解三角形(教案)精

1、解三角形适用学科数学适用年级高中二年级适用区域广东省课时时长（分钟）60 知识点1 正弦定理及其应用2 余弦定理及其应用3. 三角形面积公式的应用教学目标掌握解三角形的题型，总结归纳解题方法教学重点正弦定理余弦定理综合应用，解三角形教学难点正弦定理余弦定理综合应用，解三角形教学过程一、 复习预习1内角和定理；2正弦定理；3余弦定理；二、知识讲解考点 1 内角和定理：在中，；面积公式 : ；在三角形中大边对大角，反之亦然. 考点 2 正弦定理在一个三角形中，各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一： ( 解三角形的重要工具 ) 形式二： ( 边角转化的重要工具 ) 形式三：形式四：，考点 3 余

2、弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 . 形式一：( 解三角形的重要工具 ) 形式二：三、 例题精析【例 1】【题干】在中，若，则. 【解析】正弦定理的直接应用【答案】：【例 2】【题干】在 abc中，已知= ，= ，b=45 ，求 a、c和. 【解析】：正弦定理的应用【答案】 b=45 90且sinb b，abc有两解. 由正弦定理得 sina= = = ，则 a为 60或 120.当 a=60 时，c=180 -(a+b)=75，c= = = = . 当 a=120时，c=180 - (a+b)=15，c= = = = . 故在abc中，a=

3、60 ，c=75 ， c= 或 a=120 ，c=15 ，= 【例 3】【题干】设的内角所对的边分别为. 已知，. （）求的周长；（）求的值. 解题思路：本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力【解析】：（）的周长为. （），故为锐角，. 【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：【例 4】 设的内角 a、b、c的对边长分别为、，且 3 +3 -3 =4 . () 求 sina 的值；()求的值. 【解析】：（）由余弦定理，得，又，故. （）原式 = . 【例 5】在abc中，内角 a，b，c的对边分别为，c已知（i ）求的值；（ii ）若 c

4、osb= ，abc的周长为 5，求的长。【解析】：（）由正弦定理，设则所以即，化简可得又，所以因此（）由得由余弦定得及得所以又从而因此 b=2。【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”【例 6】在中，内角 a、b、c的对边长分别为、，已知，且求 b. 解题思路：对已知条件 (1) 左侧是二次的右侧是一次的，可以考虑余弦定理；而对已知条件(2) 化角化边都可以。【解析】：法一：在中，则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得：. 又由已知. 解得. 法二: 由余弦定理得 : . 又，. 所以又，即由正弦定理得，故由，解得. 【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，

5、两种方法只是计算量上的差别。四、课堂运用【基础】1. （1）abc中，=8，b=60 ，c=75 ，求; （2）abc中，b=30 ，=4，c=8，求 c 、a、a. 【解析】（ 1）由正弦定理得. b=60 ，c=75 ，a=45 ，b=4 . （2）由正弦定理得sinc= =1. 又30 c150，c=90 .a=180 - (b+c)=60，= =4 . 2. 在abc中，、分别是角 a，b，c的对边，且=- . （1）求角 b的大小；（2）若= ，+ =4，求abc的面积 . 【解析】（ 1）由余弦定理知： cosb= ，cosc= . 将上式代入=- 得: =- 整理得 : 2+ 2

6、- 2=- cosb= =- b 为三角形的内角， b=. （2）将= ，+ =4，b= 代入2= 2+ 2-2 cosb，得2=( + )2-2 -2 cosb 2=16-2 ，=3. sabc=sinb= . 【巩固】1. 在abc中，a、b、c 分别是角 a、b、c的对边，且 8sin2 2cos2a7（1）求角 a的大小；（2）若 a，bc3，求 b 和 c 的值【解析】：（ 1）abc180，90 sin由 8sin2 2cos2a7，得 8cos2 2cos2a7 4(1 cosa)2(2cos2a1)7，即(2cosa1)20 cosa 0 a180，a60（2）a，a60，由余

7、弦定理知 a2b2c22bccosa， 3 b2c2bc(bc)2 3bc93bcbc2又 bc3，b1，c2 或 b2，c12. 设abc的内角 a，b，c的对边分别为，b，c，且 a= ，c=3b.求：（）的值；（） cotb+cot c 的值. 解题思路：求的值需要消去角和b；三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系【解析】：（）由余弦定理得，解得. （）【解法一】：由正弦定理和（）的结论得故【解法二】：由余弦定理及（）的结论有故同理可得从而【拔高】1. 中，所对的边分别为，. （1）求；（2）若，求. 【解析】： (1) 因为，即，所以，即，得. 所以，或( 不成立 ). 即， 得，所以

8、 . 又因为，则，或（舍去）得(2) ，又， 即，得课程小结1正弦定理的应用2余弦定理的应用课后作业【基础】1. 已知abc中，则。2. 在中，若，则 a= 。3. 已知，分别是 abc的三个内角 a，b，c所对的边，若=1，= ， a+c=2b ，则 sinc=. 4. 在中，=15，=10，a=60 ，则= a b c d 5. 在abc中，角 a、b、c的对边分别为、，若( 2+ 2-b2)tanb= ，则角 b的值为a. b. c. 或 d. 或6. 在abc中，内角 a，b，c的对边分别是，若，则 a=（）（a）（b）（c ）（d ）7. 在中，三个角的对边边长分别为，则的值为 .

9、【巩固】8. 在中，角的对边分别为，。（）求的值；（）求的面积 . 9. 在中，（）求 ab的值。（）求的值。【拔高】10. 已知的周长为，且（i ）求边的长；（ii ）若的面积为，求角的度数11在中，角、所对应的边分别为、，且满足（i ）求角的值；（ii ）若，求的值【参考答案】1. 2.1 3. 1 【解析】由 a+c=2b 及 a+ b+ c=180知，b =60由正弦定理知，即由知，则，4.d 【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故 b为锐角，所以，故 d正确. 5. d 6.a 【解析】由由正弦定理得，所以 cosa= = ，所以 a=300 7. 8【解析】（） a、b、c为abc的内角，且，. （）由（）知，又，在 abc中，由正弦定理，得. abc的面积