(完整版)高中数列教学案完整版

1、第三章 数列 第一教时 教材：数列、数列的通项公式 目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些 数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。 过程： 一、从实例引入（P110） 1. 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10 1111 2. 正整数的倒数 1,-,-, ,-上 2 3 4 5 3. 2精确到1,0.1,0.001上的不足近似值1,4,41, .414, 4. -1 的正整数次幕：一 1,1,一 1,1， 5. 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1， 二、提出课题：数列 1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 2. 名称

2、：项，序号，一般公式aa2,上，an,表示法 3. 通项公式：an与 n 之间的函数关系式 如数列 1： an二n3 数列 2： an =1 数列 4: an=（-1）n, nN* n 4. 分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。 5. 实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N* （或它的有限子集1，2,，n）的函数，当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 6. 用图象表示：一 是一群孤立的点 例一 （P111 例一 略） 三、关于数列的通项公式 1. 不是每一个数列都能写出其通项公式 （如数列 3） 2

3、. 数列的通项公式不唯一 如 数列 4 可写成 an =（-1）n和 n -2k -1,k N * n =2k,k N * 3. 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要 例二 （P111 例二）略 四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 n项分别是下列 第 1页 五、小结： 1. 数列的有关概念 2. 观察法求数列的通项公式 六、作业： 练习 P112 习题 3. 1（P114 1、2 课课练中例题推荐 2 练习 7、8 第二教时 教材：数列的递推关系 目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根 据给出的递推公式写出数列的前 n 项。

4、 过程: 复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划） f S- S 、例一：若记数列首的前 n 项之和为 3 试证明：anij n 证：显然 n = 1 时，a1 = 3 当 n = 1 即 n _ 2 时 Sn = a1 a2 亠匕亠 an Sn 二二 a1 a2 丄：丄 an 各数: 1. 1, 0, 1, 2. 15 24 35 an = (_1)n n 1 (n 1)2 -1 3. 7, 77, 777, 7777 4. -1, 7, -13, 19, -25, 31 吩(10n-1) an =(-1)n(6 n-5) 3 5 9 卫 2, 4 , 16 , 256

5、 2n +1 a n nr 2 (n-2) (n才) Sn Sn 4 - an :Sn Snd (n2) Q (n=1) 求数列2n 的通项公式 解：1. 当 n = 1 时，aT = ST = 1 当 n 32 时，an =2n2 n 2(n 1)2 +(n 1) = 4n 3 经检验 n=1 时ai =1也适合 an = 4n-3 2 . 当 n=1 时，aT=3=3 当 n 32 时，an = n2 + n +1 (n 1)2 (n 一 1) 1 = 2n 3 (n=1) an = * gn (n 2) 、递推公式 (见课本 P112-113 略) 以上一教时钢管的例子 an = n 3

6、 = 4 (n = 1) 从另一个角度，可以：上 an =an1 (n 一 2) “递推公式”定义：已知数列 Sn 的第一项，且任一项3n与它的前 一项an(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫 做这个数列的递推公式。 例三 (P113 例三)略 例四已知ai = 2， an= an -4求an . 解一：可以写出：a1 = 2， a2 = -2， a3 = -6， a4 = -10， . 观察可得：an =2 (n -1)(n- 4) = 2 - 4(n -1) 解:由题设：an T an = -4 an - an 4 = -4 an 4 - an / = -4 an 一 a

7、n； = 一4 A A ) a2 aT 4 注意：1 此法可作为常用公式 2 当印（=3）时满足 Sn -Snv 时，则 an 二 Sn -Sn_1 例二：已知数列n 的前 n 项和为Sn=2n2-n 第 2页 Sn = n2 n 1 第 4页 an - aT = -4(n -T)第 5页 an = 2 - 4（n -1） 例五 已知a 2 , an1 =2an求an. 解一：a, =2 a2 = 2 2 = 22 a2 22 =23 观察可得： an =2n 解二：由 an j =2an an = 2an d 即 an =2 an an an A an 2 a2 n X -I 2 an J

8、an _2 an J3 a1 a =a1 -2nl = 2n 四、 小结：由数列和求通项 递推公式（简单阶差、阶商法） 五、 作业：P114 习题 3. 1 3、4 课课练P116-118 课时 2 中 第三教时 教材：等差数列（一） 目的：要求学生掌握等差数列的意义，通项公式及等差中项的有关概念、计算公式，并 能用来解决有关问题。 过程： 一、 引导观察数列：4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 3， 0, -3, -6, . 1 _2 _3 4 2 , 10, 10, 10,例题推荐 1、2 课时练习 6、7、8 2 2 第 6页 an =12 一3（n 一1） 12 , 9, 6,

9、 3, 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 . 得出等差数列的定义： （见 P115 注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数.。 1 名称：AP 首项（a1）公差（d） 2. 若 d =0 则该数列为常数列 3. 寻求等差数列的通项公式： a2 = a1 d a a2 d = （a1 d） d = a1 2d a4 = a3 d = （a1 2d） d = a1 3d A A A A 由此归纳为 an = 4 （n 1）d 当n = 1时a1 = a1 （成立） 注意：1 等差数列的通项公式是关于n的一次函数 2 如果通项公式是关于n的一次函数，则该数列成 AP 证明

10、：若 an = An 亠 B = A（n _ 1）亠 A 亠 B = （A 亠 B）亠（n _ 1）A 它是以 A B 为首项，A 为公差的 AP。 3 公式中若 d 0 则数列递增，d ： 0 则数列递减 4 图象：一条直线上的一群孤立点 三、例题： 注意在aa1 （n 1）d中n，a.，a1，d 四数中已知三个可以求 出另一个 例一 （P115 例一） 证明： 设公差为 d， 则 A=a，d a 2d a Ja a 2d=a d=A 2 2 教学与测试P77 例一：在-1 与 7 之间顺次插入三个数a,b,c使这五个数成 AP,求此数列 -1 7 13 b = - = 3 a又是-1 与

11、3 的等差中项 二a二 - =1例二（P116 例二） 例三 （P116 例三） 四、 关于等差中项: 注意：该题用方程组求参数 此题可以看成应用题 如果a, A,b成 AP 则A二以 2 例四 解一：I -1,a,b,c,7成AP b 是-1 与 7 的等差中项 第 7页 c 又是 1 与 7 的等差中项 ； 7 2 解:设 二-1 玄5二7 7 二-1(5-1)d = d 二 2 所求的数列为-1，1，3，, 五、 小结： 六、等差数列的定义、通项公式、等差中项 P118 习题 3. 2 1-9 第四教时 教材：等差数列(二) 目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义

12、，并且能够用定 义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。 过程： 一、复习：等差数列的定义，通项公式 二、例一 在等差数列 乩1中，d 为公差，若m,n, p,q N 且 m n = p q 求证：1 am an 二 ap aq 2 ap=aq (p-q)d 证明：1 设首项为ai ，则 am an = a(m -1)d a1 (n - 1)d = 2a1 (m n -2)d ap aq = a1 (p1)d a1 (q1)d = 2a1 ( p q2)d m n 二 p q am an a p aq 2 I ap 二 a1 (p - 1)d aq (p - q)d p (q -1)d (p

13、 -q)d = a1 (p - 1)d ap p (p - q)d 注意：由此可以证明一个定理：设成 AP,则与首末两项 距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即：a1 a a2 an_ a3 an 同样：若 m n = 2p 贝U am a* = 2ap 例二 在第 8页 等差数列订和中， 1 若a5 =a a =b 求ai5 解: 2a10 = a5 a15 即 2b = a - a15 二 a15 = 2b -a 2 若 a3 am 求 a a6 解: a5 a6=a3 a$ 二 m 3 若 a5 = 6 a8 = 15 求 a14 解: a8 = a5 （8 - 5）d 即 15 = 6

14、 3d 二 d = 3 从而 a14 = a5 - （14 一 5）d = 6 9 3 = 33 4 若 a1 a2 丄；丄 a5 =30 a6 - a7 丄；丄 a = 80 aii -玄伐A ai5 解：T 6+6=11+1 7+7=12+2 2 a6 = a1 2a = a2 a2 从 而 （an 孔：门嘉印5）+ 1 a? *5） =2（a6 a?*：二耳。） an -玄伐 r - a15=2(a6 - a? 二。) 一心1 a ;:- a5) =2X 80-30=130 三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1. 定义法：即证明an -an4 = d(常数) 例三 课课练第 3

15、课例三 已知数列G 的前n项和Sn =3n2 - 2n ,求证数列乩？ 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。 解: a1 =3 - 2 =1 当 n 2 时 an =Sn Sz =3n2 -2n -3(n -1)2 -2(n -1) =6n -5 n = 1 时亦满足 二an = 6n - 5第 9页 首项 ai =1 an - am =6n - 5 -6（n -1） -5 =6（常数） 乩?成 AP 且公差为 6 2. 中项法： 即利用中项公式，若 2b = ac 则a,b,c成 AP。 例四 课课练 第4 课例一 1 已知一， 1 ,1成 AP，求证 I, c a a b也成 AP。

16、a b c a b c 证明： 一，一，-成 AP .2 -化简得: a b c b a c 2ac = b(a c) 2 2 2 2 2 2 b c a b bc c a ab b(a c) a c 2ac a c , , , - , - - - , , ac ac ac 2 (a c) ac 2 =(a c) = 2 a c b(a c) b 2 也成 AP c 3. 通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 n的一次函数这一性质。 例五设数列fan 1其前n项和Sn =n2 _2n 3, 问这个数列成 AP 吗? 解：n = 1 时 a S 2 an 二 Sn - Snv = 2n -3

17、 / a!不满足 an = 2n - 3 an n = 1 2n 3 n_2 第 10页 略 教学与测试 第 37 课 练习题 课课练第 3、4 课中选 第五教时 教材：等差数列前n项和（一） 目的：要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题 过程： 一、引言：P119 著名的数学家 高斯（德国 1777-1855）十岁时计算 1+2+3+ +100 的故事数列乩不成AP 但从第 2 项起成 AP。 四、 小结: 第 11页 故事结束：归结为 1 这是求等差数列 1, 2, 3,，100 前 100 项和 2 高斯的解法是：前 100 项和弘=100 （1 100） 2 即&

18、amp; =心1 n） 2 、提出课题：等差数列的前n项和 1 证明公式 1： sn 二n(a1 an) 2 证明： Sn = a1 a2 a3亠I亠an-an 二an an j an_2 a2 a1 +：2Sn = (a1 an) (a2 an J) (a3 an Wd a.) a1 an - a2 an j - a3 a2 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。 2 推导公式 2 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1, an 但 aa1 - （n -1）d 代入公式 1 即得：Sn =na1 2 此公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,d （有时比较有用） 总之：两个公

19、式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个 3 例一 （P120 例一）：用公式 1 求Sn 例二 （P120 例一）：用公式 2 求n 学生练习：P122 练习 1、2、3 三、例三 （P121 例三）求集合 M =m|m=7n,nN *且m ： 100的元素个 数，并求这些元素的和。 解：由 7n 100 得 n ：100 =142 7 7 正整数n共有 14 个即 M 中共有 14 个元素 即: 7, 14, 21,，98 是 a7为首项 a14 = 98的 APSn 2Sn 二 n(aa.) 由此Sn 第 12页 （；叽735 答：略 例四 已知一个等差数列的前 10 项的和是

20、310,前 20 项的和是 1220, 由此可以确定求其前n项和的公式吗？ 解：由题设： 3。=310 S20 = 1220 /曰 10 印 +45d =310 =4 得： n 丿 20a1 + 190d = 1220 d = 6 Sn =4n +n(n 一1)x6 = 3n2 +n 四、 小结： 等差数列求和公式 五、作业（习题 3. 1） P122-123 第六教时 教材：等差数列前n项和（二） 目的：使学生会运用等差数列前n项和的公式解决有关问题，从而提高学生分析问题、 解决问题的能力。 过程： 一、复习：等差数列前n项和的公式 2 已知 a3 a = 40，求 S17 . 、例一在等差

21、数列乩沖 1 已知Ss=48 S12 =168 求 a1 和 d ; 第 13页 8 印 +28d =48 J2a +66d =168例二 解： a1 a仃=a3 a15 =40 二 17(a1 a17) 17 40 已知& 1 , 4 :都成 AP , 且 a1 = 5 , b1 = 15, -340 a100 bi00 - 100 试求数 列n - bn 的前 100 项之和S100 . 解: 弘=100 (a1 a1 a100 血)=100(5 15 100)= 6000 2 例三一个等差数列的前 12 项之和为 354，前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32： 27,求公差

22、第 14页 Tg2 x - (lg n2 lg p2)lg x (lg n lg p)2 =0 解一: 设首项为a1，公差为 d 贝门6佝+d) + 12X11 12a1 d =354 2 6 5 2d 32 = d = 5 17 2 6沃5 6a1 2d 2 =d =5 例四已知: S奇 S偶二 354 S 偶 32 S 奇二 27 an =1024 Ig21jl ( lg 2 大？前多少项之和的绝对值最小? 解：1 S偶 s 奇 = 192 = 162 由 S偶-= 6d 二 0.3010 n N* 问多少项之和为最 an =1024 (1 -n) Ig2 一 0 an 彳=1024 -

23、n lg 2 ： 0 1024 1024 n 1= 3401： n ：3403 二 n = 3402 Ig2 Ig2 2 Sn =1024n 凹 卫(-Ig2) =0 2 当Sn =0或Sn近于 0 时其和绝对值最小 令：Sn =0 即 1024+血卫(-Ig2) = 0 2 得：n =2048 1 ： 6804.99 Ig2 n N* n =6805 例五 项数是2n的等差数列，中央两项为a和a彳是方程x2 px q = 0的 两根，求证此数列的和是方程 lg 2 x - (lg n2 Tg p2) lg x (lg n lg p)2 = 0 的根。 (S2n 0) 解：依题意：an an

24、p -a1 a2n = an an 1 = p -S2n 2n (a1 a2n) 2 =np 第 15页 (lg x Tg np)2 = 0 x = np 二 S2n (获证) 例六(机动，作了解)求和 1 1 1 - 12 12 3 解：an - 2 2(-) 1 +2 +3 +A +n n(n +1) n n 十1 一 1 1 1 1 1 1 2n 2r)(2一3厂(十) 2 (1002 -992) (982 -972)上 (42 - 32) (22 -12) (199 + 3) 解：原式=199 195 上 7 3 50 =101 50= 5050 2 、作业 精编P167-168 6、

25、7、8、9、10 第七教时 教材：等差数列的综合练习 目的：通过练习，要求学生对等差数列的定义，通项公式，求和公式及其性质有深刻的 理解。 过程： 一、 复习：1 等差数列的定义，通项公式一关于 n的一次函数 2判断一个数列是否成等差数列的常用方法 3. 求等差数列前n项和的公式 二、 处理教学与测试P79 第 38 课 例题 1、2、3 三、 补充例题教学与测试备用题 1 .成等差数列的四个数之和为 26，第二数和第三数之积为 40，求这四个数. 解：设四个数为a-3d,a-d,a d,a 3d 贝卩：；(a-3d)+(a-d) + (a+d) + (a+3d) =26 、：、(a-d)(a

26、+d)=40 由：a-13 代入得：d = 2 2 四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2 . 2.在等差数列匕讪，若內-a4 -a* -12 35 =2求弘. a8 = -2 而 S15 =15a8 = -30Sn 解牛： a1 = a4 a12 第 16页 3.已知等差数列的前n项和为a ,前 2n 项和为 b，求前 3n 项和. 解：由题设 Sn = a S2n = b a* i . an 2 . -1 . a?* = b - a 而 & a2 心：“an) (a2n 1 a2n|2 r a3n)=2(an.i - an :：-a2n) 从而： S3n =(ai a2

27、亠 l 亠 ) (an 1 an 2 上a2n) - (a2n 1，a2n|2 亠 亠 a3n) = 3(an 1 an 2 ?：. ： a2n) =3(b - a) 四、补充例题：（供参考，选用） 已知 a1 = 1 , Sn = n2an (n _ 1)求 an 及 Sn . 彳 . 1 2 1 a 1 a： a3 3 4 3 (n -1)(n -2)上 3 2 1 (n 1)n(n -1)上 4 3 n(n 1) 将上式两边同乘以 2n得: 即: 2nan1 -肝an =1 显然： in4an血以 1 为首项，1 为公差的 AP 2n4a1 (n _1) 1 二n n -久尹解: an

28、二 S 6n -Sn 二二 nn -(口 _1)2 an 1 从而有 an a n - 1 nJ 已知 Sn =4 - a. -尹(n N*) 求a1,an 1和an的关系式及通项公式an 1 解： a1 = S1 = 4 - a1 - = 1 a1 -1 Sn = 4 - an 2n -2 =一：an 1 二一 an 1 an 即：an 1 1 4 3 2 1 a5 : 6 5 4 3 2n =(2 n 1)2nJ 证： #n(n +1) n n pn(n +1)、：(n+，) - - 2n 1 n ： . n(n 1): 2 1 +3+A +(2 n+1) 1 2 3 上 n : an 2

29、 .n(n 1) (n 1)2 an 2 2 H、作业： 教学与测试第 38 课 练习题 P80 第八教时 教材：等比数列(一) 目的：要求学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计 算。 过程： 一、1印度国王奖赏国际象棋发明者的实例：得一个数列： 2 3 63 1,2,2 ,2，-2 (1) 2. 数列：5,25,125,625上 (2) 1 1 1 2 4 8 观察、归纳其共同特点：1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) 第 14页解： an 二 Sn -Sn Sn 2Sn 二=2 Sn Sn J 1 厂尹= S 设bn = h则4 是公差为 的等差数列

30、I bn an =Sn -儿=(2 n 3)2n， -an (n =1) (2n 3) 2n (n _2) Sn =(2 n 1)2n 7 设 an =1 2 2 3 .3 4 匸 n(n 一 1)求证: n(n 1) (n 1)2 S1 玄 a1 第 18页 2 隐含：任一项a* = 0且q = 0 3 q= 1 时，an为常数 二、通项公式： 1 如：数列(1): an=2nJL= 2n (n 乞 64,且门 N*) 2 三、例一：(P127 例一) 实际是等比数列，求 a5 v a1=120, q=120 / a5=120X 1205亠 1205 ： 2.5X 1010 例二、（P127

31、 例二）强调通项公式的应用 例三、求下列各等比数列的通项公式： 1. a1=-2, a3=-8a2 =aiq as =a2q =a3 q 2 二 a1q fq3 a4 A A A A A A n 1 =an 二 aiq a1 n 或an q q I J 如数列：(1): an =1 2nl =2nJ =5 5n 5n (2)： a* (3): a n 1 n 二1匸） 1 n _ (-2) 图象：an上 qn是经过指数函数纵向伸缩后图象上的孤立点。 q 第 19页 an 十2)2n -2n 或 an =(-2)( -2)n = (-2)n 2. a 仁 5,且 2an+1 = -3an 解:

32、an 3 n A 又：a1 =5 an=5 ( ) 2 3. a1=5,且也二 an n +1 解: Q an 卅 n _ a2 1 a3 2 an n 1 a1 2 a2 3 以上各式相乘得：a* =1 a = 3 n n 四、关于等比中项: an _ n 1 and n 如果在 a、b 中插入一个数 G,使 a、G、b 成 GP,贝 U G 是 a、 中项。 b 的等比 G =上=G2 = ab= G -2 2汉3 ，上上 n（n 1） 前 n 项和 解: 设数列的通项为 bn, ：=6(丄 池） Sn = bi b2 上上 bn =6(1 -丄)(丄 -1)(丄 2 2 3 n ) 6n

33、 = 6(1 J 二 n +1 n +1 例三、 求数列七，“，1 2 J （n *匕前 项和 解: 1 Sn 2 1 1 1 1 2 3 (n-1) 16 2n 两式相减: 2Sn 1 1 + 4 8 +A A 2*1 1 1 (1 -) / 2n； Sn =2(1 2n 1 2 设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且Sn 求数列 an 的前 n 项和 取n汀则 2 嘖2 又: n(a1 - an) Sn : 可得: n(a1 - an) an 一1 (n N) Sn (2n -1) = n2 五、作业: 补充: 教学与测试P9192 第 44 课 练习 3，4，5, 6, 1. 求数列-

34、1,4, 一7,10,上上，（-1）n（3 n- 2）,上上前 n 项和 2. 3. 4. 5. (Sn 2n 3 求数列半口前 n 项和 2n 1 （8-茁） 求和: 求和: 求数列 2 2 2 2 2 2 (100 -99 ) (98 -97 ) 2：； (2 -1 ) 1 X 4 + 2X 5 + 3X 6 + + n X (n + 1) (5050) n(n 1)(n 5) 1, =0时, =1时, (1+a), (1+a+a2), ,(1+a+a2+ +anJ),前 n 项和 Sn Sn =1、0 时，S n(n 1) n(n 1)a an (1 - a)2 第 33页 第十四教时

35、教材：数列的应用 目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处理“共项” 问题。 过程： 五、例题： 1 教学与测试P93 例一）大楼共 n 层，现每层指定一人，共 n 人集中到设在第 k 层 的临时会议室开会，问 k 如何确定能使 n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最 短。（假定相邻两层楼梯长相等） 解：设相邻两层楼梯长为 a,则 S =a（1 2 上上 k 一1） 0 1 2 上上（n -k） 2 n2 + n =ak -（n 1）k 2 当 n 为奇数时，取 k 二_1 S 达到最小值 2 当 n 为偶数时，取或口 S 达到最大值 2 2 2在1000,

36、2000内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个？ 解：不妨设 an =3n, bm =4m 1 （m, n N*）， 则cp为 an 与 bn 的公共项构成的等差数列 （1000W cp 2000） tan = bm，即：3n=4m+1 令 n=3 ,贝 U m=2 二 c1=9 且有上式可知：d=12 Cp=9+12（p-1） （ p N*） 7 11 由 1000 Cn 2000 解得：83 p 乞 166 12 12 p 取 84、85、166 共 83 项。 3. 某城市 1991 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 m2,如果该城市每年人口平均增 长率为 1%，每

37、年平均新增住房面积为 30 万 m2,求 2000 年底该城市人均住房面积为 多少 m2?（精确到 0.01） 解：1991 年、1992 年、2000 年住房面积总数成 AP a1 = 6X 500 = 3000 万 m2，d = 30 万 m2，a0 = 3000 + 9X 30 = 3270 1990 年、1991年、2000 年人口数成 GP b1 = 500 , q = 1% , b10 =500 1.019 500 1.0937 : 546.8 2000 年底该城市人均住房面积为：3270 : 5.98 m2 546.8 4. （精编 P175 例 3）从盛有盐的质量分数为 20%

38、的盐水 2 kg 的容器中倒出 1 kg 盐水, 然后加入 1 kg 水，以后每次都倒出 1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水， 问：1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g? 第 26页第 35页 2. 经 6 次倒出后， 一共倒出多少 k 盐？此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分 数为多少？ 解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为an，贝 U： 1 1 2 ai= 0.2 kg, a2= x 0.2 kg, a3= ( )2x 0.2 kg 2 2 由此可见：an= (g)nx 0.2 kg , a5= (-1)1x 0.2= (g)4x 0.2=0.0125 kg

39、 1 2. 由 1.得an是等比数列 a1=0.2 , q=- 1 a(1 q6) OR-歹) & = _U 2 0.39375 kg 1-q 一丄 2 0.4 -0.39375 =0.00625 0.006252 =0.003125 六、作业：教学与测试P94 练习 3、4、5、6、7 精编P177 5、6 第十五教时 教材：等差、等比数列的综合练习 目的：通过复习要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧。 过程： 七、小结：等差、等比数列的定义、通项公式、中项公式、性质、求和公式。 八、处理教学与测试P81 第 39 课 习题课(1) 1. 基础训练题 2. 例一

40、由Sn求an用定义法判定 a 成 AP 例二关键是首先要判定 d 0 或d：0 九、处理教学与测试P89 第 43 课等差数列与等比数列 1. 例一 “设”一利用中项公式一求解 2. 例二 “设”的技巧，然后依题意列式，再求解 3. 例三 已知数列 3 *中，Sn是它的前n项和，并且Sn d = 4an 2， a 1 1 设bn二an1 怜，求证数列 社是等比数列; 2 设 Cn二豊，求证数列 Q ?是等差数列。 2 证：1 T a1 =1 二 a1 a2 二 S2 = 4印 仁 a2 = 5， d = a2 - 2a 3Sn =4an 2 Sn .2 二 4a“ 1 - 2 两式相减得：an

41、 2 = 4an .1 - an 第 36页 即：an 2 f 2an 1 - 2(an 1 2an ) bn 1二2bn即bn ?是公比为 2 的等比数列 g 二3 an _an1 -2an _ bn Tn m FT 2 2 2 将 bn =3 2nl 代入：Cn1-Cn= S 成 AP 十、 1、P90 “思考题”在 ABC 中，三边a,b,c成等差数列，、.a,.、b,. c也成等差数列, 求证 ABC 为正三角形。 证：由题设，2 a c 且2b = .、a iC /. 4a c a , c a c = 2 a c 即(、a - . c)2 二 0 从而 a = c /. b = a=

42、 c (获证) 2、“备用题” 三数成等比数列，若将第三个数减去 32,则成等差数列，若再将这等差 数列的第二个数减去 4,则又成等比数列，求原来三个数。 解：设原来三个数为a,aq,aq2则必有2aq二a - (aq2 -32) (aq -4)2 二 a(aq2 -32) 4a +2 5 由：q = - 代入得：a =2 或 a=- 从而q=5或 13 a 9 原来三个数为 2,10,50 或-,26,338 9 9 9 十一、 作业：教学与测试P81-82 练习题 3、4、5、6、7 P90 5、6、7、8 第十六教时 教材：数列极限的定义 目的：要求学生首先从实例(感性)去认识数列极限的

43、含义，体验什么叫无限地“趋近” ，然 后初步学会用；-N 语言来说明数列的极限，从而使学生在学习数学中的“有限”到“无 限”来一个飞跃。 过程： 十二、实例：1 当n无限增大时，圆的内接正n边形周长无限趋近于圆周长 2 柱双曲线xy=1中，当XT +吃时曲线与x轴的距离无限趋近于 0 十三、提出课题：数列的极限 考察下面的极限bn = an 1 - 2an an -1 2n 0 1 第 37页 3 数列 3： “ ，-，上亠上 2 3 n “项”的正负交错地排列，并且随 n的增大其绝对值减小 当n无限增大时，相应的项 匕匸可以“无限趋近于”常数 n 引导观察并小结，最后抽象出 定义： 一般地，

44、当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个数a （即 an-a 无限地接近于 0）,那么就说数列aj 以a为极限，或者说a是数列 iaj 的极限 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列才有极限） 数列 1 的极限为 0，数列 2 的极限为 1，数列 3 的极限为 0 十四、例一（课本上例一）略 注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当 n无限增大时是 否可以“无限趋近于”某一个数。 练习：（共四个小题，见课本） J2 十五、有些数列为必存在极限，例如：an =（-1）n 2或an = n都没有极限。 2 例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？ 1

45、 1 1 1 1 数列 1: , 2， 3，:： , n 10 102 103 10n “项”随n的增大而减少 ，当n无限增大时，相应的项 但都大于 0 侖可以“无限趋近于”常数 12 3 n 2 数列 2:丄,2,3,上，丄，上 2 3 4 n+1 当n无限增大时，相应的项 但都小于 1 可以“无限趋近于”常数 n 1 1. an 1 (T)n 2 2 . an 3. an = a (a R) 4. = (T) 5. n n 0 1 第 38页 2.3” ；： 2,0，f，0，|0 极限为 0 3. an ： a,a2,a3,-l-“ 不存在极限第 39页 3 3 4 a 3二y极限为0 3

46、 .小结：对于预先给定的任意小正数 ；，都存在一个正整数 N，使得只要 n N 就有 十六、 十七、 关于“极限”的感性认识, 作业：习题 1 只有无穷数列才有极限 补充：写出下列数列的极限: 1 ； 无限趋近于 0 .5 5 5.5 25 , , , ，- 3 9 27 81 数列a 的极限为.5 第 40页 1 1 5 a. =1 - 2 4 第十七教时 教材：数列极限的定义（: - N） 目的：要求学生掌握数列极限的；-N定义，并能用它来说明（证明）数列的极限 过程： 十八、复习：数列极限的感性概念 十九、数列极限的；- N定义 -1 0 观察：随n的增大，点越来越接近 进而：就是可以小

47、于预先给定的任意小的正数 只要 n =10 即可即:数列丿工 的第 10 项之后的所有项都满足 .n . （2） 同理：如果预先给定的正数是 七，同理可得只要n 103即可 10 1 （3） 如果预先给定的正数是 4（kN*），同理可得：只要n 10k即可 10n -1 1 ,34 （_1） 4 7,7 、 n. 2 3 1 2n 1.以数列丿上丄卜为例 n an 1 1 1 一1,一一， ，上上 即：只要n充分大，表示点an与原点的距离 an 2.具体分析: （1）如果预先给定的正数10，要使ah十10 3 5 6,. 4 5 0 第 41页 an -0 N，就有 a. - a g，那么就说

48、数列 以a为极限（或a是数列 ；的极限） 记为：lima. =a读法：“一；”趋向于 “n ；：” n无限增大时 n_ 注意：关于；：；不是常量，是任意给定的小正数 由于；的任意性，才体现了极限的本质 关于 N : N 是相对的，是相对于；确定的，我们只要证明其存在 a. -a :形象地说是“距离” ，an可以比a大趋近于a，也可以比a小趋近于a ,也可 以摆动趋近于a 二十、处理课本 例二、例三、例四 例三：结论：常数数列的极限是这个常数本身 例四 这是一个很重要的结论 二十一、 用定义证明下列数列的极限： 2n -1 lim n 1 n 匸 2 证明 1 1：设；是任意给定的小正数 IP：

49、 2n - 证明 2 2：设；是任意给定的小正数 取N = 一丄当 n a N 时，3n -色c &恒成立 恥 2 2n +12 .3n 1 3 2. n 厂2n 1 2 两边取对数 1 n log 2 介绍取整函数 2n _1 丁 T 一、 2-1 2 恒成立jnm厂二1 要使 3n -1 3 2n 1 2 1 z 只要 : 2n 十1 5 5 1 n 4； 2 第 42页 lim n； .：2n 1 2第 43页 第十八教时 教材： 数列极限的四则运算 目的： 要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。 过程: 二十二、 复习：数列极限的；- N 定义 二十三、

50、 提出课题：数列极限的四则运算法则 1 几个需要记忆的常用数列的极限 1 lim = 0 n +1 lim -1 lim qn = 0 (|q) lim a = a(a 为常数) nYn nY n n 2 运算法则: 3.语言表达（见教材，略） 此法则可以推广到有限多个数列的情形 解释：如数列 丄,2,3,上，丄，上 它的极限为 1 2 3 4 n+1 2,2,2,上，2,上 它的极限为 2 即: nim：（2化八”m：2【叫仔二2仁3 处理课本例一、例二略 例三（机动，作巩固用） 彳，-2n +1 1. lim n 3 n 2 如果 lim a = A n, lim bn = B n 则：l

51、im(an _ bn)二 A _ B n_jpc lim(an bn) = A B n :. a A nim”B，(B) 则 22W23宀2 = ，上它的极限为 3 二十四、 求下列数列的极限: 2+1 解:原式=lim - n n lim(2 -) lim 2 lim - _ n 匚 n _ n 厂- n-n _ 2. lim 4 6n3 n -1 解: 2 2 )lim 3 lim n n - n 一 n 5 + 1 + 原式=lim n 皿 6 A n 4 3 n 丄 _ -3 n 第 44页 第十九教时 教材：数列极限的运算 目的：继续学习数列极限的运算，要求学生能熟练地解决具体问题。

52、 3 2 5n n 4 3. lim 亍 n 匸 6n5 n -1 解：原式=lim n_c 5 1 4 n n n -1 1 6 4 n n P , p .1 . p _2 aox a1x a2x 小结：佃一q - 石 - 口 .n 匚 b xq dxq b xq f : b +A +ap a。 bo 0 不存在 (p 二 q) (p q) (p q) 例四、首项为 1,公比为 q 的等比数列的前 n项的和为 Sn ,又设Tn S 瓷，求 nimTn 解: Tn 浮9） 1 -q Sn 1 :1 时, lim Tn -1 n 厂： limTn n :. 1n-1 = lim Y-q q 当q

53、 =1时, lim Tn n_: limTn不存在 n : 二十五、 二十六、 小结：运算法则、常用极限及手段 作业：练习 1、2 习题 1 补充: （附第 45页 过程： 一、复习数列极限的运算法则2 第 46页 例一、先求极限lim n n 1，再用& N 定义证明。 2n2 -1 2 n n -1 lim 1 n_jsc Q I 2 2 n 任给；.0, 2 n n -1 1 = 2n2 -1 2n -1 2 2(2n2 -1) 则2n 2n 2(2n2 -1) 4n2 -2 2n 2n3 6n2 4n 3 6(n -3n) 1 1 1 lim，71 2)(1 齐八 o 2 2

54、2 1 2n 丄) 22 01 1 on 1. 22 1 1 （1尹产） 1 1 - 2 2“ A. 1 _(_1)2 22 1 1 仁 2 - 2“ 1. 1一1 2 2“ J. 第 47页 11 1 _ 1 _阪 22 _ (n +1)(n +2) 、先共扼变形，再求极限： 例三、求极限 1. lim n (.、n 1 - n) 解.原式= n( . n 1 - 一 n)( n 1 一 n) n 解：原式= lnm n 1 5m n 1 n 2 1 2n丄 22 n-A 1一 _2 1 2 2n 4.已知数列an中an 1 n(n 1)(n 2) 解：O n(n In 2)勺治 1 (n

55、1)(n 2) 原式 1“ 1 = lim 2(乔 n , 2 I 2 )一I 3 4 1 n(n 1) 1 (n 1)(n 2) 解：原式 = lim ( n :. - n(n 1) n(n -1) 2 lim n j：: n(n 1) . n(n-1) 2 , 2 2. 解: = lim ,1 I- , Un +1 - Jn Inm Jn + 2 -、咕 (.n 1 7n)(. n 1、. n)(、n 2 、 n) J 原式 = I nm (Jn +2 n)(Pn + 2 + Jn)(Jn +1 + Jn) 1 2 T . n) 第 48页 四、作业: 1求数列24|*的极限为_ 1 li

56、m （1 2 n , 2 2. +A A 1 n（n 1） 4. Um：(宀 n2 1 n2 1 3n-2、 3 5. 6. 0.27= 11 7用数列极限的定义证明: lim n_. n2 3n2 1 8已知数列勺,10,15，上，旦，上和丄,2,3，上 345 n+2 345 n+2 (1) 求证：这两个数列的极限分别是 5 和 1; (2) 作一个无穷数列，使它的各项为这两个数列的对应项的和, 验证所得数列的极限等于这两个数列的极限的和。 第二十教时 教材：求无穷递缩等比数列的和 目的：要求学生掌握无穷递缩等比数列的概念及其求和公式，并能解决具体问题 过程： 、例题: 例一、已知等比数列

57、 和的极限。 1 1 1 1 -,-,-,飞,上，求这个数列的前 n 项和；并求当n 2 4 8 2 时，这个 1 解：公比 1 1 S a1（1-qn） 21（2 门 2 -1 1 1 iimSn 和口 -歹）习-im（2）n “ -OR 解释：“无穷递缩等比数列” 1 2 1 4 1 8 1 2n 3. 1 + -+A 4 第 49页 1 当n时，数列为无穷递缩等比数列相对于以前求和是求有限项（ n 项） 2 当| q | 1 时，数列单调递减，故称“递缩” 3 数列an本身成 GP 小结：无穷递缩等比数列前 n 项和是Sn ai(1 -qn) 1 -q s = lim Sn =lim普严

58、 n ： n： I 一 q = lim a1 Sq 其意义与有限和是不一样的 例二、求无穷数列0.3, 0.03, 0.003, 0.0003山上 各项和。 解：31 =0.3 二空，q 二 003 1 10 0.3 10 3 s 一五一 3 一 1 1 丄9 3 10 例三、化下列循环小数为分数: 第 50页 2.13 2. 1.1321 解：1. 2.13=2 山 +A A 100 10000 一 一 =2 1 - 13 砲=2 耳=2 兰 1 99 99 2. 1.1321=1.1 岑岑贸1 10 10 10 100 =1 1+五蚯=1 僭小结法则: 1. 2. 纯循环小数化分数：将一个

59、循环节的数作分子，分母是 999，其中 9 的个 数是循环节数字的个数。 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的 差作分子，分母是 99-900-0,其中 9 的个数与一个循环节的个数相同，0 的个数和不循环部分的数字个数相同 例四、某无穷递缩等比数列各项和是 4,各项的平方和是 6,求各项的立方和。 解：设首项为 a ，公比为 q, ( | q | 3 或 a1 3. limn(1 n_c 4. 正项等比数列的首项为 1, 前 n 项和为 S S，则 lim 二一1 或 q Snd 5. 2 2 2+32 +3 nmr 62 +A A 6.已知 f (n) =1

60、 2 亠 I 亠 n, (n N*), f (n2) 则 lnmi = (印 a2 第 52页 B1 ,C1, D1,再在正方形 A1B1C1D1内用同样的方法得到又一个正方形 A2B2C2D2, 这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和。 第十一课时 课 题 3.6.1 分期付款中的有关计算 教学.目标 . 1 通过分期付款中的有关计算巩固等比数列的通项公式和前 n项和公式的掌握； 2 培养数学的应用意识 教学重点 . 等差数列通项公式和前 n项和公式的应用 .教学难点 . 利用等比数列有关知识解决实际问题 教学方法 . 启发诱导 教学过程 . (I) 复习回顾 师：近几天来，我们又学习了