结论，学生对于问题的变式研究，类比研究大大超出我的预料，在课上，每个同学都积极参与，力求用最精炼的语言表达结论，用最严谨简洁的过程证明结论的正确性，课后学生齐心协力，更是挖掘了问题的本质.1问题探究，披沙拣金拓展研究一平面直

3、角坐标系中，椭圆c：x29+y25=1的左、右顶点分别为a、b，经过点（1，0）的直线l与椭圆c交于m、n两点，则直线am、bn的交点轨迹是直线x=9.第二个结论是对第一个结论的推广，证明了在任意椭圆中这样两直线的交点轨迹均是直线，轨迹方程只与直线所过的定点和椭圆中的系数a有关.拓展探究三平面直角坐标系中，椭圆c：x2a2+y2b2=1（a>b>0），a、b为长轴两端点，直线l过x轴上任意一点t（t，0）（t0）与椭圆交于m、n两点，若直线am、bn的交点为p，则op·ot=a2（为定值，与t无关）.前面已证直线am、bn的交点p（a2t，yp），易得op·ot

4、=a2.看到这样的结果，学生脸上露出惊讶的表情，他们从中体会到数学的神奇，一个看似很平常的问题，竟然得到这么和谐漂亮的结论.经过不断的拓展研究，条件不断的一般化，直线过x轴上任意一点t（t，0）（t0）推广为过平面内任意一点时向量点乘积为定值的结论依然成立.拓展探究四平面直角坐标系中，椭圆c：x2a2+y2b2=1（a>b>0），a、b为长轴两端点，直线l过平面内任意一点t（t，s）（s0）与椭圆交于m、n两点，若直线am、bn的交点为p，直线l与x轴的交点为q，则op·oq=a2（为定值，与t无关）.证明过程类似，从略.如果将椭圆改为圆，结论也成立.圆可以看作是椭圆的特

5、殊情况，在计算的过程中a、b的大小是否相等并不影响计算的结果，.从三线共点到结论“op·oq=a2”如此简洁，如此美妙，直觉告诉我们这决不是偶然，肯定有其必然性，研究后发现本题有丰富的背景，它与极点和极线的知识有关.实际上，关于极点和极线，有如下两个常用的结论：图2（1）如图2，设p为不在圆锥曲线上的点，过点p引两条割线交圆锥曲线于e，f，g，h，设eg，fh交于m，eh，fg交于n，则称mn为点p对应的极线，同理，称pn为点m对应的极线，pm为点n对应的极线；（2）对于椭圆c：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点p（x0，y0）对应的极线为xx0a2+yy0b2=1

6、，特别点p（t0，0）对应的极线为x=a2t.有了极点极线知识，我们所拓展研究的问题就很容易解释了：当直线l过x轴上任意一点t（t，0）（t0）时，点t（t，0）对应的极线为过点p且垂直于x轴的直线x=a2t，此时p（a2t，y0），所以op·ot=a2.当直线l过平面内任意一点t（t，s）（s0）时，直线l与x轴的交点为q（m，0），点q对应的极线还是过点p且垂直于x轴的直线x=a2m，此时p（a2m，y0），所以op·oq=a2.2研究性学习实践的认识课堂是教学变革的主战场，研究性学习只有根植于课堂，变成课堂教学中的一种常用方式，才能由一种开放的教育思想变为可行的教学实

7、践，才能真正发挥其应有的价值1.在理论学习和教学实践中，数学课堂探究性学习必须依照数学学科的特点，努力凸显其固有的问题性、自主性、过程性和开放性.2.1问题性“问题是数学的心脏”，它促使人们对数学本质的探索，推动人们对数学真理的发现.没有问题也就难以诱发和激起探究欲望，感觉不到问题存在也就不会生成认知上的需要，就不会深入思考，学习也只能是表面和形式的训练.数学研究性学习强调通过问题来进行学习，把问题看成学习的动力、起点和贯穿学习过程的主线2.教学中，教师要关注课本例题和习题的结论，应该主动地寻找知识的生长点和思维的发散点，不断地发展引申、变迁问题，进行探究.通过学习生成问题，把数学学习看成是发

8、现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程.2.2自主性探究性学习是相对于授受式学习而提出的.自主性是探究性学习最本质的规定性，也是探究式学习与授受式学习相区分的关键所在3.探究性学习突出了学生作为教学活动的主体，立足于学生的学和自主性探究，以学生的主体活动为中心展开.强调学生是在教师恰到好处的引导和帮助下自主地参与教学活动，以自己的经验和知识为基础，经过独立的、合作的探索与发现，亲身的体验与实践，将知识纳入到自己的认知结构中，并尝试解决新问题.在探究性学习中，教师要适当地帮助引导学生，培养学生发现问题的创造潜能，使学生的求知和创新意识得到发展，为学生的终身学习和毕生的发展奠定基础，这才是数学

9、教育的真正意义所在.2.3过程性研究性学习追求过程和结果的和谐统一，它强调尽可能地让学生经历一个完整的知识的发现、形成、应用和发展的过程.数学学科的特点决定了数学教学不宜将概念、法则、结论直接告诉学生，而应努力地揭示它们发生、发展过程，使学生在“过程”中逐渐体会并掌握获取知识的方法，体验数学知识的“再创造”历程，在这样的探究过程中思维才有机会得以充分而自然的开启、交流、优化和升华.2.4开放性“数学教学就是数学思维活动的教学”.在传统的授受式学习的课堂里，学生的思维基本是在教师规定的航道上运行，思维发展难有成效.学生思维的诱发不仅来自教师的启迪，也来自于学生之间的相互启发，这就需要一个开放的教学环境.在探究的过程中，不追求问题的难度，更关注能否体现强烈的探究欲望和创新兴趣；不追求解题技巧，更关注学生对数学概念、数学本质的理解、数学思想的领悟.只有在民主、和谐的课堂氛围中，学生才能自由的想象，大胆的思考，才能充分挖掘自己的潜能，全面展示自己的个性，思维才最活跃最有创造性.在层出不穷的新问题的探究中，学生的思维层次和创新意识才能向纵深发展，这也