小学奥数辅导35个专题汇总(全)

1、小学奥数辅导 35 个专题汇总1、和差倍问题2.年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量， 一般是那个“单一量”， 题目一般用“照这样的速度” 等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4.植树问题5.鸡兔同笼问题基本概念： 鸡兔同笼问题又称为 置换问题、 假设问题， 就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的

2、原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6.盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次

3、每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7.牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量 =（较长时间长时间牛头数 -较短时间短时间牛头数）（长时间 -短时间）；总草量 =较长时间长时间牛头数 -较长时间生长量；8.周期循环与数表

4、规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰 年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被100 整除，则年份必须能被400 整除；平 年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被 400 整除；9.平均数基本公式：平均数 =总数量总份数总数量 =平均数总份数总份数 =总数量平均数平均数 =基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法： 根据给出的数之间的关系， 确定一个基准数； 一般选与所有数比较接近的数或

5、者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和； 再求出这些差的平均数； 最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式10. 抽屉原理抽屉原则一：如果把（ n+1 ）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1观察上面四种放物体的方式， 我们会发现一个共同特点： 总有那么一个抽屉里有2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体。抽屉原则二： 如

6、果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm ，那么必有一个抽屉至少有 :k=n/m +1个物体：当 n 不能被 m 整除时。k=n/m个物体：当 n 能被 m 整除时。理解知识点： x表示不超过 x 的最大整数。例4.351=4 ；0.321=0 ；2.9999=2；关键问题： 构造物体和抽屉。 也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11. 定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路： 严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入， 转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的

7、意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12. 数列求和等差数列：在一列数中， 任意相邻 两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1 表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用sn 表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个， 就可求出第四个； 求和公式中涉及四个量， 如果己

8、知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式： an = a 1+（n1）d；通项首项（项数一1) 公差；数列和公式： sn,= (a 1+ a n)n 2；数列和（首项末项）项数 2；项数公式： n= (a n+ a 1)d1；项数=（末项 -首项）公差 1；公差公式： d = （ana1）（n1）；公差=（末项首项）（项数 1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；13. 二进制及其应用十进制：用 09 十个数字表示，逢10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义， 十位上的 2 表示 20， 百位上的 2 表示 200 。 所以 234=200+30+4=2102+3 10

9、+4 。=a n 10 n-1 +a n-1 10n-2 +a n-2 10n-3 +a n-3 10n-4 +a n-4 10n-5 +a n-6 10n-7 + +a 3 102+a 2101+a 1 100注意： n0=；n=n （其中 n 是任意自然数）二进制：用 01 两个数字表示， 逢 2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。= a n2n-1 +a n-1 2n-2 +a n-2 2n-3 +a n-3 2n-4 +a n-4 2n-5 +a n-6 2n-7+ +a 3 22+a 2 21+a 1 20注意： an 不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制满 2 进

10、 1 的特点，用 2 连续去除这个数， 直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的2 的 n 次方，再求它们的差， 再找不大于这个差的2 的 n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。14. 加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n 类方法，在第一类方法中有m1 种不同方法，在第二类方法中有m2 种不同方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法， 那么完成这件任务共有： m1+ m 2. +m n 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做

11、第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件任务共有：m1 m2. mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数 1+2+3+（点数一 1）；数角规律 =1+2+3+ （射线数一 1）；数长方形规律：

12、个数 =长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数 =1 1+2 2+3 3+ +行数列数15. 质数与合数质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数： 把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：n= ，其中 a1、a2、a3 an 都是合数 n 的质因数，且 a1a 2a3 a n。求约数个数的公式： p=(r 1+1)

13、(r2+1) (r3+1) (rn+1)互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。16. 约数与倍数约数和倍数：若整数a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 m。例如： 12 的约数有 1、2、3、4、6、1

14、2；18 的约数有： 1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公约数有： 1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是： 6，记作（ 12，18）=6 ；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有： 12、24、36 、48；18 的倍数有： 18、36、54 、72；那么 12 和 18 的公倍数有： 36、72、

15、108 ；那么 12 和 18 最小的公倍数是 36 ，记作 12 ，18=36 ；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法17. 数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a 。2、常用符号：整除符号“ |”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的数字能被2、5

16、 整除。2. 能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、25 整除。3. 能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被8、125 整除。4. 能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被3、9 整除。5. 能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11 整除。7. 能被 13 整除：末三位上数字所

17、组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13 整除。三、整除的性质：1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b ）与（a-b ）也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。18. 余数及其应用基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得 ab=q r，且 0rb, 那么r 叫做 a 除以 b 的余

18、数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-a 。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c的余数。19. 余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同，则称a、b 对于模 m 同余。已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b ，就称 a、b 对于模 m 同余，记作 ab(mod m)，读作 a 同余于 b 模 m。二、同余的性

19、质：自身性： a a(mod m) ；对称性：若 a b(mod m)，则 b a(mod m) ；传递性：若 a b(mod m)，b c(mod m) ，则 ac(mod m) ；和差性：若 a b(mod m)，c d(mod m) ，则 a+c b+d(mod m)，a-c b-d(mod m)；相乘性：若 ab(mod m)，c d(mod m) ，则 a cb d(mod m)；乘方性：若 a b(mod m)，则 an bn(mod m) ；同倍性 :若 a b(mod m) ，整数 c，则 acb c(mod m c)；三、关于乘方的预备知识：若 a=a b，则 m a=m a

20、b=（m a）b若 b=c+d则 mb=m c+d =m c m d四、被 3、9、11 除后的余数特征：一个自然数 m ，n 表示 m 的各个数位上数字的和，则m n(mod 9) 或（mod 3）；一个自然数 m ，x 表示 m 的各个奇数位上数字的和， y 表示 m 的各个偶数数位上数字的和，则m y-x 或 m 11- （x-y）(mod 11) ；五、费尔马小定理：如果p 是质数（素数）， a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-1 1(mod p) 。20. 分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分

21、子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法： 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系； 把不同的标准 （在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法： 为了解题的方便， 可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，

22、然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法： 在变化的各个量当中， 总有一个量是不变的， 不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：a、分量发生变化，总量不变。 b、总量发生变化，但其中有的分量不变。c、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法： 用一种量代替另一种量， 从而使数量关系单一化、 量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21. 分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同， 根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同， 根据

23、同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法： 当分子和分母的差一定时， 分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法： 当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。 （具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。3.完全平方数

24、完全平方数特征：1. 末位数字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 约数个数为奇数；反之成立。5. 奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6. 奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式： x2-y2=（x-y）（x+y）完全平方和公式：（ x+y）2=x 2+2xy+y 2完全平方差公式：（ x-y）2=x 2-2xy+y 224. 比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项， 比号后面的数叫比的后项。比值

25、：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘 )，ad=bc 。正比例：若 a 扩大或缩小几倍， b 也扩大或缩小几倍（ ab 的商不变时），则a与 b 成正比。反比例：若 a 扩大或缩小几倍， b 也缩小或扩大几倍（ ab 的积不变时），则a与 b 成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25. 综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者

26、之间的关系 .基本公式：路程 =速度时间；路程时间 =速度；路程速度 = 时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间 =相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程 =（船速 +水速）顺水时间逆水行程 =（船速-水速）逆水时间顺水速度 =船速+水速逆水速度 =船速-水速静水速度 =（顺水速度 +逆水速度） 2水 速=（顺水速度 -逆水速度）2流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及

27、时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。26. 工程问题基本公式：工作总量 =工作效率工作时间工作效率 =工作总量工作时间工作时间 =工作总量工作效率基本思路：假设工作总量为“ 1”（和总工作量无关）；假设一个方便的数为工作总量 （一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评：合久必分，分久必合。27. 逻辑推理基本方法简介：条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况， 说明该假设情况是不成立的， 那么与

28、他的相反情况是成立的。例如，假设a 是偶数成立， 在判断过程中出现了矛盾，那么a 一定是奇数。条件分析列表法： 当题设条件比较多， 需要多次假设才能完成时， 就需要进行列表来辅助分析。 列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况， 运用逻辑规律进行判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如 a 和 b 两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。逻辑计算： 在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，

29、还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28.几何面积基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：1. 连辅助线方法2. 利用等底等高的两个三角形面积相等。3. 大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。4. 利用特殊规律等腰直角三角形，

30、已知任意一条边都可求出面积。 （斜边的平方除以4 等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的78.5% 。29. 时钟问题快慢表问题基本思路：1、 按照行程问题中的思维方法解题；2、 不同的表当成速度不同的运动物体；3、 路程的单位是分格（表一周为60 分格）；4、 时间是标准表所经过的时间；5、 合理利用行程问题中的比例关系；30. 时钟问题钟面追及基本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题：确定分针与时针的初始位置；确定分针与时针的路程差；基本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成60 小格，每小格我们称为 1 分格。分针每小时走 60分格，即

31、一周；而时针只走5 分格，故分针每分钟走1 分格，时针每分钟走112 分格。度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360 ，分针每分钟转 度，即 6，时针每分钟转 度，即度。31. 浓度与配比经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液重量 =溶质重量 +溶剂重量；溶质重量 =溶液重量浓度；浓度= 100%= 100%理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。32. 经济问题利润的百分数 =（卖价 -成本）成本100% ；卖价=成本（1+ 利润的百分数）；成本=卖价（1+ 利润的百分数）；商品的定价按照期望的利润来确定；定价=成本（1+ 期望利润的百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金利率期数；含税价格 =不含税价格（1+ 增值税税率）；33. 简单方程代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。方程：含有未知数的等式叫方程。列方程