[理学]第5章 刚体的定轴转动ppt课件

1、第第 五五 章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动转轴转轴FrM 一、力矩一、力矩复复 习习1. 大小：大小：M = rFsin3. 作用于质点上一切力矩的矢量和，等于合力的力矩。作用于质点上一切力矩的矢量和，等于合力的力矩。MFr)FFF(rFrFrFrMnnii 2121力矩满足叠加原理力矩满足叠加原理2.方向：由右手螺旋定那么确定。方向：由右手螺旋定那么确定。留意：上式中留意：上式中F指的是与转轴垂直平面指的是与转轴垂直平面(转动平面转动平面)上的力，上的力，假设假设F不再该平面上，可将不再该平面上，可将F分解为垂直于转轴和平行于分解为垂直于转轴和平行于转轴的两个分力，力矩是指的是在转动平面

2、内力转轴的两个分力，力矩是指的是在转动平面内力F平平行于平面的力的投影。行于平面的力的投影。pFrFF/OZ二、质点的角动量二、质点的角动量 vmrPrL sinsinmrvrPL 1.大小：大小：2.方向：方向：vmr 用右手螺旋定那么确定。用右手螺旋定那么确定。 mPLrOxyz三、质点的角动量定理三、质点的角动量定理dtLdM 质点的角动量原理质点的角动量原理 即：质点所受的合外力矩等于它的角动量的变化率。即：质点所受的合外力矩等于它的角动量的变化率。积分关系积分关系LLddtMLLtt 2121角动量定理：质点角动量的增量等于质点遭到的冲量矩角动量定理：质点角动量的增量等于质点遭到的冲

3、量矩一、一、 概念概念在受外力作用时不改动外形和体积的物体称刚体。在受外力作用时不改动外形和体积的物体称刚体。(2)刚体可以看作是由许多质点组成刚体可以看作是由许多质点组成,每一个每一个质点叫做刚体的一个质元质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系刚体这个质点系的特点是的特点是,在外力作用下各质元之间的相对在外力作用下各质元之间的相对位置坚持不变。位置坚持不变。1. 刚体刚体:mimi(1)(1)刚体是固体物件的理想化模型。刚体是固体物件的理想化模型。质元质元第一节第一节 刚体的运动刚体的运动2. 刚体的运动方式刚体的运动方式: 刚体转动时各质元均做圆周运动刚体转动时各质元均做圆周运动, ,而且

4、而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上各圆的圆心都在一条固定不动的直线上, ,这条直线叫转轴。假设转轴方向不随时间这条直线叫转轴。假设转轴方向不随时间变化变化, , 那么称定轴转动。那么称定轴转动。 转动转动: 转动是刚体的根本运动方式之一。转动是刚体的根本运动方式之一。平动：平动：转轴转轴 在描画刚体的平动时在描画刚体的平动时, ,可以用一点的运可以用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。代表整个刚体的平动。 刚体的普通运动都可以以为是平动和绕某一转轴转动刚体的普通运动都可以以为是平动和绕某一转轴转动的结合。如图的结合。如图,车轮

5、的转动。车轮的转动。转动平面转动平面 二、刚体定轴转动的描画二、刚体定轴转动的描画转动平面转动平面: 取垂直于转轴取垂直于转轴 的平面为参考系的平面为参考系, 称转动平面。称转动平面。,vimi转轴转轴其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动, ,且一切质元的矢径在一样的时间内转过的角度一样且一切质元的矢径在一样的时间内转过的角度一样. .普通用角量描画。普通用角量描画。1.特点特点:ox转动方向转动方向ZPrpo 2.角位移角位移1.角位置角位置2.定轴转动的角量描画定轴转动的角量描画dtd rv P点线速度点线速度转动平面转动平面vrpo oX转

6、动方向转动方向Z4. 角加速度矢量角加速度矢量)s/rad(dtd2 3.角速度角速度:方向与转动方向成右手螺旋法那方向与转动方向成右手螺旋法那么。么。当减速转动时当减速转动时, , 与与 方向相反方向相反; ;当加速转动时当加速转动时, , 与与 方向一样；方向一样； .当角加速度是常量时：当角加速度是常量时：)(02022 t 0 2210 tt)( 单位：单位：rad/s 角速度是矢量角速度是矢量 。P P点线加速度点线加速度 ra ran2 由于在定轴转动中轴的由于在定轴转动中轴的方位不变，故方位不变，故 只只需沿轴的正负两个方向，需沿轴的正负两个方向，可以用标量替代。可以用标量替代。

7、 ,将刚体看成许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1 ; m2 mimn的质点的质点;各质点距转轴的间隔分别为各质点距转轴的间隔分别为 r1 、r2、ri 、rn各质点速率分别为各质点速率分别为 v1 、v2 、vi、 vnoi1. 第第 i 个质点对转轴的角动量个质点对转轴的角动量Zmi第二节第二节 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律一、刚体的角动量一、刚体的角动量iiLL2. 刚体的角动量刚体的角动量iiiivmriiimr2riviiiiivmrLiipr iiimrL 2 iii)mr( 2定义：定义： iiimrJ)(2-刚体对于转轴的转动惯量刚体对于转轴的转动惯量 JL 刚体的角

8、动量刚体的角动量 JL 大小：大小：方向：方向： 的方向。的方向。与线量比较：与线量比较： JLmvp)(转转动动惯惯性性转转动动惯惯量量J)(平平动动惯惯性性惯惯性性质质量量miMM 2. 整个刚体受合外力矩：整个刚体受合外力矩：FiZmioirivi力矩的方向力矩的方向:二、刚体所受力矩二、刚体所受力矩设刚体受外力：设刚体受外力：F1、F2FiFn1. 当质元受合外力当质元受合外力Fi 时该力对转轴的力矩时该力对转轴的力矩 沿转轴方向沿转轴方向,并与矢径并与矢径 及及 成右手螺旋法那么成右手螺旋法那么 。rF定轴转动定轴转动:iMM M定轴转动中，定轴转动中，M的方向可用正、负区分的方向可

9、用正、负区分如：使刚体逆时针转动，如：使刚体逆时针转动，M 0使刚体顺时针转动，使刚体顺时针转动，M 0代数和代数和iiiFrM 分析：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，接分析：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，接近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大。近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大。mlodmxdxx例例1 一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m ，在摩擦系数为在摩擦系数为 的程度桌面上转动，的程度桌面上转动， 求摩擦力的力矩求摩擦力的力矩 Mr。刚体内作用力和反作用力的刚体内作用力和反作用力的力矩相互抵消力矩相互抵

10、消jririjijFjiFdOijMjiM3.刚体的内力矩刚体的内力矩jiijMM结论：对于刚体所受力矩只需结论：对于刚体所受力矩只需思索外力矩即可思索外力矩即可221lglmlmgMr21rrdMMlxx0dg方向向下方向向下mlodmxdxxxgdmrFdMrr)(sinxxdglmxddm质量线密度质量线密度gdmdFr)(摩擦力微元摩擦力微元解：建立坐标轴，在解：建立坐标轴，在 处选处选 的线元的线元xdx三、刚体定轴转动定律三、刚体定轴转动定律 iiMMtddJ J JM 刚体转动定律刚体转动定律刚体定轴转动定律：刚体对于某一转轴所受的合外力矩等刚体定轴转动定律：刚体对于某一转轴所受

11、的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。的角加速度的乘积。特例：特例： 平衡时，平衡时， = 0，M= 0 (合力矩为零合力矩为零 iitdLd iiLdtddtLd 刚体定轴转动：刚体定轴转动： JM 运用时留意：运用时留意：M、 的正负号的正负号.iiirmJ21、分立刚体、分立刚体:转动惯量等于刚体中每个转动惯量等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴质点的质量与这一质点到转轴的间隔的平方的乘积的总和。的间隔的平方的乘积的总和。mioiri2、延续刚体、延续刚体: dmrJ2dmor四、四、 转动惯

12、量的计算转动惯量的计算 2 对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体：质量线密度：质量线密度lmdd2 对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体：质量面密度：质量面密度smdd2 对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：质量体密度：质量体密度Vmdd dmrJ2R例例 1 .刚性三原子分子其质量分布如下图，刚性三原子分子其质量分布如下图，求绕转轴的转动惯量求绕转轴的转动惯量233222211rmrmrmJ r1r2r3m1m2m3转轴转轴oRZ例例 2. 求质量为求质量为 m ，半径为，半径为 R 的均匀薄圆环的的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并经过其圆心。转动惯量，轴与圆环平面垂直并经过

13、其圆心。dmdmRJ2mdmR22mR解解: 解：设面密度为解：设面密度为 ，取半径为，取半径为 r 宽为宽为 dr 的薄圆环的薄圆环rdrdsdm 2 2402221212mRRrdrrdmrJR 例例3: 求质量为求质量为 m、半径为、半径为 R、薄圆盘的转动惯量。轴与盘、薄圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并经过盘心。平面垂直并经过盘心。rdrO解解:设棒单位长质量设棒单位长质量:1. 绕中心轴的转动惯量，按如图所示建立一维坐标系绕中心轴的转动惯量，按如图所示建立一维坐标系,2.绕一端的转动惯量，按如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量，按如图所示建立一维坐标系dmxJ 21dmxJ22ox

14、图图=m/l,dxdxxll 2222121ml dxxl02231mldm=dxdm例例 4 质量为质量为m ，长为，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。轴和绕一端转轴的转动惯量。ox图图(2)dmdx记住几个典型的转动惯量：记住几个典型的转动惯量：圆环经过中心轴圆环经过中心轴 J = mR2 J = mR2圆盘、圆柱经过中心轴圆盘、圆柱经过中心轴细棒端点垂直轴细棒端点垂直轴细棒质心垂直轴细棒质心垂直轴221mRJ 231mLJA 2121mLJc Z五、五、 转动惯量的物理意义及性质转动惯量的物理意义及性质: 转动惯量是刚体转

15、动惯性大小的量度转动惯量是刚体转动惯性大小的量度; 转动惯量不仅与刚体质量有关转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置而且与刚体转轴的位置 及刚体的质量分布有关及刚体的质量分布有关;转动惯量具有迭加性转动惯量具有迭加性;J=J1+J2+J3 转动惯量具有相对性转动惯量具有相对性;ZCdZ 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对经过质心并与该轴平行的转动惯量体对经过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积。积。 平行轴定理：平行轴定理：J = Jc+ m d 2如图一质量为如图一质量为M 长为长为l的匀质细

16、杆，中间和右端各有一的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的程度轴转动，假设将该杆置于程度位置后由静止释放，的程度轴转动，假设将该杆置于程度位置后由静止释放，求求:杆转到与程度方向成杆转到与程度方向成角时角时,杆的角加速度是多少杆的角加速度是多少?解解:设转轴垂直向里为正设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为系统对该转轴的转动惯量为 222312MlmllmJ 该系统所受的合力矩为该系统所受的合力矩为 cosmglcoslmgcoslMgM 22 cosgl )Mm()mM(41536 由转动定律由转动定

17、律: M=J 可得可得方向方向:指里。指里。lmg例例:mgMgm2m1 r例例2. 如下图，设两重物的质量分别为如下图，设两重物的质量分别为m1和和m2，且，且m1m2，定滑轮的半径为定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计设开场时系统静止，试求无滑动，滑轮轴上摩擦不计设开场时系统静止，试求t时时辰滑轮的角速度辰滑轮的角速度 开场时系统静止，故开场时系统静止，故 t 时辰滑轮的角速度：时辰滑轮的角速度： Jrmmgrmm 22121 Jrmmgrtmmt 22121 (T1T2)rJb且有：且有：arb T2m2gm2a

18、m1gT1m1a解方程组得：解方程组得：解：两重物加速度大小解：两重物加速度大小a一样，滑轮角加速度为一样，滑轮角加速度为 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：隔离物体分析力方向如图隔离物体分析力方向如图转动定律：转动定律：m1gT1T1T2T2m2gaa 留意：留意：21TT m rmm2m 2r例例3. 质量分别为质量分别为m和和2m、半径分别为、半径分别为r和和2r的两个均匀圆的两个均匀圆盘，同轴地粘在一同，可以绕经过盘心且垂直盘面的程度盘，同轴地粘在一同，可以绕经过盘心且垂直盘面的程度光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆，大小圆盘边缘

19、都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如的重物，如下图求盘的角加速度的大小下图求盘的角加速度的大小 列方程 mgT2 = ma2 T1mg = ma1 T2 (2r)T1r = 9mr2b / 2 2rb = a2 rb = a1 rg192mgT2T2T1T1mga2a1解：受力分析如图解：受力分析如图解联立方程，得：解联立方程，得： 练习练习1：如下图：如下图,有两个质量分别为有两个质量分别为 M1 、M2 ，对转轴的转动惯，对转轴的转动惯量分别为量分别为 , 半径分别为半径分别为 R1 、R2 的匀质定滑轮，的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳轮缘上绕一

20、细绳, 其两端挂着质量分别为其两端挂着质量分别为m1 和和m2 的物体。假设的物体。假设m1 m2 , 忽略轴承处的摩擦忽略轴承处的摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑求滑轮的角加速度及绳子的张力轮的角加速度及绳子的张力T1 、2 、T 3 。m2m1T2T1T3M1 R1M2 R2解：隔离物体分析力解：隔离物体分析力m1gm2gT1T1T3T3T2T2由牛顿第二定律和转动定律可由牛顿第二定律和转动定律可列方程如下列方程如下:2222amTgm 1111amgmT 222223221 RMR)TT( 222111 RaRa 121111321 RMR)TT( 222

21、2121211RM,RM12121121RgMM)m2(m)m2(m gmMM)m)MM(T122214 11112(mm22122RgMM)m) 1122(mm2(m gmMM)m)MM(T222224 11112(mmgMM)m)MM(T22234 11112212(mmmmm当当 M 1，M2 质量可以忽略时质量可以忽略时 T1= T2= T3rivimiZoi一、冲量矩一、冲量矩-力矩作用于刚体的时间累积效应力矩作用于刚体的时间累积效应21ttMdt定义定义:二、角动量定理二、角动量定理: : JL 1.刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量:2. 角动量定理角动量定理:122121LL

22、dtdtLddtMtttt dtLdM 转动物体所受合外力矩的冲量矩转动物体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内转等于在这段时间内转动物体角动量的增量。角动量也称动量矩。动物体角动量的增量。角动量也称动量矩。3. 角动量定理的意义角动量定理的意义:第三节第三节 对定轴的角动量守恒对定轴的角动量守恒三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律:由角动量定理可知：由角动量定理可知：dtLdM1.1.角动量守恒有两种情况角动量守恒有两种情况: :留意留意: :当刚体所受合力矩为零时即当刚体所受合力矩为零时即M=0时时,其角动量其角动量 L坚持守恒。坚持守恒。3.3.角动量守恒定律与动量守恒定律、角动量守恒

23、定律与动量守恒定律、 能量守恒定律一样能量守恒定律一样都是自然界的规律。都是自然界的规律。一是转动惯量与角速度都不变一是转动惯量与角速度都不变; ;二是两者都变但二者的乘积不变。二是两者都变但二者的乘积不变。恒量恒量 JM=0时时2.2.0 iF0 iM 0 iF0 iM0 iF0 iM例：例：(i)1F2F(ii)1F2F2224874121Ml)l(MMlJ (2) 碰前棒作平动，对碰前棒作平动，对 O 点的角动量按质心处置。故有点的角动量按质心处置。故有MlvlMvL414 解：解：(1) (1) 细棒绕细棒绕 O O 点的转动惯量点的转动惯量(3) 设碰后的角速度为设碰后的角速度为。碰

24、撞中外力矩为零，角动量守恒，。碰撞中外力矩为零，角动量守恒， JMlv 41vl712 vlO4l例例1 光滑的程度桌面上有一个长为光滑的程度桌面上有一个长为 l，质量为，质量为 M 的均匀细棒，的均匀细棒，以速度以速度v运动，与一固定于桌面上的钉子运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒相碰，碰后细棒绕绕 O 点转动，点转动， 细棒绕细棒绕 O 点的转动惯量；点的转动惯量； 碰前棒对碰前棒对 O 点的角动量；点的角动量； 碰后棒转动的角速度。碰后棒转动的角速度。求：求：所以所以 例例2. 如下图，在半径为如下图，在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的程的具有光滑竖直固定中心轴的程度圆盘上，

25、有一人静止站立在距转轴为度圆盘上，有一人静止站立在距转轴为 处，人的质量是圆处，人的质量是圆盘质量的盘质量的1/10开场时盘载人对地以角速度开场时盘载人对地以角速度w0匀速转动，如匀速转动，如今此人垂直圆盘半径相对于盘以速率今此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向沿与盘转动相反方向作圆周运动，知圆盘对中心轴的转动惯量为作圆周运动，知圆盘对中心轴的转动惯量为 。12R212MRRv R/2(1)人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒为零，系统的角动量守恒 RRvv221 盘盘对对地地人人对对盘盘人人对对地地解：解：0 ）（人人盘盘人

26、人对对地地人人盘盘JJJJ R21求求 ：(1) 圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度w (2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着欲使圆盘对地静止，人应沿着 圆圆 周对圆盘的速周对圆盘的速 度度v的大小及方向？的大小及方向？ 由相对运动有：由相对运动有：且有且有:221MRJ 盘盘2220121MRRmJ 人人解方程组得：解方程组得：Rv2120 (2) 欲使盘对地静止，那么欲使盘对地静止，那么w为零即为零即02120 Rv解得：解得：Rv0221 RRvv221 盘盘对对地地人人对对盘盘人人对对地地0 ）（人人盘盘人人对对地地人人盘盘JJJJ 221MRJ 盘盘2220121MRRmJ 人人将刚体看成

27、许多质量分别为将刚体看成许多质量分别为m1 、m2 mimn的质的质点点;各质点距转轴的间隔分别为各质点距转轴的间隔分别为 r1、r2 ri rn221iikivmE整个刚体的动能整个刚体的动能kiikEE一、一、 转动动能转动动能221JEk称刚体的转动动能称刚体的转动动能那么第那么第 i 个质元的动能个质元的动能 2221iirm221iiivm2221iiirm第四节第四节 转动中的功和能转动中的功和能质量为质量为m的不太大的整个刚体的重力势能的不太大的整个刚体的重力势能mygEPdmygdmmymgdcmgy一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量

28、集中在质心时所具有的势能一样。量集中在质心时所具有的势能一样。结论：结论：mydmycCXYOz二、刚体的重力势能二、刚体的重力势能O-力矩作用于刚体的空间累积效应力矩作用于刚体的空间累积效应当力继续作用于刚体使其角位置由当力继续作用于刚体使其角位置由1到到2时时,力矩的功为力矩的功为21MdArdfdA rdcosf rdsinf Md 如图力如图力 f 作用于作用于P点使刚体绕转轴转过微小角度点使刚体绕转轴转过微小角度d,P点对应的线位移为点对应的线位移为dr, 力所作的元功力所作的元功dr三、力矩的功三、力矩的功drpf当力矩为常量时当力矩为常量时,功为功为)(21MA对于同一转轴对于同

29、一转轴,刚体中一切内力矩功的总和为零。刚体中一切内力矩功的总和为零。四四 、力矩的功率、力矩的功率:tANdd2.2.当力矩与与角速度同向时当力矩与与角速度同向时, ,功和功率皆为正值功和功率皆为正值; ;反之为负。反之为负。单位时间内力矩所做的功。单位时间内力矩所做的功。留意留意: :tMddM1.1.当额定功率一定时当额定功率一定时, ,力矩与转速成反比力矩与转速成反比; ;21MdA五、五、 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理那么在该过程中力矩的功为：那么在该过程中力矩的功为：21MdA即即,合外力矩对刚体做定轴转动所作的功合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体等于刚体转动

30、动能的增量转动动能的增量-刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 设刚体初始时的角位置和角速度分别为设刚体初始时的角位置和角速度分别为1和和1，末态，末态的角位置和角速度分别为的角位置和角速度分别为2和和2,21dJ21dddtJ2122JJA2121六、刚体系统的功能原理六、刚体系统的功能原理A外力外力 =Ek2 +Ep2 -Ek1 +Ep1222121JmvEckcpmgyE当含刚体的系统在运动过程中只需保守力内力做功当含刚体的系统在运动过程中只需保守力内力做功时时,在该过程中系统机械能守恒。在该过程中系统机械能守恒。例例2 一棒长一棒长 l，质量，质量 m，其质量分布与，其质量分布与 O 点间隔成正比，将点间隔成正比，将细棒放在粗糙的程度面上，棒可绕细棒放在粗糙的程度面上，棒可绕 O 点转动，如图，棒的初点转动，如图，棒的初始角速度为始角速度为 0，棒与桌面的摩擦系数为，棒与桌面的摩擦系数为。求：求：(1) 细棒对细棒对O点的转动惯量。点的转动惯量。(2)细棒绕细棒绕O点的摩擦力矩。点的摩擦力矩。 (3) 细棒从以细棒从以0 开场转动到停顿所阅历的时间。开场转动到停顿所阅历的时间。解：解：O0 Zdm2021mlJ (1)2mglMf 32 3由角动量原理由角动量原理00 JJMdtt glt 4