[数学]高中数学：_矩阵与变换_1新人教A选修ppt课件

1、选修选修4-2 “矩阵与变换全书复习矩阵与变换全书复习2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用 详细内容详细内容 定位 低起点以初中数学知识为根底； 低维度以二阶矩阵为研讨对象； 形数以(几何图形)变换研讨二阶矩阵。 意图 在根本思想上对矩阵、变换等有一个初步了解，对进一步学习和任务打下根底。 主要数学思想1数学化思想； 2数学建模；3数形结合的思想；4算法思想。 重点 经过几何图形变

2、换，学习二阶矩阵的根本概念、性质和思想。 难点 切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向量。2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.在本章中点和向量不加区分在本章中点和向量不加区分.如如:1.1.本专题研讨的矩阵是二阶矩阵本专题研讨的矩阵是二阶矩阵, ,对高阶矩阵只是要对高阶矩阵只是要求学生初步了解求学生初步了解. .二阶矩阵如二阶矩阵如

3、: :1001,0 0,xx yOyP x yOP uuu r既可以表示点（），也可以表示以（ ， ）为起点，以（）为终点的向量。两行两列两行两列2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量3.3.矩阵的概念矩阵的概念从表、网络图、坐标平面上的点向从表、网络图、坐标平面上的点向量、生活实例等引出量、生活实例等引出. . 即在大量举例的根底上引出矩即在大量举例的根底上引出矩阵的概念和表示方法阵的概念和表示方法. .如如: :某公司担任从两个矿区向三个城市送煤：某公司担任从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市从甲矿区向城市A,B,CA,B,C送煤的量分别是送煤的量分别是200200万吨、万吨、

4、240240万吨、万吨、160160万吨；万吨； 从乙矿区向城市从乙矿区向城市A,B,CA,B,C送煤的量分别是送煤的量分别是400400万吨、万吨、360360万吨、万吨、820820万吨。万吨。 200240 160400360820 城市A 城市B 城市C甲矿区 乙矿区 200240 1604003608202.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量4.4.矩阵通常用大写黑体字母表示矩阵通常用大写黑体字母表示. .如如; ;矩阵矩阵A, A, 行矩阵和列行矩阵和列矩阵通常用希腊字母矩阵通常用希腊字母、等表示等表示. .5.5.两个矩阵的行数与列数分别相等两个矩阵的行数与列数分别相等,

5、,并且对应位置的并且对应位置的元素也分别相等时两矩阵相等元素也分别相等时两矩阵相等. .6.6.二阶矩阵与列向量的乘法法那么为二阶矩阵与列向量的乘法法那么为: :0110120111221220210220 xaxayaaaayaxay2.1 二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面向量7.7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义了解了解. .使他们认识并了解矩阵是向量集合到向量集合使他们认识并了解矩阵是向量集合到向量集合的映射的映射, ,为后面学习几种常见的几何变换打下根底为后面学习几种常见的几何变换打下根底. .20201xxyy 表示的几何变换

6、为表示的几何变换为:纵坐标不变纵坐标不变,横坐标变为原来的横坐标变为原来的2倍倍.2:xxxTyyy 8.8.二元一次方程组二元一次方程组 可以表示为可以表示为ax byecx dyfabxecdyf 系数矩阵系数矩阵2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换1.1.恒等变换矩阵恒等变换矩阵( (单位矩阵单位矩阵) )为为E:E:10012.2.恒等变换是指对平面上任何一点恒等变换是指对平面上任何一点( (向量向量) )或图形施以或图形施以矩阵矩阵 对应的变换对应的变换, ,都把本人变为本人都把本人变为本人. .10011001xxyy :xxxTyyy 2.2 几种常见的平面变换几种常见的

7、平面变换3.3.伸压变换矩阵是指将图形作沿伸压变换矩阵是指将图形作沿x x轴方向伸长或紧缩轴方向伸长或紧缩, ,或沿或沿y y轴方向伸长或紧缩的变换矩阵轴方向伸长或紧缩的变换矩阵. .101022xxyy :2xxxTyyy 伸压变换不是简单地把平面上的点伸压变换不是简单地把平面上的点( (向量向量) “) “向下向下压压, ,而是向而是向x x轴或轴或y y轴方向紧缩轴方向紧缩. .1020,0201 2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换4.4.反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定反射变换矩阵是指将平面图形变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵点对称的平面图形的变换矩阵

8、. .100 1xxyy :xxxTyyy 101 0-1 00 1,0 10 -10 -11 0 2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换5.5.普通地普通地, ,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线. .1212()AAA这种把直线变为直线的变换叫做线性变换这种把直线变为直线的变换叫做线性变换. .或点或点2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换6.6.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转的变换矩阵的变换矩阵. .其中其中称为旋转角称为旋转角, ,点点O O为旋转中心为旋转中心. .cossin

9、cossinsin cossincosxxyxyxyy ( , )P x y( ,)P x yrrcossinxryrcos()coscossinsincossinsin()sincoscossincossinxrrrxyyrrryx 2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换cossinsin cos0 11 0 xyyx :xxyTyyx 010 1,1 0-1 0 2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换7.7.投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线投影变换矩阵是指将平面图形投影到某条直线( (或或某个点某个点) )上的矩阵上的矩阵, ,相应的变换为投影变换相应的变换为投影变换.

10、 .101 0 xxyx :xxxTyyx 101 00 0,1 00 01 0 7.7.投影变换矩阵是映射投影变换矩阵是映射, ,但不是一一映射但不是一一映射. .2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换8.8.切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵切变变换矩阵是指类似于对纸牌实施的变换矩阵. .,(, ):aamA a b A am bTbb 设（），则1 km,0 1bk变换矩阵为2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换9.9.切变变换矩阵切变变换矩阵 把平面上的点把平面上的点P(x,y)P(x,y)沿沿x x轴方轴方向平移向平移 个单位个单位. .1 k0 1ky10.10

11、.研讨平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后研讨平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后构成的图形时构成的图形时, ,只需调查顶只需调查顶( (端端) )点的变化结果即可点的变化结果即可. .旋转矩阵旋转矩阵2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法1.1.矩阵乘法的法那么是矩阵乘法的法那么是: :111211121111122111121222212221222111222121122222 aabbababababaabbabababab2.2.矩阵乘法矩阵乘法MNMN的几何意义为对向量延续实施的两次几的几何意义为对向量延续实施的两次几何变换何变换( (先先TN,TN,后后TM)T

12、M)的复合变换的复合变换. .3.3.矩阵乘法不满足交换率矩阵乘法不满足交换率, ,这能够是学生第一次遇到这能够是学生第一次遇到乘法不满足交换率的情况乘法不满足交换率的情况. .此时此时, ,我们可以从几何变换我们可以从几何变换角度进一步明确乘法普通不满足交换率角度进一步明确乘法普通不满足交换率, ,在适当时候在适当时候, ,有些特殊几何变换有些特殊几何变换( (如两次延续旋转变换如两次延续旋转变换) )满足交换率满足交换率. .2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法4.4.要求学生从几何变换角度了解要求学生从几何变换角度了解AB.AB.5.5.要求学生从几何变换角度了解矩阵乘法

13、不满足销去要求学生从几何变换角度了解矩阵乘法不满足销去率率. .ABACBC若，则不一定有cos -sincosn -sinnsin cossinn cosnn2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法6.6.有关转移矩阵有关转移矩阵. .假设某市的天气分为晴和阴两种形状假设某市的天气分为晴和阴两种形状, ,假设今天晴假设今天晴, ,那那么明天晴的概率为么明天晴的概率为 , ,阴的概率为阴的概率为 , ,假设今天阴那么假设今天阴那么明天晴的概率为明天晴的概率为 , ,阴的概率为阴的概率为 , ,这些概率可以经过这些概率可以经过察看某市以往几年每天天气的变化趋势来确定察看某市以往几年每

14、天天气的变化趋势来确定, ,通常通常将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率将用矩阵来表示的这种概率叫做转移矩阵概率, ,对应对应的矩阵为转移矩阵的矩阵为转移矩阵, ,而将这种以当前形状来预测下一而将这种以当前形状来预测下一时段不同形状的概率模型叫做马尔可夫链时段不同形状的概率模型叫做马尔可夫链, ,假设清晨假设清晨天气预告报告今天阴的概率为天气预告报告今天阴的概率为 , ,那么明天的天气预那么明天的天气预告会是什么告会是什么? ?后天呢后天呢? ?34141323122.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法 M 晴 阴 晴= 阴今天明天31 4312 432.3 变换的复合与矩阵

15、的乘法变换的复合与矩阵的乘法1122121231113 13432241211124 432241124N 清晨的天气预报今天阴的概率为 ，则今天晴的概率为 ，于是今天的天气可用来刻画，因此明天的天气可用来刻画，即明天晴的概率为，阴的概率为。2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法3116113 43288241211127 4324288161127288288后天的天气可用来刻画，即后天晴的概率为，阴的概率为。7. 7. 转移矩阵每列的元素的和应该为转移矩阵每列的元素的和应该为1,1,否那么做乘法否那么做乘法时时, ,容易出问题容易出问题. .2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩

16、阵2 2课文从课文从“走过去、走过去、“走回来的生动笼统的话语中走回来的生动笼统的话语中引入了逆矩阵和逆变换这样安排让学生在轻松气氛中掌引入了逆矩阵和逆变换这样安排让学生在轻松气氛中掌握握“找到回家的路的本质是知矩阵找到回家的路的本质是知矩阵A A，能否找到一个，能否找到一个矩阵矩阵B B，使得延续进展的两次变换的结果与恒等变换的结，使得延续进展的两次变换的结果与恒等变换的结果一样也便于学生更好的了解逆矩阵，从而为例果一样也便于学生更好的了解逆矩阵，从而为例1 1的顺的顺利处理打下根底利处理打下根底3 3例例1 1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是的设计起着承上启下的作用，所举的几个

17、例子也是学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答案所以，例案所以，例1 1的目的在于协助学生从几何的角度了解逆的目的在于协助学生从几何的角度了解逆矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识1.1.对于二阶矩阵对于二阶矩阵A,B,A,B,假设有假设有AB=BA=E,AB=BA=E,那么称那么称A A是可逆的是可逆的,B,B称为称为A A的逆矩阵的逆矩阵. .2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵4 4既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在既然有些矩阵存在逆矩阵，那么，什么样的矩阵存在逆矩阵

18、呢？课本从映射角度给出解释，让笼统的问题更逆矩阵呢？课本从映射角度给出解释，让笼统的问题更贴近学生实践贴近学生实践5 5矩阵矩阵 的行列式为的行列式为 , ,那么假设那么假设 那么矩阵那么矩阵 存在逆矩阵存在逆矩阵. . bc da bc daadbc b0c da bc da6.矩阵能否可逆的判别矩阵能否可逆的判别几何解释行列式代数解释映射观点 2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵7.逆矩阵的求解逆矩阵的求解几何变换方法待定系数方法公式法行列式方法 a bc d dbadbc adbccaadbc adbc8.矩阵矩阵的逆矩阵为的逆矩阵为 2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵9.“先穿袜子后

19、穿鞋先穿袜子后穿鞋“先脱鞋子后脱袜子处理了学生先脱鞋子后脱袜子处理了学生能够能够会出现的认知妨碍学生可以借助于此更好地了解公式会出现的认知妨碍学生可以借助于此更好地了解公式AB-1=B-1A-1 10新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通新教材的螺旋上升体系随处可见，课本在本节中就通过证明命题过证明命题“知知A，B，C为二阶矩阵，且为二阶矩阵，且AB=AC，假设矩，假设矩阵阵A存在逆矩阵，那么存在逆矩阵，那么B=C而既做到前后章节间的呼应，而既做到前后章节间的呼应，又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满又要求学生会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去率足消去率11.

20、11.逆矩阵与二元一次方程组亲密相关，用逆矩阵的知识逆矩阵与二元一次方程组亲密相关，用逆矩阵的知识了解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识了解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识两者，了解它们间的相互为用、相辅相成两者，了解它们间的相互为用、相辅相成. .2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵12.2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵12.AX=B X= A-1B 13.AXC=B X= A-1BC-1 14.2.4 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵15.用二阶矩阵和行列式研讨二元一次方程组的解的情用二阶矩阵和行列式研讨二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越多少况并不比消元法优

21、越多少.但是但是,当方程组中的未知元很当方程组中的未知元很多时多时,矩阵就变成了研讨它的一个强有力的工具矩阵就变成了研讨它的一个强有力的工具.2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量1.在本节开场部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换在本节开场部分，课本安排了两个学生熟知的伸压变换，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感，并给出了变换前后的图形，其目的在于让学生借助于感性了解在矩阵的作用下某些向量的性了解在矩阵的作用下某些向量的“不变性，从而为学不变性，从而为学生生学习特征值和特征向量打下坚实根底学习特征值和特征向量打下坚实根底2.3.将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的

22、将矩阵的特征值与特征向量概念转换成矩阵与列向量的乘法表示来了解，其目的在于引出矩阵的特征多项式课乘法表示来了解，其目的在于引出矩阵的特征多项式课本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将本没有对特征多项式作展开讨论，其意图是仅仅让学生将之作为一个工具之作为一个工具2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量4.5.2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量6.一个特征值对应着多个特征向量一个特征值对应着多个特征向量.7.有了特征值和特征向量的知识有了特征值和特征向量的知识,我们就可以方便地计算我们就可以方便地计算多次变换的结果多次变换的结果.22.5

23、特征值与特征向量特征值与特征向量2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量投影变换投影变换2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用1.只需求学生对高阶矩阵有一个感性认识只需求学生对高阶矩阵有一个感性认识.2.经过本节的学习经过本节的学习,让学生了解到矩阵来源于实践生活需求让学生了解到矩阵来源于实践生活需求.3.课本引见了矩阵在数学领域内的运用课本引见了矩阵在数学领域内的运用,也引见了它在经济也引见了它在经济学领域、密码学领域、生物学领域的运用学领域、密码学领域、生物学领域的运用.2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用2.1 二阶矩

24、阵与平面向量二阶矩阵与平面向量2.2 几种常见的平面变换几种常见的平面变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法变换的复合与矩阵的乘法2.4 逆矩阵与逆变换逆矩阵与逆变换2.5 特征值与特征向量特征值与特征向量2.6 矩阵的简单运用矩阵的简单运用 学习总结报告学习总结报告主要内容主要内容1.本专题只对详细的二阶方阵加以讨论本专题只对详细的二阶方阵加以讨论,而不讨论普通而不讨论普通mn阶矩阵以及阶矩阵以及(aij)方式的矩阵方式的矩阵.教学建议教学建议2.矩阵的引入要从详细的实例开场矩阵的引入要从详细的实例开场,经过详细的实例让学生经过详细的实例让学生认识到认识到,某些几何变换可以用矩阵表示某些几何变换

25、可以用矩阵表示,丰富学生对矩阵几丰富学生对矩阵几何意义的了解何意义的了解,并引导学生用映射的观念来认识矩阵并引导学生用映射的观念来认识矩阵,解线解线性方程组性方程组.不提倡先讲矩阵不提倡先讲矩阵,后讲变换后讲变换.3.要求从图形的变换直观地了解矩阵的乘法要求从图形的变换直观地了解矩阵的乘法,并经过详细的并经过详细的实例让学生了解矩阵乘法的运算率实例让学生了解矩阵乘法的运算率.4.在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射在新课讲解过程中适当地复习映射和一一映射.教学建议教学建议5.应经过大量实例应经过大量实例,借助立体几何图形的三视图来研讨平面借助立体几何图形的三视图来研讨平面图形的几何变换图形

26、的几何变换,这样会让学生感到生动这样会让学生感到生动,单纯的平面几何单纯的平面几何变换比较笼统变换比较笼统.6.可以将伸压变换与数学可以将伸压变换与数学4中的三角变换结合起来中的三角变换结合起来,表达知表达知识的螺旋上升识的螺旋上升.7.留意伸压变换和伸缩变换的异同留意伸压变换和伸缩变换的异同.8.在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线在证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线(或点或点)时时,学生能够会感到困难学生能够会感到困难,教师可以先复习定比分点的有关教师可以先复习定比分点的有关知识知识.自一部分内容不要求掌握自一部分内容不要求掌握,只需求学生可以直观地了只需求学生可以直观地了解线性变换把直线变成直线解线性变换把直线变成直线(或点或点).教学建议教学建议9.切变变换从几何上可以这样了解切变变换从几何上可以这样了解:坚持图形面积大小不坚持图形面积大小不变变,而点间间隔和线间角可以改动而点间间隔和线间角可以改动,且点沿坐标轴运动的变且点沿坐标轴运动的变换换.这些不要求学生掌握这些不要求学生掌握,只需求学生能结合图形只需求学生能结合图形,用书上的用书上的方式直观描画方式直观描画.10.对于矩阵乘法满足结合率对于矩阵乘法满足结合率,可让学生本人动手验证可让学生本人动手验证.教学建议教学建议11.行列式知识只限于二阶行列式，它仅仅是作为一个工