类周期函数（精编版）

1、类周期函数例 1：利用类周期性求值1、 若 函 数)(xf对 于 任 意x都 有)() 1()2(xfxfxf， 且2lg3lg)1(f，5lg3lg)2(f，则 f(2019)=（）a a、 1 b、 -2 c、2lg3lg d、-12. 定 义 在 (0,+ ) 上 的 函 数f(x)满 足f(2x)=2f(x)， 当x 1,2)时 ， f(x)=x2， 则f(10)=_.变式训练1. 已知定义在,0上的函数)(xf满足：对一切正数x均匀)(3)3(xfxf成立，且当31x时，21)(xxf，则)100(f。192、 定义在 r上的函数)(xf满足)(3)2(xfxf， 当2,0 x时，x

2、xxf2)(2， 则)(xf在2,4x上的最小值为（） a a、91 b、91 c、31 d、31小结：)(xf满足)()(xfaxf处理方法：将)(xf平移a个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍。例 2：类周期函数与零点的结合1、已知函数)(xf满足条件：定义为r；)(2)2(,xfxfrx有；当1 , 1x时，xxf2cos)(，则方程xxf4log)(在区间10,10内的解的个数是（） c a、 20 b、12 c、11 d、102、已知函数)(xf满足条件：定义为r； )(2)2(,xfxfrx有； 当2,0 x时，222)(xxf， 记)8 ,8( ,)()(xxxfxg。 根据以上信息

3、， 可以得到函数)(xg的零点个数为（） b a、 15 b、10 c、9 d、8例 3：类周期性求解析式1.定义在r上的函数)(xf满足)(2)2(xfxf，当 2,0 x时，xxxf2)(2，则当2,4x时，函数)(xf的解析式 _例 4: 类周期函数相关的求参数取值范围1. 若集合m 满足下列性质的函数)(xf的全体，存在非零实数t，对任意的rx，有)()(xtftxf成立，若函数mkxxfsin)(， 则实数k的取值范围是。2.设 f(x)=sin(x+ )( 0, r), 若存在t(t0), 使恒 f(x+t)=tf(x)成立 , 则的范围为解 : 取x1, 使 得f(x1)=1,则

4、f(x1+t)=tf(x1)=t|t|=|f(x1+t)| 1; 取x2, 使 得f(x2+t)=1,则f(x2+t)=tf(x2)=11=|tf(x2)| |t|t|=1(t0)t=-1f(x-1)=-f(x)f(x+1)=-f(x)f(x+2)=f(x)2 是函数 f(x) 的周期 , 又因 f(x) 的最小正周期 =2, 所以存在正整数k, 使得 k2=2=k, 但当 k=2n时,f(x)=sin(2nx+)f(x+1)=sin(2n+2nx+)=sin(2nx+)=f(x),不满足 f(x+1)=-f(x),故 =(2n+1) (n n).3. 若函数 y=f(x),xm,对于给定的非

5、零实数a, 总存在非零常数 t,使得定义域 m内的任意实数 x, 都有 af(x)=f(x+t)恒成立 , 此时 t为 f(x) 的类周期 , 函数 y=f(x)是 m上的 a 级类周期函数。 若函数 y=f(x) 是定义在区间 0,+ ) 内的 2 级类周期函数, 且 t=2,当 x0,2) 时,f(x)=函数 g(x)= x2-x+m.若? x16,8,? x20,+ ), 使 g(x2)- f(x1) ? 0 成立, 则实数 m的取值范围是例 5：类周期函数与数列的结合1、 【2011四川理，11】 已知定义在0,上的函数( )f x满足( )3 (2)f xf x，当0,2x时，2(

6、)2f xxx. 设( )f x在22,2nn上的最大值为(*)nann， 且na的前n项和为ns，则limnns ( )（a）3 （b）52（c）2 （d）32答案： d解析：由题意1(2)( )3f xf x, 在22,2 nn上，2111 ( )111331, ( )1,2,( ),3, ( )( )( )lim1333213nnnnnnf xnf xnf xass例 6：其它类周期函数1、 已知函数( )f x满足：对任意(0,)x， 恒有(2 )2 ( )fxf x成立；当(1,2x时，( )2f xx. 若( )f a)2020(f，则满足条件的最小的正实数a是. 2、 【 201

7、1 福建理】 已知定义域为0（ ，）的函数f(x)满足：对任意x0（ ，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x（1，2时，f(x)=2-x。给出如下结论：对任意mz，有mf(2 )=0；函数f(x)的值域为0，）；存在nz，使得nf(2 +1)=9；“函数f(x)在区间( , )a b上单调递减”的充要条件是“存在zk，使得1( , )(2 ,2)kka b” 。其中所有正确结论的序号是。【答案】【 解 析 】10)2(2)2(2)22()2(111ffffmmmm， 正 确 ；2取2,2(1mmx，则2, 1(2mx；mmxxf22)2(，从而xxfxfxfmmm12)2(2)2(2)(，

8、其中，,2, 1 ,0m，从而),0)(xf，正 确 ；3122)12(1nmnf， 假 设 存 在n使9)12(nf， 即 存 在.,21tsxx102221xx，又，x2变化如下： 2,4,8,16,32，显然不存在，所以该命题错误；4 根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是124 .3、已知定义在, 1上的函数2),2(2121 ,2384)(xxfxxxf，给出下列结论，其中正确的有。函数)(xf的值域为4, 0；关于x的方程)( ,)21()(*nnxfn有42n个不等实根；当nnx2,21时，函数)(xf的图像与x轴围成的面积2s；存在8 , 10 x，使得不等式6)

9、(00 xfx成立。7.(2010年广东高考试题)已知函数f(x)对任意实数x 均有 f(x)=kf(x+2).其中常数k 为负数, 且 f(x)在区间 0,2上有表达式f(x)=x(x-2).( ) 求 f(-1),f的取值 ;( ) 写出 f(x) 在 -3,3上的表达式 , 并讨论函数f(x)在-3,3上的单调性 ;( ) 求出f(x)在-3,3上的最小值与最大值, 并求出相应的自变量的取值. 这道题类周期函数问题 ,解: ( ) 由 f(x)=kf(x+2)f(-1)=kf(1)=-k;又由 f(x)=kf(x+2)f(x+2)=k1f(x)f=k1f=-k43;( ) 当 x0,2时,f(x)=x(x-2);当 x-2,0时,x+2 0,2f(x)=kf(x+2)=k(x+2)x=kx(x+2);当 x-3,-2时,x+2 -1,0f(x)=kf(x+2)=kk(x+2)(x+4)=k2(x+2)(x+4);当 x2,3时,x-2 0,1f(x)=k1f(x-2)=k1(x-2)(x-4);由 k0 知,f(x)在-3,-2、-2,-1、1,2和2,3上为增函数 ,在-1,0和0,1上为减函数 ;( ) 由函数 f(x) 在-3,3上的单调性可知,fmin(x)=minf(-3),f(1)=-k2,-1;fmax(x)=maxf