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文档简介

1、关于抛物线焦点弦的一个优美结论在抛物线的教学过程中，不少老师应该遇到过这样一道关于抛物线的焦点弦 的题目.题目：过抛物线 °)的焦点尸作直线交抛物线于艮Q两点，若线工十1 _段归可与|斤副的长度分别为户总则g q (aE B. L C. 1：i D这道题目有一个快速而且准确的解法，就是我们在解选择题时常用的“特殊 值法”或称“特例检验法”.我们可假设直线FQ与了轴垂直，则声与寸相等，这 里还有个特别注意的就是很多学生在解题的时候会犯的一个低级错误，认为抛物线的标准方程中2P对应的就是事,其实这里我们要稍微转化一下,本题中与2P对应的应该是曰，故本题答案是。而不是力但是我们作为老师，不

2、是解完这道题目就了了 ，我们还可以再仔细分析一下 本题，这题很有意思，四个选择支全是常数,也就是说抛物线的焦点弦被焦点分成 两部分的线段的长度的倒数和与焦点弦的倾斜程度好象没有关系，那么这样的猜 想到底对还是错呢？若这个猜想是正确的，那么这样的倒数和到底是多少呢？下面 我以焦点在才轴正半轴的标准抛物线来研究这个问题题目：过抛物线/三2P4"的焦点打作直线交抛物线于两点,且|尸尸卜僧，|尸白=拒、+雄+与古1 1 试求出收的值.探究：因为直线FQ可以垂直于*轴，故我们有必要先分类讨论.声总0（一）.若直线FQ垂直于K轴.如图1,若， 轴，由2,易得外二0二一尸.则幽= X = P于是，

3、有烟十圈 J P P1+1到这里，我们可以猜测，阳 用若为定值的话，那么这个值估计就是r下面 对一般情形进行分析.（二）.如图2,令直线1上的倾斜角为2方法一令艮Q在K轴上的射影分别为凡比在准线上的射影分别为 乙比准 线与K轴的交点为M由抛物线的定义,有P4 二户用，又四边形FAMA为矩形,有 摩卜网则由上喇而陷=网+烟|7+ |网必台.于是吁 P第二P附二户+期2£生，解此关于物的方程，得1*£Q同理：1十WQ则111- cqs a 1 + ce 仃 2 一十一二十=一活津 中 ¥ 少为定值.7V< rr <tt当然，在2时，同理可以证明这个结论.结论成立，在证明此结论的过程中，还得到了一个副产品，即：13B1+3屐由|FQ| = |产母+尸娟二以十用二- 十 - =一a =中一1 3胃1十匚白力Qa.当 2时，£的我最大则3加最小，此时，称二为通径.在研究一般情形时，还可以采用下面一种方法，也是比较简便的.方法二如图3,不妨仍令直线 叩的倾斜角为2 2点在F£上的射影为管易知&Q即.2KF则|幽底p-|Q可_|网二_商二诟=囱-四=|产尸|十=消一式=也十打耀+依 2112=, + -=.整理，得pi&

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