[理学]第十一章 动量矩定理ppt课件

1、第11章 动量矩定理11.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩11.2 动量矩定理动量矩定理11.3 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程11.4 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理11.5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程11.1.1 质点的动量矩质点的动量矩 O r mv xymv x y z M ()OmMv 设有质点设有质点M M，其质量为，其质量为m m，速度为速度为v v，动量为，动量为mvmv，点，点M M的矢的矢径为径为r r，如下图。把质点，如下图。把质点M M 的的动量动量mv mv 对对O O点的矩，即点的矩，即()OOm

2、mMvLrv 定义为质点的动量对于点定义为质点的动量对于点O的动量矩。由式可以看出，的动量矩。由式可以看出，质点的动量对于点质点的动量对于点O的动量矩是矢量。的动量矩是矢量。 质点动量质点动量mv mv 在在OxyOxy平面上的投影平面上的投影 mvxy mvxy 对于点对于点O O 的动的动量矩，定义为质点的动量对量矩，定义为质点的动量对z z 轴的矩。即轴的矩。即 ()()zzOxyLM mMmvv11.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩质点的动量对于质点的动量对于 z 轴的动量矩是代数量。轴的动量矩是代数量。 由投影关系可知由投影关系可知()()zOzMmmvMv 即质点的动量

3、对于某点 O 的动量矩矢在经过该点的 z 轴上的投影时等于该质点的动量对于该轴的动量矩。动量矩的单位为kgm2/s。11.1.2 质点系的动量矩质点系的动量矩 质点系对点O 的动量矩等于各质点对同一点O 的动量矩的矢量和，或称为质点系动量对点O 的主矩，即1()nOOiiimLMv 质点系对某轴质点系对某轴z z 的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩的动量矩等于各质点对同一轴的动量矩的代数和，即的代数和，即 1()nzziiiLMmv11.1.3 刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩刚体绕定轴转动时对转轴的动量矩11()nnzziiii iiiLMm vm v rniiiniiiirmrrm121)(

4、 iim v z x y ir O im 工程中，常需计算作定轴转动工程中，常需计算作定轴转动的刚体对固定轴的动量矩。刚的刚体对固定轴的动量矩。刚体绕定轴转动时对转轴的动量体绕定轴转动时对转轴的动量矩可表示为矩可表示为 从转动惯量的公式可见，影响其大小的有两个要素，一是它的质量大小，另一个要素详细反映在刚体的外形及其与转轴的相对位置。转动惯量的单位为kgm2。 结论：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对结论：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。 引入 ，称为刚体对z轴的转动惯量，它阐明了刚绕定轴z 转动时的惯性大小。那

5、么上式可写为 zniiiJrm12zzJL11.1.4 常见物体的转动惯量常见物体的转动惯量 假设刚体的质量是延续分布的，那么转动惯量公式又可假设刚体的质量是延续分布的，那么转动惯量公式又可改写成如下方式改写成如下方式20d mz Jrmx x dx l z O 利用上式可将几种常见的外形规那么、质量均匀刚体利用上式可将几种常见的外形规那么、质量均匀刚体的转动惯量计算出来。的转动惯量计算出来。(1) 长为长为l，质量为，质量为m的均质直杆的均质直杆均质直杆对过端点均质直杆对过端点O O的的z z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 22013lzmJxdxmll x dx l x z O im r

6、O O d 均质直杆对过中点均质直杆对过中点O O的的z z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为2222112llzmJxdxmll221mrrmJniiO (2) 半径为半径为r，质量为，质量为m的均的均质薄圆环对中心轴的转动惯量为质薄圆环对中心轴的转动惯量为 (3) (3) 半径为半径为R R，质量为，质量为m m的均质圆板对中心的均质圆板对中心轴的转动惯量为轴的转动惯量为 2202 dROJmR322021d2RmmRR 11.1.5 回转半径回转半径 在工程实践中有时也把转动惯量写成刚体的总质量m与当量长度z的平方的乘积方式，即2zzmJ上式中，上式中，zz为刚体对于为刚体对于z z轴的回转

7、半径，又称惯性半径。于是轴的回转半径，又称惯性半径。于是 zzmJ表表1 1 简单外形均质物体的转动惯量简单外形均质物体的转动惯量 工程中几种常用简单外形均质物体的转动惯量的工程中几种常用简单外形均质物体的转动惯量的计算可查下表。计算可查下表。11.1.6 平行移轴公式平行移轴公式21mdJJCzz 刚体对于任一轴z1的转动惯量，等于刚体对与此轴平行的质心轴的转动惯量JzC，加上刚体的质量与z1轴到质心轴zC的间隔d平方的乘积。 O l d C 【例【例11-111-1】钟摆简化如下图。知均质细杆和均质圆盘的质】钟摆简化如下图。知均质细杆和均质圆盘的质量分别为量分别为m1m1和和m2m2，杆长

8、为，杆长为l l，圆盘直径为，圆盘直径为d d。求钟摆对于经。求钟摆对于经过悬挂点过悬挂点O O的程度轴的转动惯量。的程度轴的转动惯量。 解：分别计算杆和圆盘对于解：分别计算杆和圆盘对于程度轴程度轴O O的转动惯量的转动惯量 2113OJm l杆222COdJJm l盘22238mdlld 222121338OJmlmdlld钟摆对于经过悬挂点钟摆对于经过悬挂点O的程度轴的转动惯量为的程度轴的转动惯量为11.2 动量矩定理动量矩定理11.2.1 质点的动量矩定理质点的动量矩定理 r mv ()OMF ()OmMv x y z O F M 如下图的质点如下图的质点M M，其动量为，其动量为mvm

9、v，那么质点，那么质点M M对点对点O O的的动量矩用矢积可表示为动量矩用矢积可表示为 ()OmmMvrv上式两边分别对时间求导数，可得上式两边分别对时间求导数，可得 d() =dOmmt MvvvrF即即d()()dOOmtMvrFMF上式称为质点动量矩定理，即质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点的力对同一点的矩。11.2.2 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 设有n个质点组成的质点系，每个质点的力分成内力 和外力 ，根据质点的动量矩定理有 iiFeiFied()()()dOiiOiOimtMvMFMF 对于对于n n个质点组成的质点系，共有个质点组成的质点系，共有n n个

10、这样的方程，个这样的方程，将这将这n n个方程相加，可得个方程相加，可得 ie111d()()()dnnnOiiOiOiiiimtMvMFMF由于内力总是成对出现，故由于内力总是成对出现，故 ，上式可写为，上式可写为 i1()0nOiiMFe11d()()dnnOiiOiiimtMvMF即即e1d()dnOOiitLMF 上式就是质点系的动量矩定理。可表述为：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的一切外力对于同一点的矩的矢量和(外力对点O的主矩)。 上式写成投影方式为上式写成投影方式为e1d()dnxxiiLMtFe1d()dnyyiiLMtFe1d()dnzziiLMtF

11、 11.2.3 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 假设作用于质点系上外力对某点之矩的矢量和(即外力偶系的主矩)为零，那么质点系的总动量矩坚持不变。即假设 ，那么LO=常矢量。假设作用在质点系上的外力对某固定轴之矩的代数和等于零，假设 ，那么Lz=常数。这个结论称为动量矩守恒定律。 e1()0nOii MFe()0zimF M m2g xF F m1g O 【例【例11-211-2】 如下图提升安装中，知滚筒直径如下图提升安装中，知滚筒直径d d，它对转，它对转轴的转动惯量为轴的转动惯量为J J。求重物上升的加速度。求重物上升的加速度。 解：取滚筒和重物组成的质点系为研讨对解：取滚筒和重物组成的质点

12、系为研讨对象，受力分析如下图。设某瞬时滚筒转动的角速象，受力分析如下图。设某瞬时滚筒转动的角速度为度为，那么重物上升的速度为，那么重物上升的速度为v=d /2v=d /2。整个。整个系统对转轴系统对转轴O O的动量矩为的动量矩为22224OddLJm vJm由质点系的动量矩定理，有由质点系的动量矩定理，有 2)4(dddd222dgmMdmJtLtO于是滚筒角加速度为于是滚筒角加速度为 222424dmJgdmM 重物上升的加速度等于滚筒边缘上恣意一点的重物上升的加速度等于滚筒边缘上恣意一点的切向加速度，可表示为切向加速度，可表示为2222422dmJgdmMdda M m2g xF F m1

13、g O ROF g1m gm r1 r2 O 1a A g2m B 【例【例11-3】 均质滑轮半径分别为均质滑轮半径分别为r1和和r2，两轮固连在一同，两轮固连在一同并安装在同一转轴并安装在同一转轴O上，两轮共重为上，两轮共重为mg，对轮心，对轮心O 的转动的转动惯量为惯量为JO ，如下图。重物，如下图。重物A、B的质量分别为的质量分别为m1、m2。求重物求重物A向下运动的加速度。向下运动的加速度。 解：取整体为研讨对象，其受力分析和运动分析如下图。运用质点系的动量矩定理，有 ed()dOOLMtF而质点系对点而质点系对点O O 的动量矩为的动量矩为 1 1 12 2 2OOLJmv rm

14、v r221112 21()OvJmrmrr质点系一切外力对质点系一切外力对O O点的矩的代数和为点的矩的代数和为 e1122()OMm grm grF由质点系的动量矩定理，有由质点系的动量矩定理，有221111222211)(grmgrmrarmrmJO这样，重物这样，重物A A向下运动的加速度为向下运动的加速度为222211122111)(rmrmJgrrmrmaO ROF g1m gm r1 r2 O 1a A g2m B 11.3 刚体绕定轴转动的微分方程刚体绕定轴转动的微分方程 设定轴转动刚体上作用有自动力F1、F2、Fn和轴承的约束反力FN1和FN2，如下图。刚体对 z 轴的转动惯

15、量为Jz，角速度为，刚体绕固定轴 z 转动时刚体的动量矩为 zzJL z 1F nF 2F N2F N1F O 假设不计轴承中摩擦，根据质点系对z 轴的动量矩定理，有 1d()()dnzziiJMtF 上式称为刚体绕定轴的转动微分方程。即刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上的自动力对该轴的矩的代数和。 上式也可以写为上式也可以写为221d()dnzziiJMtF即即1()nzziiJMF 【例11-5】均质直杆AB和OD,长度都是l，质量均为m，垂直地固接成丁字形,且D为AB的中点，如下图。此丁字杆可绕过点O的固定轴转动，开场时OD段静止于程度位置。求杆转过 角时的角速度和角

16、加速度。 A OxF OyF O gm2 D B C ( )OOiJM F 解：选丁字杆为研讨对象，进展受力分析。当杆OD与程度直线的夹角为 时,丁字杆转动的角速度为，如下图。运用刚体定轴转动微分方程，有 由平行移轴定理，有由平行移轴定理，有 2222121712131mlmlmlmlJO 经过计算，可知质心经过计算，可知质心C C到转轴到转轴O O的间隔的间隔为为OC=3l/4OC=3l/4。故有。故有cos23cos432)(mgllmgMOF将以上两式代入刚体定轴转动微分方程得将以上两式代入刚体定轴转动微分方程得 cos2312172mglml解得杆的角加速度为解得杆的角加速度为 cos

17、1718lg A OxF OyF O gm2 D B C ddddddt由于由于刚体定轴转动微分方程可写为刚体定轴转动微分方程可写为dcos1718dlg两边积分，并利用初始条件，可得两边积分，并利用初始条件，可得 0 018dcos d17gl 解得杆的角速度解得杆的角速度为为 lg17sin6 A OxF OyF O gm2 D B C 11.4 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 假设质点系假设质点系( (如做平面运动的刚体如做平面运动的刚体) )的运动可分解为随质的运动可分解为随质心的平动和相对于质心的转动，前者可用动量定理或质心运心的平动和相对于质心的转动，前者

18、可用动量定理或质心运动定理描画，后者能否用动量矩定理来描画呢？动定理描画，后者能否用动量矩定理来描画呢？ C x y z O x z y Cr i r im r iv ir 以质心以质心C C为原点，取一平动坐标为原点，取一平动坐标系系CxyzCxyz，如下图。在此平动坐标，如下图。在此平动坐标系中，质点系中，质点mimi相对矢径为相对矢径为 ，相对，相对速度为速度为virvir。质点系对于质心。质点系对于质心C C 的动的动量矩为量矩为 i r()CCiiiiimmLMvrv C x y z O x z y Cr i r im r iv ir 根据点的速度合成定理，有根据点的速度合成定理，有

19、 riCivvv质点系对于质点系对于C C点的动量矩可表示为点的动量矩可表示为 rr()CiiCii iCii i mm mLrvvrvrv由质心坐标公式，有由质心坐标公式，有 i iCm mrr由于由于rC=0，故有，故有 0i im r故质点系对于质心点故质点系对于质心点C C的动量矩为的动量矩为 rCiiimLrv ()OOi iii immLMvrv质点系对于点质点系对于点O的动量矩为的动量矩为()iiOi iCi iCi ii immmmiLrvrrvrvrv于是于是 C x y z O x z y Cr i r im r iv ir 这样，质点系对于点这样，质点系对于点O O的动量

20、矩可表示为的动量矩可表示为 OCCCmLrvL 上式阐明，质点系对任一点O 的动量矩等于集中于系统质心的动量mvC对于点O的动量矩与此系统对于质心C 的动量矩LC 的矢量和。 ed()dOOitLMF由质点系对定点的动量矩定理由质点系对定点的动量矩定理 edd()ddCCCiimttrvLrF可得可得eddd()()dddCCCCCCiimmtttrvrvLrrF即即上式右端是外力对于质心的主矩，于是得上式右端是外力对于质心的主矩，于是得 ed()dCCitLMF上式可写为上式可写为eddCiitLrF 即质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于质心的主矩。这个结论称为

21、质点系对于质心的动量矩定理。该定理在方式上与质点系对于固定点的动量矩定理完全一样。11.5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 O y x C A 如下图的刚做作平面运动，结合质心运动定理和质点如下图的刚做作平面运动，结合质心运动定理和质点系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程可写系相对于质心的动量矩定理，刚体平面运动微分方程可写为为 d()()dCCCmJMtaFF写成投影方式为写成投影方式为()CxCyCCmxFmyFJMF O z C x y iri r iM Cr 【例【例11-611-6】试证明质点系对于某定点】试证明质点系对于某定点O O的动量矩等于总质量的动量矩等于

22、总质量集中于质心时的动量矩，加上各质点的动量对于质心矩的集中于质心时的动量矩，加上各质点的动量对于质心矩的矢量和。即矢量和。即 ()()()iiiiCOOCmmmMvMvMv 证明：设质点 Mi的质量为mi，该质点的速度为vi。质点Mi的矢径为ri，质点Mi相对质心C的矢径为ri，质心C矢径为rC，质心C的速度为vC。原点O为定点,如下图。故有 ()()Oi iii iCii immmMvrvrrvCiiiiimmrvrv()CCCiimmrvMv()()OCCiimmMvMv r C M NF Ca gm F x 【例【例11-711-7】半径为】半径为r r，质量为，质量为m m 的均质圆

23、轮沿程度直线做纯的均质圆轮沿程度直线做纯滚动，如下图。设圆轮的惯性半径为滚动，如下图。设圆轮的惯性半径为C, C, 作用在圆轮上的作用在圆轮上的力偶矩为力偶矩为M M。求轮心的加速度。假设圆轮对地面的静摩擦系。求轮心的加速度。假设圆轮对地面的静摩擦系数为数为 fs fs，问力偶矩，问力偶矩M M 必需符合什么条件才干不致使圆轮滑必需符合什么条件才干不致使圆轮滑动。动。 解：取圆轮为研讨对象。作用在圆轮上的外力有重物的分量mg，地面对圆轮的正压力FN，滑动摩擦力F，以及作用在圆轮上的力偶矩M，如下图。根据刚体平面运动的微分方程可列出如下三个方程 CxmaFNCymaFmg2CmMF r 由于由于

24、 ，根据圆轮滚动而不滑动的，根据圆轮滚动而不滑动的条件，有条件，有 0CxCCyaaa，CarCFmaNFmg22()CCMramr22()CFrMr联立求解，可得联立求解，可得欲使圆轮滚而不滑，必需有欲使圆轮滚而不滑，必需有 sNsFf Ff mg22sCrMf mgr于是圆轮滚而不滑的条件为于是圆轮滚而不滑的条件为 r C M NF Ca gm F x O r r A B B P B TF Ba C O A OyF P A OxF TF 【例【例11-911-9】均质圆柱体】均质圆柱体A A和和B B的分量均为的分量均为P P，半径均为，半径均为r r，一，一绳缠在绕固定轴绳缠在绕固定轴O

25、 O转动的圆柱体转动的圆柱体A A上，绳的另一端绕在圆柱体上，绳的另一端绕在圆柱体B B上，如下图。不计摩擦及绳子自重。求：上，如下图。不计摩擦及绳子自重。求：(1) (1) 圆柱体圆柱体B B下降下降时质心的加速度；时质心的加速度；(2) (2) 假设在圆柱体假设在圆柱体A A上作用一逆时针转向上作用一逆时针转向的转矩的转矩M M，试问在什么条件下圆柱体，试问在什么条件下圆柱体B B的质心将上升。的质心将上升。 解：分别取轮解：分别取轮A A和和B B为研讨对象，受力如下图。轮为研讨对象，受力如下图。轮A A做定轴做定轴转动，轮转动，轮B B做平面运动。对轮做平面运动。对轮A A运用刚体定轴转动微分方程，运用刚体定轴转动微分方程，有有 TAAJFr对轮对轮B B运用平面运动微分方程，有运用平面运动微分方程，有 TBPPFagTBBJF r 由轮的运动学分析可知由轮的运