(完整版)人教版高中余弦定理教案

1、余弦定理教案 一、 教材分析 余弦定理选自人教 A A 版高中数学必修五第一章第一节第一课时。本节课 的主要教学内容是余弦定理的内容及证明，以及运用余弦定理解决“两边一夹角” “三边”的解三角形问题。 余弦定理的学习有充分的基础，初中的勾股定理、必修一中的向量知识、上一 课时的正弦定理都是本节课内容学习的知识基础，同时又对本节课的学习提供了一 定的方法指导。其次，余弦定理在高中解三角形问题中有着重要的地位，是解决各 种解三角形问题的常用方法，余弦定理也经常运用于空间几何中，所以余弦定理是 高中数学学习的一个十分重要的内容。 二、 教学目标 知识与技能：1 1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论

2、。 2 2、 掌握余弦定理的推导、证明过程。 3 3、 能运用余弦定理及其推论解决“两边一夹角”“三边”问题。 过程与方法：1 1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。 2 2、 通过直角三角形到一般三角形的过渡，培养学生归纳总结能力。 3 3、 通过余弦定理推导证明的过程，培养学生运用所学知识解决实际 问题的能力。 情感态度与价值观：1 1、在交流合作的过程中增强合作探究、团结协作精神，体验 解决问题的成功喜悦。 2 2、感受数学一般规律的美感，培养数学学习的兴趣。 三、 教学重难点 重点：余弦定理及其推论和余弦定理的运用。 难点：余弦定理的发现和推导过程以及多解情况的判

3、断。 四、教学用具 普通教学工具、多媒体工具 （以上均为命题教学的准备） 五、教学过程 过程设计 设计意图 情 境 设 疑 、 引 发 思 考 1 1、 温州有很多山，乘火车时会经过一个个隧 道，让学生思考隧道是如何开凿的。【多媒体 展示隧道图片】 （学生发表自己意见，提出要测量出山脚两端 的距离） 2 2、 提出问题：如何测量山脚两端的距离。 3 3、 展示技术人贝的方案，让学生与自己的方案 进行比较，并思考这个方案的设计原理。 【技术人员方案：将山脚两端记为 B B、C C,在 结合实际情景、结合学生 经历来提出问题，引发学 生思考，激发学生的学习 兴趣。（命题教学的情境 性策略一一创设实

4、践情 境） 给出技术人员的方案，引 起学生的疑问，激起学生 远处的空旷处选一点 A A，测量出 AB AB , ACAC 的距 离以及 A A，就可以求出 BCBC 的距离了。】 （1 1） 已知两个角和一条边 （2 2） 已知两条边和一边的对角】 2 2、简化问题，假设 A A 为直角。从最特殊的直 角三角形入手，运用勾股定理解决问题。 【记BC a, AC b,AB c ,运用勾股定理 a2 b2 c2，解得 a a 即可。】 3 3、回归一般三角形，让学生思考如何求解。直 角三角形中可以运用勾股定理，没有直角那就 构造直角来求解。（以锐角三角形为例，钝角 三角形类似） 1 1、回顾正弦定

5、理以及正弦定理能解决的解三角 形问题的类型 【正弦定理: a b c sin A sin B sin C 正弦定理能解决的问题类型: 用正弦定理来尝试解释技 术人员的方案，学生发现 还是解决不了问题。将学 生带入困境，激发学生的 创造思维。 2 2 【BC2 CD2 CD BD2， AD AC AC BC2 AC sin A 2 AB 2 AC cos A BC2 AC2 AB2 2AC AB cos A 】 BD AB ADBD AB AD， cos A， sin A， 4 4、根据以上探究过程，得到余弦定理: 2 2 2 a b c 2bc cos A， b2 a2 c2 2ac cosB

6、， 求知欲，充分调动学生学 习的积极性。 用勾股定理解决问题，给 学生解决一般三角形的问 题提供参考。 分析问题、探究定理 c2 a2 b2 2ab cosC。 5 5、用自然语言描述余弦定理：三角形中任何一 边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边 与它们的夹角的余弦的积的两倍。 1 1、 提出问题：有没有其他方法求解? （提示：运用向量） 2 2、 先用向量法来解释勾股定理 【BC BCBC2 .2 BA BABA AC， _ :- 2 AC AC ， _ . 2 学生思维是很活跃的，不 能局限于一种方法，充分 发挥学生的主动性，寻找 新的方法解决，同时又是 对余弦定理的又一次证 明。（命

7、题教学的过程性 策略） 知 识 迁 移 、 多 法 解 答 BCBC ACAC 2BA AC cos A2BA AC cos A， BABA 2 再思考：锐角三角形即 BCBC 长度不变，B B 旋转 到 B B钝角三角形及 BCBC 长度不变，B B 旋转到 BB时的情况。 【锐角三角形中：a2 b2 c2，小了多少？ 钝角三角形中：a2 b2 c2，大了多少？ 是不是就是余弦定理中的2bc cosA ？ 2 2、顺着向量法的思路，分别计算锐角三角形与 钝角三角形中的三边关系。 【锐角三角形中：BC BA AC， - 2 BCBC PP BCBC BABA 2 BA ACBA AC 2BA

8、AC cos A2BA AC cos A， a2 b2 c2 2bc cosA，少了 2bc cosA2bc cosA。 钝角三角形中：多了 2bc cosA2bc cosA。 例 题 巩 固 、 归 纳 模 型 1 1、 课本第 7 7 页例 3 3。 2 2、 归纳出“两边一夹角”的解三角形模型。 3 3、 课本第 7 7 页例 4 4,与上述模型不同，需要从 由余弦定理变形求解。 由此引出余弦定理的推论： .2 2 2 b c a cos A - ， 2bc a2 c2 b2 cos B - ， 2ac a2 b2 c2 cosC - 。 2ab 巩固余弦定理，并且强调 “大边对大角，小边对小 角”。同时又对判