2018高考数学大一轮复习压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量文

1、已知函数f(x) =Asinx+亍(A 0,30) ,g(x) = tanx,它们的最小正周期之积压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量典例 已知函数f(x) = 2sin2十 +x 3cos 2x,x(1)求f(x)的最大值和最小值；=1 + sin 2x 3cos 2x=1 + 2sin j2x -3 ,因为x ,故 2 1+ 2sin 2x专 3,5n=fI 12=3，f(x)min=f |=2.(2)因为一 2Vf(x) mf(x)max 2 且nvf(x)min+ 2.所以 1vmv4,即m的取值范围是(1,4).方法点拨f(x)进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确最值.对点演

2、练n若不等式一 2Vf(x) RK2 在x |n上恒成立，求实数m的取值范围.4 2解f(x) = 2sinn+x 3cos 2x=|1 cos7t所以f(x)max=7t2 时，f(x)max= 3,f(x)min= 2 ,本题求解的关键在于将三角函数定，因并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的三角函数的图象与性质cos 2x2 + 2x22求f(x)的单调递增区间;解：(1)由题意得213所以f(x) = 2sinjx+-4.,nnn由 2kn -Wx+ 2kn +( kZ),h(x)=|f2(x)+2 3cos2x=3+3+ 3sin 2x+ 3cos 2x=3+3+2 3sin

3、 2因为h(x)的最小值为 3,3设h(x) = f2(x) + 2 护 cos2x,当x |a,n时，h(x)的最小值为 3，求a的值.得 2kn3x2kn +-4(kZ).44故f(x)的单调递增区间为|2kn3n4，2kn(kZ).为 2n2,f(x)又A= 2g2ta门卫4 巴=2tan y = 2,44x+1)cos=2x4sin23因为I nx|a,所以所以2x+6=3?sin 2x+6=n5n6，4三角函数和解三角形2bccosC典例已知a，b,c分别是ABC勺三个内角A, B C的对边，且一a-=斗.求A的大小;当a=3 时，求b2+c2的取值范围.由正弦定理,+ 2sin B

4、 sin C cos C 得 E = co?A，=sin(A+C) = sinB,1 所以 cosA= 2，所以A= 60由正弦定理,则b= 2sin B,c= 2sin C,所以b2+c2= 4sin2B+ 4sin2C=2(1 cos 2 B+ 1 cos 2C)=22 cos 2 A cos 2(120 B=22 cos 2 B cos(240 2B)13=2 2 cos 2B+宁 sin 2B=4+ 2sin(2B 30 ).因为 0vBv120,所以一 30v2B- 30v210,1所以sin(2 B 30 ) 1.当b=c= 1 时，实数a的最小值为 1.平面向量典例 若a,b,c

5、均为单位向量，且ab= 0, (ac) (bc) 1.而|a+bc|2= (a+b)2 2(a+b) c+c2=3 2(a+b) c,所以 3 2(a+b) cw32X1= 1.所以 |a+bc|2w1,即 |a+bc|w1,故|a+bc|的最大值为 1.法二：(基向量法)取向量a,b作为平面向量的一组基底，设c=m耐nb.由 |c| = 1,即 |m+nb| = 1,可得(ma+ (nb) + 2mnab= 1,23bc.由b+c= 2，知bcw2A+t7由题意，知 |a| = |b| = 1,ab= 0.整理，得m+n2= 1.而ac= (1 n)anb,bc= ma+(1 n)b,故由(

6、ac) (bc)w0,8得(1 m)a-nb ma(1 n)bw0, 展开，得mm 1)a2+n(n 1)b2w0,22即m mnnw0,又m+n=1,故m+ n1.而a+bc= (1 m a+ (1 n)b,故|a+bc|2= (1 m)a+ (1 n)b2=(1 m2a2+ 2(1 m)(1 n)ab+ (1 n)2b22=(1 m+ (1 n)2 2=m+n 2( m+n) + 2=3 2(m n).又m+ n1,所以 3 2(m+ n)w1.故|a+bc|2w1,即 |a+bc|w1.故|a+bc|的最大值为 1. 法三：(坐标法)因为 |a| = |b| = 1,ab= 0,n所以a

7、,b=2.设0A=a,OB=b,OC=c,因为a丄b,所以OAL OB分别以OA OB所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图则a= (1,0) ,b= (0,1),则A(1,0) ,B(0,1).设C(x,y)，则c= (x,y)，且x2+y2= 1.则ac= (1 x,y),bc= ( x,1 y),故由(ac) (bc)w0,(1)所示,9得(1 x)x(x)+(y)x(1y)w0,整理，得 1 xyw0,即x+y1.而a+bc= (1 x,1 y),则|a+bc| =1 x2+1 y2= . 3x+y.因为x+y 1,所以 3 2(x+y)w1,即 |a+bc|w1.所以|a+b

8、c|的最大值为 1.法四：(三角函数法)因为 |a| = |b| = 1,ab= 0,所以a,b=-2.- - -设OA=a,OB=b,OC=c,因为a丄b,所以OAL OB分别以OA OE所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则a= (1,0) ,b= (0,1) ,A(1,0) ,B(0,1).因为 |c| = 1,设/COA=0,所以C点的坐标为(cos0, sin0).贝U ac=(1cos0，sin0),bc=(cos0 ,1sin0),故由(ac) (bc)w0,得(1cos0)x(cos0)+(sin0)x(1sin0)w0,整理，得 sin0+ cos0 1

9、.而a+bc=(1cos0 ,1sin0),则|a+bc| =.1 cos02+1 sin02=,3? sir 0 +cos0.因为 sin0+ cos0 1,所以 3 2(sin0+ cos0)w1,即 |a+bc|w1,所以|a+bc|的最大值为 1.法五：(数形结合法)设OA=a,OB=b,OC=c,10因为 |a| = |b| = |c| = 1,所以点A,B,C在以O为圆心、1 为半径的圆上.- - -易知CA=ac,CB=bc, |c| = |OC| .由(ac) (bc)w0,可得CACBwo,n则g3解析：选 D 依题意，AC=AB+BC=AB+ 4BD-3 1 3 =AB +

10、 _( ADAB) =-AB+ AD,BE444 1 =AEAB= 3ADAB,-1| 篦|2+1| 兀 I2-2 亦届443=-1+ix(2 也)2-3 兀.加=”,所以兀加=4,- -ADAB4|炳丨亦2以2因为 Ov/BADCn,所以/BAD=3rn.42在等腰梯形ABCD，已知AB/ DC AB=2,BC=1,/ABC=60.动点 1 在线段BC和DC上，且BE=入BC,DF=DC,贝UAEAF的最小值为9 入-解析：法一：(等价转化思想)-1 - -1-因为DF=麻DC,DC=AB, 1 1 9 入 1 9 入CF=DF-DC=9TDC-DC=占DC=古AB,所以AEAF=(AB +

11、A_BC) 匕+AAE=AEB+ BEE=AB+ 入BC,AF=AB+BC+CF=AB+BC+AB18A1+9A18AAB+13C7t所以NCIBE=13 4AB+ 4AD-，1AD-亦所以 cos /BAD=E和F分别-F-F將亦2+局+1+97阳氏121+97X4+ 7 +19+97X2X1XCOS 12018718即入=22时，AE-AF的最小值为 菩.318法二：（坐标法）以线段AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示,AF=AD + DF =AD+-7DC=11+丄，並i9 入它 97，2 /当且仅当即入=2时，AE-AF的最小值为28,29 答案：凤升

12、级增分训练1.（2017 宜春中学与新余一中联考）已知等腰厶OABK|OA= |OB= 2,且|OA+OByJ3FF F|苛 IAB|，那么OAOB的取值范围是（）3当且仅当297=27，所以NEAF=217】+丄+亠丄229722717 入 217=宿+亍+ 97亦+2入229297=18,2 197+2 入+17_2918=18,- F -F -F所以AE=AB+BE=则A 1,0) ,B(1,0),C. ( 4,2)D. ( 4,213A. 2,4)B. ( 2,4)C. ( 4,2)D. ( 4,214- -21 - -2解析：选 A 依题意，(OA+OB) 3(OBOA),化简得OA

13、OB 2,又根据三角形中，两边之差小于第三边,- - - 可得 |OA| |OB|v|AB| =|OBOA| ,- - 2 - - 2两边平方可得(|OA| |OB|)v(OBOA),化简可得OAOBV4 , 2W-OBV4.且 IOAi = |Bi，则向量BA在C方向上的投影为(A.C.解析：选 A 由 2AO=AB+AC可知O是BC的中点，即BCABC外接圆的直径，- - - - - 所以 |OA| = |OB| = |OC|，由题意知 |OA| = |AB| = 1,故。人囲等边三角形，所以/ABC=60. 1所以向量BA在BC方向上的投影为|BA| cos/ABC=1Xcos 60 =

14、 ?.故选 A.3. (2017 石家庄质检)设a,B 0 ,n，且满足 sinacos3 cosasin3= 1,则 sin(2a3) + sin(a 23)的取值范围为()A. 2, 1B. 1 ,2C 1,1D 1 ,2解析：选 C / sinacos3 cosasin3=1,即 sin(a 3)=1, a , 3 0, n,(0W a W n , n厂ja3= 丁，又n20W 3 = a 2W n ,L2n则 w a W n , sin(2a 3)+sin (a 23)2. (2017 江西赣南五校二模)ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=sin j2a a + +sin(a 2a

15、 + n)15=cosa +sina =2sin ia +才，即所求取值范围为1,1.故选 C.4. （2016 湖南岳阳一中 4 月月考）设a,b为单位向量，若向量c满足|c （a+b）| =f（x）在区间（n, 2n）内没有零点,所以T 2nn,n即n，所以 0V 3 V1.|ab|，则|c|的最大值是（）A. 1B.C. 2D.2 2解析：选 D 向量c满足|c (a+b)| = |ab| , -1c (a+b)| = |ab|c| |a+b| ,-1c| w|a+b|+|ab|w2a+b|+|ab| 当且仅当|a+b| = |ab|,=22a1 2+ 2b2= 2 2.即a丄b时，(|

16、a+b| + |ab|)max= 2 2.W22 . |c|的最大值为2 2.5. （2016 天津高考）已知函数f(x) = sin223x+ 1sin13x -(30) ,x R.若f(x)在区间（n, 2n）内没有零点，贝U 3的取值范围是A.10, 8B.C.50, 8D.E，解析：选1=2 伽3xcOS3x)=in3x.因为函数=sin j2a a + +sin(a 2a + n)163当x(n, 2n)时，173X- -4 W n -4,2w n - -4 ,若函数f(X)在区间(n, 2n)内有零点,nn贝 Vw n- VknV2w n-(kZ),44k11即 2+8VwVk+4

17、(kZ).t丄11当k=0 时，云Vwv；8455当k=1 时，：vwv；.84所以函数f(X)在区间(n, 2n)内没有零点时，1 亠 150V一W w W .8486. (2016 全国乙卷)已知函数f(x) = sin(wx+0) w0, | $ |, x= 丁为f(x)的零点，x= 4 为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在18，536 上单调，则w的最大值为()A. 11B. 9C. 7D. 50 =k1n ,k1乙nnw + 0=k2n + ,k2Z,贝y w=2k+1,kZ,o=4 或o =nn.n若w=,则0=-,不满足f(x)在区间i18，36 上单调；若w= 9，则0=4

18、,此时f(x) = sini9x+ 4，满足f(x)在区间 临，詈 上单调递减，故选 B.2解析：选 B由题意得此时f(x) = sin j11x-n,f(x)在区间n18,44上单调递增,在区间,536 上单调递减,187. (2016 贵州适应性考试)在厶ABC中，a,b,c分别是角A,B, C的对边，已知a+c2=ac+b2,b=Q3，且ac,贝 U 2a-c的最小值是 _ .192 2 2解析：由a+cb= 2accosB=ac,1所以 cosB= 2，贝 UB= 60，又ac,则AC 120A,所以 60wAv120,c=上=3=2sinCsin B . 32贝 U 2ac= 4si

19、n A 2sinC=4sinA-2sin(120 A)=2 3sin(A 30 ),当A= 60时，2ac取得最小值.3.答案：. 31&在厶ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且acosBbcosA= c,当 tan(AB)取最大值时，角B的值为_ .1 、解析：由acosBbcosA= ?c及正弦定理，整理得 sinAcosB= 3cosAsinB,即 tanA= 3tan B,易得 tanA 0, tanB0,tan A tanB2tanB=21 + tanAtanB1 + 3tanB当且仅当厂B= 3tan B,tanBasinA得 sinAcos B sinBco

20、s A=知1 1=2Sin(A+B) = (sinAcosB+ cosAsinE),-tan(AB)1ta nB+ 3tan一 _2_二B0)个单位长度，得到的图象关于直线x=手对称，求0的最小值.解：(1)f(x)=2sinx+ 6cosx则 |ae| + |be|aa+b=|a+b|丄|b a+b|a+b|a a+b|a+b|a+b|a+b|a+b| a+b|a+b|=|a+b| .由f(a) = 2，得 sina +1 =2=2 _2sin ix + 专.22或a+n3 =2kn+亍,kz.于是a=2kn令或a=2kn+ 诗,k乙23又a 0 ,n,(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐

21、标缩短到原来的得到y= 2 2sin 2x+-3 的图象，再将y= 2 2sin j2x+-3图象上所有点的横坐标向右平行移动0个单位长度，得到y= 2 2sin 2x- 20+才 的图象.由于y= sinx的图象关于直线x=kn+ -2(k Z)对称,人n令 2x-20 + =kn3解得x=k2n+0+$,k Z.由于y= 2 2sin 2x- 20+才 的图象关于直线x=苧对称, 入knn3n令云+0+茜解得0=-k2n+ 詈，k Z.由0 0 可得，n当k=1时，0取得最小值 6.11.在锐角ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c, sin2A= sin2B+ sin2C sinBsin C.(1)求角 A;若a= 2,3,求b+c的取值范围._ 2 2 2 2 2 2解：(1)由正弦定理及 sinA= sinB+ sinC sinBsinC,知a=b+cbe,nn又 ovA2，所以A=- .1 一2(纵坐标不变),7t所以 cosA=b2+c2-a22bc24所以 BC.3因为a= 2 詁 3,所以b=4sinBc=4sinC,所以b+c= 4sinB+4sinC=